数字电子技术课件——张瑜慧——第3章.ppt

1、第3章 离散傅里叶变换(DFT),本章内容,3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,引言,DFT是重要的变换 1、分析有限长序列的有用工具，在信号处理的理论上有重要意义。 2、有相应的快速算法（快速傅里叶变换FFT) 可在计算机上实现其算法。 3、在运算方法上起核心作用，卷积、相关、谱分析都可以通过转换成DFT在计算机上实现。,DFT要解决两个问题： 一是频谱的离散化； 二是算法的快速计算(FFT)。 这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。,引言,时域周期化频域离散化 时域离散化频域周期化,引言,序列的傅里叶

2、变换,离散时间、连续频率的傅立叶变换（序列的傅立叶变换）,时域离散、非周期 频域连续、周期,连续：不适合计算机处理,由DTFT到DFT,离散时间、离散频率的傅立叶变换（DFT） 由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。 对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（NM）。 注意：离散傅里叶变换（DFT）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。,3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义,一、 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,旋转因子的性质,例1、已知 ，分别求8和16点DFT,解：,频率采样点数不同，

3、DFT的长度不同，DFT 的结果也不同。,1、求模（余数）运算 如果整数 则称n1是n对N的模（余数），记作： 或n模N等于n1,7,5,二、DFT的隐含周期性,2、有限长序列x(n)和周期序列 的关系,周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。,有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。,或,二、DFT的隐含周期性,如：,定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。,二、DFT的隐含周期性,周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。,有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。,3、频域周期序列 与有限长序列X(k)的关系,二、DFT的隐含周期性,这里的周期延拓仅看作数学处理方法，

4、或者说借助时域周期延拓实现有限长序列频谱的离散化。 在DFT中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，总是隐含周期性。,二、DFT的隐含周期性,若x(n)是一个有限长序列，长度为N,即,三、DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系,比较Z变换与DFT，我们看到，当 时,DFT与Z变换的关系,所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。,DFT与序列傅里叶变换的关系,若x(n)是一个有限长序列，长度为N,X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样，其采样间隔为N=2/N,DFT与序列傅里叶变换的关系,3.2 DFT的基本性质,一、线

5、性 1、如果两序列都是N点的有限长序列时，且有 则有：,2. 和 的长度N1和N2不等时，怎办？,选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。,二、循环移位性质,1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 的圆周移位定义为 ,循环移位,循环移位,2、循环移位的含义 （1）主值区间: n=0N-1；,（3）如果把x(n)首尾排列(n=0N-1)在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n) 在圆上旋转，故又称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到的就是周期序列,（2）当某序列值从此区间一端移出时，与它相同的序列值又从此区间的另一端移进来;,循环移位,时域圆周移位的性质,3、时域圆周移位的

6、性质,频域圆周移位的性质,4、频域圆周移位的性质（调制特性） 或： 时域序列的调制等效于频域的圆周移位。,1、两个有限长序列的循环卷积 设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为 其中L为循环卷积区间长度，Lmax(N，M) 表示方法: 或,三、循环卷积定理,L,2、循环卷积的计算方法矩阵相乘 x(n) 序列: x(0), x(1), x(2) , x(L1) x(n)的循环倒相序列： 令n = 0, m = 0, 1, , L-1，x(n-m)L形成的序列为,循环卷积的计算方法,令n = 1, m = 0, 1, , L-1，x(n-m)L形成的序列为

7、 该序列相当于x(n)的循环倒相序列向右循环移1位。再令n = 2, m = 0, 1, , L1，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位。依次类推，当n和m均从0变化到L-1时，得到一个关于x(nm)L的矩阵如下：,循环卷积的计算方法,循环卷积矩阵：,循环卷积的计算方法,说明： 1、如果x(n)或 h(n)的长度小于L，则需要在序列末尾补0，使序列长度为L。 2、循环卷积满足交换律。,循环卷积的计算方法,例2、 计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。,解: h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为,循环卷积的计算方法,h(n)与x(n)的8点循环卷积矩

