数字信号处理第六章

1、第六章iir df 无限长数字滤波器 的设计,滤波的目的 为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例 滤波技术包括: 滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数， 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的,6.1 数字滤波的基本概念,数字滤波器 输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系，滤除输入信号中某些频率成分或改变输入信号频谱中各频率分量的相对比例的器件 具有某种特定频率特性的线性时不变系统 广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器,数字滤波器的特点 精度高、稳定、灵活 不要求阻抗匹配、实现特殊的滤波

2、器 设计数字滤波器的任务 寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数h(z)具有指定的频率特性,对因果稳定的线性时不变系统：,:滤波器的传输函数,1、数字滤波器的分类： 经典滤波器： 有用频率与滤掉频率占用不同频带 现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器,经典滤波器 a、df按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通， 其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示， ， 为模拟角频率，t为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 为周期； （3）频率特性只限于 范围，这 是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的 一半。,理想滤波器的频率响应,b、df按实现的网络结构分类

3、 可分为无限长脉冲响应（iir）滤波器； 有限长脉冲响应（fir）滤波器,二、df的性能要求（低通为例）,通带 阻带 过渡带,三、df频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应,从信号不失真角度讲通常要求 相位线性,具有群恒时延特性,相位响应,四、df设计内容 1、按任务要求确定filter的性能指标； 2、用iir或fir系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。,五、iir数字filter的设计方法 1、借助模拟filter的设计方法 （1）将df的技术指标转换成af的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的

4、 ； （3）将 （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 af的技术指标。 2、计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则， 最大误差最小准则等，然后在此准则下 ， 确定系 统函数的系数。,6.2 模拟滤波器设计,iir滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的 简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法 ： 巴特沃思(butterworth)滤波器 切比雪夫(chebyshev)滤波器,621模拟滤波器设计的基本概念,1 . 模拟滤波器的频率特性与衰减特性,滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数,工程设计中给定的指标往

5、往是通带和阻带的衰减，它一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义,当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时滤波器的频率特性为,2. 归一化与频率变换,采用归一化参数 设计结果具有普遍性 计算方便 归一化包含： 电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)。 频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率） 计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化 频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法,3 . 从模方函数 求模拟滤波器的系统函数h(s),当不含有源器件，作为一个因果稳定、

6、物理可实现的系统函数必须满足的条件,a、是一个具有实系数的s有理函数,b、所有极点必须全部分布在s的左半平面内,c、分子多项式式n(s)的阶次必须小于或等于分母多项式d(s)的阶次,正实函数,实函数的傅立叶变换存在共轭对称的性质,有,从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法,a、解析延拓,令s= 代入模方函数得到 , 并求其零极点,b、取 所有在左半平面的极点作为 的极点,c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取 一半的零点构成 的零点,4 模拟滤波器的设计-逼近问题,：与通带衰减、阻带衰减有关的系数,寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性谓逼近问题 最常用的具有优良性能的滤波器： 巴特

7、沃思(butterworth)滤波器 切比雪夫(chebyshev)滤波器 椭圆(elliptic)函数或考尔（cauer）滤波器 实现线性相位的贝塞尔滤波器,622巴特沃思butterworth低通滤波器,1基本性质,bw滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数,bw的低通模平方函数表示,指定 、 后，带 到上式，得,指定 、 后，带 到上式，得,用3db截止频率 来规一化：对频率进行 ，下式变为,讨论：,当 =0 时， =1 ,取最大值,当 时， =0.5,取3db值,阻带内，由于,或,幅度随着 n的增加阻带衰减近似为6n db/倍频程。 n越大，频带特性越接近理想矩形特性,上式的台劳级

8、数展开为 ：,=0处函数对2nl阶导数都等于零曲线在 =0附近是最 “平坦”,巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器”,归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性,2设计过程,(a)按给定指标确定阶次n,实际计算时，要对上式求得的数值取整加1。,若给定的指标 =3db, 即通带边频 时, =1,可求得,(b)从模方函数求系统函数h(s),求得极点,分析讨论,在归一化频率的情况 =1，极点均匀分布在单位圆上,对于物理可实现系统,它的所有极点均应在 s的左半平面上,系统函数的构成,滤波器的极点求出后，可取左平面上的所有极点构成系统函数,对于低通滤波器，为了保证在频率零点 =0处， =1，可取,因此得,例6-

9、2-1举例说明系统函数的构成,设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标: 通带边频 =100k rad/s, 通带的最大衰减为 =3db，阻带边频为 =400k rad/s,阻带的最小衰减为 =35 db,解:由于通带边频就是3db 截止频率，即,确定阶次n,求左半平面的极点:,得极点：,构成巴特沃思滤波器传输函数h(s)为,相对截止频率 归一化，得归一化巴特沃思滤波器传输函数,一般n阶归一化巴特沃思滤波器传输函数 表示,是 =1时的极点，分布在单位圆上,分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查表求得,见表5-2-1,表6-2-1 巴特沃思多项式系数,表6-2-2 巴特沃思多项式因式分解,上述

10、归一化公式和表格是相对3db 截止频率 给出的。由指定的技术指标 利用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的节数n和3db 截止频率 。 n用来求巴特沃思多项式， 用来反归一化，求实际滤波器的参数。,设计举例二（巴特沃斯filter） 1、技术指标 2、计算所需的阶数及3db截止频率 将技术指标，代入上式，可得,解上述两式得：,因此，,取n=6，则,3、 的求得 查表，可得n=6时的归一化原型模拟巴特 沃斯lf的系统函数为,将s用 代入，可得,623 切比雪夫滤波器,自学, 6-3模拟滤波器频率转换 a、高通滤波器的设计 变换关系：,b、设计步骤 1、高通滤波器的技术指标 归一化

