误差方程与法方程

1、一、 间接平差原理间接平差不直接列出观测值平差值应满足的条件（条件方程），而是将所有观测值平差值均表示为t个参数的函数（误差方程），观测值通过t个参数联系起来，误差方程实际上是参数形式的条件方程。误差方程矩阵形式为：,其纯量形式为,由于方程个数为n个，而未知参数为 大于方程数，故误差方程没有唯一解，需要求满足最小二乘条件的特解，即满足 的一组特殊解。 于是根据求自由极值的原理及列矩阵对列矩阵的微分规则得到 这样通过引用最小二乘准则得出了t个方程，将其与n个误差方程联立，得到间接平差的基础方程组,将第一式代入第二式，得到法方程,由法方程，可以求得未知参数的最小二乘解,法方程的纯量形式,由上式可见

2、，法方程是一个线性对称方程组,二、按方向值列误差方程,设j、k的坐标为未知参数：零方向坐标方位角zj 为定向角未知数,jk方向坐标方位角表示为未知参数和定向角未知数的函数：,线性化：,即：,其中,同样地,令,方向值误差方程：,问题：正反方向方向值误差方程之间有什么联系？,三、史莱伯法则 以方向观测值组误差方程及法方程，由于增加了定向角未知数，未知数的总数比以角度为观测值大约要增加50。由于引入定向角未知数是为了建立数学模型的需要，定向角未知数属于多余参数，不是平差所需要的。 史莱伯法则是这样的一种方法，通过对误差方程的处理，使组成的法方程不含定向角未知数，而解出与不消除定向角未知数同解的坐标未

3、知数。,应用史莱伯法则具体步骤为： （1）直接去掉误差方程中的定向角未知数，得到虚拟的误差方程； （2）将每一个测站的虚拟误差方程分别相加，得到另一个虚拟的误差方程，称为和方程，和方程的权定义为 ，其中ni是测站i的方向数; （3）将虚拟误差方程像一般的误差方程一样用于组法方程，则可以从中解出与原始误差方程所组法方程同解的坐标未知数。,(4) 若定向角近似值采用下列计算公式计算：,则计算公式,仍然成立。原因是对应于定向角未知数 的系数 。,。,（5）若测站点和照准点均是已知点，则该方向误差方程应用史莱伯法则后不存在，但是其常数项加入了和方程常数项,。,四、高斯约化原理,高斯约化原理,归纳高斯约

4、化过程，可以总结如下： 1、设法方程阶数为n阶，则首先对第2行至第n行进行一次约化，然后对第3行至第n行进行第二次约化，,直到对第n行进行n-1次约化。约化完成后，法方程系数阵主对角线以下的元素为0，系数矩阵变为上三角阵，从而可以依次回代求解未知数。 2、一次约化时，各行元素均减去第一行同列元素乘一个因子，这个因子是第1行中列数等于被约化行数的元素除以第1行自乘元素,3、k次约化时，被约化各行元素，减去k行同列元素乘一个因子，这个因子是k行中列数等于被约化行数的元素除以k行自乘元素。 4、法方程常数项按照同样的规则进行约化,五、程序中组法方程的方法,根据法方程系数组成公式： 可见，一个法方程系

5、数元素单元pab，是由各个误差方程系数中第1和第2个未知数的系数相乘的积累加而得的，因此程序中组法方程采用的算法是：依次列出观测值误差方程，即求出误差方程的系数和常数，再将其两两相乘，存入相应的法方程系数、常数储存单元。就单元pab而言，程序代码表示为：,在示例程序之中，法方程系数元素采用数组变量nx(i)保存。所以问题归结为如何根据两两相乘的误差方程系数，确定数组元素的下标i 观察误差方程和法方程形式，可以看出两两相乘的误差方程系数所对应的未知数序号，就是法方程系数阵二维矩阵的行和列号。,示例程序法方程系数阵采用上三角储存，系数阵元数储存在一维数组中，其一维下标和二维数组元素下标对应关系如下

6、：,要实现误差方程系数两两相乘，可以通过二重循环：for i=1 to n for j=i to n .计算法方程系数数组元素序号，并类积法方程系数阵元素的语句 next j next i i和j就是法方程系数阵二维储存时的行号和列号。根据二维数组元素序号（i,j)计算一位数组元素序号的公式为：h= (j - 1) * j / 2 + i,private sub equation(b() as double, p as double, l as double) 组法方程通用过程 n = 2 * (zds - yds) for i = 1 to n 按未知数循环 ux(i) = ux(i) +

7、p * b(i) * l 组法方程常数项 for j = i to n h = (j - 1) * j / 2 + i 计算xi、xj的互乘系数在一维按列上三角存储法方程系数阵中的序号 nx(h) = nx(h) + b(i) * b(j) * p 组法方程系数阵 next j next i end sub 说明：由于误差方程中，绝大多数未知数系数为0，所以讲义中加上了if语句，加与不加结果完全相同，但不加语句更为简洁。,思考题,1、控制网平差时，可列出多少个误差方程？未知参数应该是多少个，未知数之间应满足什么关系？误差方程有唯一解吗？ 2、法方程具有什么特征？ 3、简述程序组法方程采用的方法？ 4、什么是定向