大学数学概率论10第10讲(第二章)

1、第十讲第二章随机变量及其分布2.4常用的离散分布备注讨论了共同分发的目的和类型2.4.1二项分布(基于重伯努利检验的分布)1.二项式分布的定义和符号纪念“伯努利试验中出现的次数(即成功)”,它是离散的，它的可能值是。这可以从事件的独立性中获得。其中，满足。基于本实验的背景，二项式分布的定义和符号可以给出如下：如果分发列表是,然后它被称为二项分布(以它的形式命名)，服从参数，它被写成。评论二项式分布的分布列表是非负的和规则的，这是很容易验证的。实践中二项式分布的例子：检查10件一批产品的不合格品率，包括不合格品的数量；随机调查任意50名色盲人群中的色盲人数；命中率为5的射手命中的次数。2.用二项

2、分布的分布表计算概率例2.4.1(标题描述没有区分病人和健康人！让我们改变练习的第二个问题)自动化生产线的一级品率为0.8，检验5件，至少获得2件一级品的概率。解码笔记=“5个抽样产品中的一级产品数量”，根据问题的意思，那么5个样品中至少有2个是一级产品例2.4.2知道，如果，问。解决问题并得到它,也就是说，,获取解决方案或者(放弃)，所以，所以。3.两点分布(二项式分布的特例)的二项分布称为两点分布，或0-1分布。很容易看出，如果它的分布是两点分布，它的分布列表是。表格列表为0 1备注(回到重伯努利检验的背景，讨论二项分布和两点分布之间的有用关系。)“伯努利试验中成功的次数”，然后。又想起来

3、了重伯努利试验中第一次试验成功的次数，然后彼此明显独立(在独立的第3章中讨论)，并且。结果表明，二项分布是独立两点分布的和。4.二项式分布的期望和方差如果，那么，证明通过，获得因此.又,因此.评论如果，那么。在一定时间内，概率取二项分布，即变化特征的描述：例如，当单独取时，变化特征如下1)的峰值出现在接近的值；2)的峰值随着增加而向右移动。教材中有相应的数字。示例2.4.3(自学)2.4.2泊松分布1.泊松分布的定义和符号如果分发列表是。其中，带参数的泊松分布被记录为。评论泊松分布的分布列表满足非负性和规律性。一本书的错误数量服从泊松分布；服从泊松分布的其他例子。2.泊松分布的期望和方差如果，

4、那么。(参数既有期望值又有方差！)证明评论如果，那么。请记住，这个结论是最主要的，证据已经足够了。服从泊松分布的取值概率的描述，即变化特征；如，单独服用时，其变化特征如下1)的峰值出现在接近的值；2)随着增加，分布趋于对称。教材中有相应的数字。3.泊松分布的应用实例例2.4.4铸件上的砂眼(缺陷)数量服从带参数的泊松分布，因此试着找出该铸件上最多一个砂眼(合格产品)和至少两个砂眼(不合格产品)的概率。解码笔记=铸件上的砂眼数量，然后，然后合格铸件。(查找泊松分布表)因此不合格铸件。示例2.4.5(自学)4.二项分布的泊松分布近似注意问题：二项式分布概率的计算非常大，那么如何处理呢？解决方案：转

5、向泊松分布进行近似计算。理论基础：泊松定理。定理2.4.1(泊松定理)如果，当它足够大和足够小的时候，有,其中。证据(缩写)评论接近的条件定理2.4.1的近似效果被用来揭示不同的值。见表2.4.3。泊松定理的应用实例例2.4.6已知某一疾病的发病率为0.001，某一单位有5000人，因此得出该单位患该疾病的人数不超过5人的概率。解集=本单位患此病的人数，然后，然后本单位患此病的人数不超过5人),这里，=5000很大，而=0.001也很小，所以泊松定理更好,做近似计算，得到的概率是。最后一步是通过搜索泊松分布表得到的。例2.4.7有10，000名年龄和社会阶层相同的人参加了一家保险公司的人寿保险。每个被保险人每年年初需要缴纳200元的保险费，如果被保险人在今年意外死亡，受益人可以从保险公司获得10万元的赔偿。根据生命表，这些人的年死亡率是0.001。试着向保险公司要这笔生意(1)赔钱的概率；(2)收入至少50万元的概率。解码笔记= 10，000名被保险人一年内的死亡人数，然后b(10000，0.001)，保费收入为(1)容易看到的事件“不知所措”= ，这里，=10000足够大，而=0.001足够小。因此，泊松定理更可取,做近似计算，得到的概率是。其中倒数第二步是通过搜索泊松分布表得到的。(2)注意事件至少50万元。因此.至少赚50万元。其中，最后一步是通过搜索泊松分布表得