11、频率指标,2、转换为低通滤波器的归一化技术指标,3、求归一化低通滤波器的系统函数,4、求高通滤波器的系统函数,b、带通滤波器的设计 技术指标：,归一化频率是对b进行归一化 归一化频率技术指标：,变换关系：,b、设计步骤 1、带通滤波器的技术指标 归一化频率指标,2、转换为低通滤波器的归一化技术指标,3、求归一化低通滤波器的系统函数,4、求带通滤波器的系统函数,c、带阻滤波器的设计 技术指标：,归一化频率是对b进行归一化 归一化频率技术指标：,变换关系：,b、设计步骤 1、带阻滤波器的技术指标 归一化频率指标,2、转换为低通滤波器的归一化技术指标,3、求归一化低通滤波器的系统函数,4、求带通滤波

12、器的系统函数,6-4 冲激响应不变法 af设计完毕以后，还应将 变换成h（z）， 也就是将s平面映射到z平面。,变换关系的基本要求： 1、因果稳定的af转换为df，也是因果稳定； s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部 2、df的频率响应模仿af的频率响应， s平面平面 的虚轴映射到z平面的单位圆，相应的频率之间 成线性关系。,通常有三种方法： （1）冲激响应不变法； （2）阶跃响应不变法； （3）双线性变换法。 我们这里只讨论冲激响应不变法和双线性变换法,设计iir滤波器的脉冲响应不变法,1设计的基本原理和方法 原理：从时域响应出发，使求得的数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的

13、单位冲激响应h(t)的抽样值。,如果：,则可有下式求的h（z）：,af的数字化方法 a、一般方法 。先 ，再对 抽样，使 ，最后 h（z）=zh（n），一 般说来过程复杂。 b、方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分 子的阶次， 可展成如下的部分公式,因此，,如果模拟滤波器的系统函数是稳定的，其极点应位于左半平面,对z平面的极点有,位于单位园内。因此h(z)是一个稳定的离散系统函数，这说明由一个稳定的模拟滤波器得到了一个稳定的数字滤波器,映射关系,脉冲响应不变法的映射过程,2脉冲响应不变法设计的滤波器的频率响应,根据抽样定理，序列h(n)的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓,原模拟滤波

14、器的频率响应为 ，,由于h(n)是h(t)的等间隔抽样,如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率之内，即,这样数字滤波器的频率响应才能等于模拟滤波器的频率响应,然而，高通和带阻滤波器不能满足(-2-)式的要求，将会产生混叠 脉冲响应不变法不适合用来设计高通和带阻数字滤波器。,3、几点结论 （1）s平面的单极点 变为z平面单极点 就可求得h（z）。 （2） 与h（z）的系数相同，均为 （3）af是稳定的，df也是稳定的。 （4）s平面的极点与z平面的极点一一对应，但两 平面并不一一对应。 例如，零点就没有这种对应关系。,4修正,消去t的影响,由上式可见，数字频率响应与模拟频率响应的第一差别是具有

15、一个乘法因子(1/t)= fs，当采样频率fs很高时，将会使滤波器的增益很大，这往往是不希望的，为此可对下式作修正：,例6-3 af的系统函数为 试用冲激响应不变法，设计iirdf，t=1 解： 设t=1，,6-5 双线性变换法,脉冲响应不变法的主要缺点： 对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器 原因：从s平面到z平面的映射是多值的映射关系,双线性变换的映射过程,脉冲响应不变法的映射过程,双线性变换法的改进,为避免频域的混叠，分两步完成s平面到z平面的映射,将s平面压缩到某一中介的s1平面的一

16、条横带域,通过标准的变换将此横带域映射到整个z平面上去，,实现方法：,再通过z变换，将1映射到z平面的单位圆上,通过下面的正切变换， 将s平面的j轴压缩到s1平面的j1轴上的,将正切变换延拓到整个s平面，得到s平面到s1平面的映射关系,再将s1平面按关系式 映射到z平面得到,双线性变换,或,双线性变换的映射关系满足关于映射关系可行性的两个条件,（1）s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上； （2）位于s左半平面的极点应映射到z平面的单位圆内。,带入表达式,得：,说明s平面的虚轴 映射成了z平面的单位圆,得：,显然当 时， 1，,s平面的左半平面轴映射到了z平面的单位圆内，保证系统函数经映射后稳定性

17、不变,双线性变换的频率对应关系,模拟频率与数字频率是一种非线性的关系,模拟滤波器与数字滤波器的响应与对应的频率关系上发生了畸变，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点,双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计iir数字滤波器的方法。,在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密,2频率预畸变,为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟低通滤波器系统函数之前必须按下式进行所谓频率预畸变,3、双线性变换的特点,a。s平面的虚轴（ ）映射到z平面的单位圆上。,b。稳定的af，经双线性变换后所得df也一定是稳定的，这是,因为

18、稳定的af，其极点必全部位于s的左半平面上，经双线性变 换后，这些极点全部落在单位圆内。,c。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。,变换关系近似于线性，随着 的增加， 表现出严重 非线性 。因此， df的幅频响应 相对于af的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿 这种失真时，双线性变换法才是实用的。,d.频率的非线性失真,从 的关系曲线可以看出，在零频附近， 与 之间的,4、 设计方法,1。直接代入法,2.间接代入法,先将 af的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子,系统函数进行双线性变换。,例如,并联形式与上述类似,3。表格法,由于代入法 在应用时可能比较麻烦，因此如果能预先求出af 与df的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。,例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器,设计参数：通带数字截止率 ，通带内最大衰减,阻带数字截止率 ，阻带内最小衰减,解 第一步 进行频率预畸变