同构及同态课件

1、6.5同构与同态，6.5.1同态，6.5.2同态，6.5.3同态核，6.5.1同态，定义。设G是一个群，K是一个乘法系统，从G到K的映射是同态映射，如果(ab)=(a)(b)，那么它是从G到K的映射，对于a和a，bG，有(a*b)=e=(a) (b)。也就是说，它是从G到k(G)=e的同态映射，e是k，G(G)的子群。设g是一个群和从g到k的同态映射，那么g是一个群，它的单位元1是它的单位元1的象(1)。对于任何a g，(a)-1=(a-1)。表示g和g同态，记录为GG。定理6.5.1，例如，让(Z)是一个整数加法群，(C*，)是一个由所有非零复数相乘得到的群，因此：n在，n Z中，其中I是C

2、的虚部。那么它是从Z到C*的映射，对于m，nZ，有(m n)=im n=imin=(m)(n)。也就是说，它是从Z到C*，Z(Z)的同态映射。(Z)=1，-1，I，-i是C*的一个子群。证明了(1)由于G不是空的，显然G不是空的。(2)让aG，bG，证明abG。有了a和b G，a=(a)和b=(b)，所以根据同态，ab=(a)(b)=(ab)，而ab G，从而a，BG。(3)在证书G中有一个有约束力的法律：让A、B、cG和证书A (B、C)=(AB) C。有A、B和CG，所以a=(a)、b=(b)和c=(c)。因为在g组中有一个约束定律，a(bc)=(ab)c.因此，(a(bc)根据同态，a(

3、b)(c)=(a)(b)(c)=(a(BC)(ab)c=(a)(b)(c)=(ab)c。因此，a(b)(c)=(ab)c.(4)证明G留有一个，即(1)，也就是说，对于任何一个aG，都有(1) A=A。对于aG，a=(a)，根据(1)A=(1)(A)=(1a)=A的同态.(5)证明G中的任何元素A都是左逆的，并且是(a-1)。对于aG，a=(a)，并且(a-1)a=(a-1)(a)=(a-1a)=(1)的同态。因此，g被分成一组，g的1=(1)，g中a的倒数是(a-1)。6.5.2同构映射，定义。设G是一个群，K是一个乘法系统，它是从G到K的同态映射。如果它是从G到(G)的1-1映射，它被称为

4、同构映射。假设G与(G)同构，将其写成G (G)。设(r)是所有正实数的一个群，这些正实数是由数字相乘得到的，并且(r)是一个实数加法群。假设：xlogx，xR是从r到r的1-1映射，对于a，bR，(ab)=log(ab)=log a log b=(a) (b)。因此，它是从R到R的同构映射.Log x是基于e的x的对数，如果(x)=log2 x或(x)=log10 x，则可以得到从r到r的不同同构映射。可以看出，群之间有许多甚至无限的同构映射。(R*，)和(R，)不能同构。证明：使用反证的方法。假设(R*，)和(R，)是同构的，可以假设映射是从R*到R的同构映射，所以必须有：1 0，-1 a

5、，a 0。因此，(1)=(-1)(-1)=(-1)(-1)=a a=2a。有2a=0，a=0，这与0冲突。因此，最初的假设是错误的，并且(R*，)和(R)，不能同构。无限循环群同构于整数可加群。证明了如果G=(g)是一个无限循环群，Z是一个整数可加群，设a=gn和F: A N为aG和N Z，不难证明F是从G到Z的1-1映射；如果你取A和A，bG，有I和JZ，所以a=gi，b=gj，f(gi gj)=f(gi j )=i j=f(gi) f(gj)。因此，F是从G到Z的同构映射，即G-Z，自同构映射，定义。设G是一个群，如果它是从G到G的同构映射，它叫做自同构映射。身份映射称为身份自同构映射。例

6、如，设(z)是整数可加群，设：n -n，nZ是z的自同构映射，设g是Abel群，将g的每个元素映射到它的逆元素：a-1 (aG)是g的自同构映射，6.5.3同态核，定义。设它是从G到G的同态映射，设N是G中所有元素的集合，在G中变成1，并记录为-1(1)，也就是说，如果N=-1(1)=gG(g)=1，那么N称为核。假设第一同态定理和定理6.5.2是从g到g的同态映射，因此的核n是g的正规子群，对于g的任何元素a，-1 (a)=x|xG，(x)=a是g中n的陪集，因此，g的元素一一对应于g中n的陪集。证明了n是g的一个子群。1)证书n不是空的。因为(1)=1，所以它是1N。2)如果是ANn、bN

7、，转到ab-1N。用(a)=1，(b)=1，我们可以得到(a b-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1=1(1)-1=1，所以ab-1N。证明n是正规子群，也就是说，对于任意的gG，gNg-1 N，实际上，(GnG-1)=(g)(n)(g-1)=(g)1(g)-1=(g)-1=1。因此，证明：如果aG和(a)=a，那么-1(a)=Na。实际上，对于任何bG，B-1(A)IFF(B)=A IFF(B)(A)-1=1 IFF(B)(A)-1=(BA-1)=1 IFF BA-1n IFF BNA，引理1，设n是群g的正规子群。如果A和B是n的陪集，那么AB也是n的陪集。证明了因为n是正规子群，N

8、b=bN，并且如果A=aN和b=bN，那么AB=aNbN=ABNN=abN，所以AB 第二个同态定理，定理6.5.3，让n是群g的正规子群，然后根据陪集的乘法，n的所有陪集成为一个群。 生命：aaN是从g到的同态映射，它的核是n。称为g对n的商群表示为GN。如果G是一个有限群，商群中的元素数等于G中N的指数，即陪集数。首先，证明了G 1显然是从G到的映射。2)设a，bG，(a)(b)=aNbN=abN=(ab)，所以它是从G到上的同态映射，所以它是一个群。其次，证明的核是N，单位元本身是N，所以核=g(g)=N，gG=ggN=N，gG=ggN=N.设G是一个整数可加群，N=5G=，-10，-5

9、，0，5，10，那么N是G的正规子群。设G中N的所有陪集构成的集是：=，-10，-5，0，5，10，=N=0 N，=，-9，-4，1，6，11，=1 N，那么=(1 n)()，第三同态定理，定理6.5.4是从G到G的同态映射，如果它的核是4是模5的加法群，它是从G到G的同态映射。N=5G，GN=，然后是G GN。 证明了G的元素与GN的元素一一对应，在这种一一对应关系下，G的元素A和B分别对应GN的元素aN和bN，其中a=(a)，B=(b): A An，b bN。和ab=(ab)，可以看出，对应于g的ab元素的GN元素是abN=aNbN: ab aNbN。g和GN是同构的。g中的子群和g中的子

10、群之间的关系被设定为从g群到g. 1的同态映射的结论。如果H是g的子群，H=(H)也是g的子群.结论2。如果H是G的子群，那么H=-1(H)也必须是G的子群。证明：显然-1(H)不是空的，1-1(H)；如果a，b-1 (H)，即(a)、(b)H，因为H是一个子群，(a)(b)-1=(ab-1)H，所以ab-1-1(H)。(-1(H)等于H吗？-1(H)等于H吗？结论3。-1(H)=HN: (1)(HN)=(H)(N)=(H)，所以HN-1(H)；(2)取a-1(H)申请aHN。因为(a)=h(H)，并且(H)是H的图像，所以必须有hH来制作(h)=h=(a)，也就是，(h)-1(a)=(h-1a)=(1)，所以h-1aN，所以Ahn，-1(.总之，-1(H)=HN。结论4。如果N=H，那么HN=H，也就