8、阵形式为,循环卷积的计算方法,三、循环卷积定理,2、时域循环卷积定理 设 和 为长度分别为N1和N2的有限长序列，Nmax（N1,N2）且 ， 则,3、频域循环卷积定理 设 和 均为长度分别为N1和N2的有限长序列，Nmax（N1,N2）且 ， 则,三、循环卷积定理,例3、一个有限长序列为,（1） 计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。 （2） 若序列y(n)的DFT为,式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。,（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是,式中, X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT,求序列y(n),综合例

9、题,（2）X(k)乘以WNkm相当于是x(n)循环移位m点。 本题中m=-2, x(n)向左循环移位了2点， 则,y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8),（3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的循环卷积。结果为3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2 ,综合例题,四、复共轭序列的DFT,证明：,五、DFT的共轭对称性,序列的傅里叶变换的共轭对称性，其对称性是关于坐标原点的对称性。 共轭对称： 共轭反对称： 在DFT中，涉及的序列x(n)及其离散傅里叶变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为 0 到N1，所以，这里的对称性是指关于N/2 点的

10、对称性。,1 有限长共轭对称序列 2 有限长共轭反对称序列,五、DFT的共轭对称性,3、任意有限长序列都可以表示成一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和，即,五、DFT的共轭对称性,同理，对于频域函数X(k)也可以表示成一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和，即,五、DFT的共轭对称性,4、DFT的共轭对称性,有限长序列实部的DFT等于序列DFT的共轭对称分量； 有限长序列虚部乘j后的DFT等于序列DFT的共轭反对称分量。,（1）将序列分成实部和虚部的形式,五、DFT的共轭对称性,（2）将序列表示成共轭对称分量和共轭反对称分量,有限长序列共轭对称分量的DFT等于序列DFT的实部； 有限长序

11、列共轭反对称分量的DFT等于序列DFT的虚部乘j 。,五、DFT的共轭对称性,实际中经常需要对实序列进行DFT，利用上述对称性质，可减少DFT的运算量，提高运算效率。 （1）若x(n)是实序列，则X(k)只有共轭对称分量，即满足 X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1 （2）若x(n)是纯虚序列，则X(k)只有共轭反对称分量，即满足 X(k)=-X*(N-k) k=0, 1, , N-1,5、其他共轭对称性,五、DFT的共轭对称性,(3) 如果x(n)是实偶序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)是实偶对称，即 X(k)=X(Nk) (4) 如果x(n)是实奇序列，即x(n)=x

12、(Nn)，则X(k)纯虚奇对称，即 X(k)=X(Nk),五、DFT的共轭对称性,例4、利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。 解：构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到：,五、DFT的共轭对称性,所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT：,五、DFT的共轭对称性,3.3 频率域采样,频域采样定理： 如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。,3.4 DFT的应用举

13、例,一、循环卷积的DFT计算方法,用DFT计算循环卷积的原理框图,3.4 DFT的应用举例,二、线性卷积与循环卷积的关系,1、线性卷积 它们线性卷积为 下面推理线性卷积的非零值范围。,的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如:下面两个有限长序列的线性卷积 非零值区间为n=05，非零值为1,2,3,3,2,1。,线性卷积与循环卷积的关系,2、用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列取主值序列。 先将2个序列 都补零成L点的序列，然后再对它们进行周期延拓 ，即,线性卷积与循环卷积的关系,线性卷积与循环卷积的关系,由于 有 个非零值,所以周期L必须满足

14、:,又由于循环卷积是周期卷积的主值序列，所以循环卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：,循环卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为L。,线性卷积与循环卷积的关系,已知x1(n)=1,1,1,1，x2(n)=1,1,1,1,1，求x1(n)*x2(n),并分别求x1(n)与x2(n)的6点、8点及10点循环卷积。,线性卷积与循环卷积的关系,课堂练习,1、已知y(n)=x(n)*h(n)， x(n)和h(n) 的长度分别为M和N。 x(n)和h(n)的L点循环卷积（LM，LN）用w(n)表示，w(n)=y(n)的条件是_。 LM+N-1,2、对6点有限长序列5，1，3，0，5，2进行向左2点圆周移位后得到序列_。 3，0， 5，2，5，1,课堂练习,3、离散傅里叶变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性的意思。( ),对,4、 已知长度为N=1