高中数学 （3.1 单调性与最大（小）值 第2课时）示范教案 新人教A版必修1（通用）

1、高中数学(3.1单调性和最大(小)值第2课)模范教学案新人教a版必修1引进新课构想1 .某工厂为了扩大生产规模，计划新建面积为10万m2的矩形新工厂，新工厂长度为x m，宽度为m，围栏ym正在建设中。 如果你是这个工厂的厂长，你会选几米长、几米宽的矩形土地，新工厂的篱笆y变得最短吗？学生首先思考和讨论，人民教师指出这个问题意味着求出函数y=2(x )、x0的最小值。 引出这一节的课题：在生产和生活中，我们最关心费用最少、材料最节约、使用时间最节约等最大值问题，这些个的最大值有利于我们的生产和生活。 什么是函数的最大值？ 这是我们今天学习的课题。 用函数知识解决实际问题，将实际问题转换为求函数的

2、最大值。 这就是函数的思想，用函数解决问题思维方法2 .绘制以下函数的图像，指出图像的最高点或最低点，说明函数能表现出什么样的特征f(x)=-x 3； f(x)=-x 3，x-1，2；f(x)=x2 2x 1； f(x)=x2 2x 1，x-2，2。学生回答后，人民教师引出课题：函数的最大值推进新课程新知探索提出问题如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x 1、x-1，、y=f(x )的图像。图1-3-1-11函数图像上任意点P(x，y )的坐标与函数的关系如何？您是如何理解函数图像的最高点的？在问题1中，对函数y=f(x )的图像取点A(x，y )，如图1-3-1-12所

3、示，设点c的坐标为(x0，y0 )，能以数学符号说明在函数y=f(x )的图像中存在最高点c的是谁？图1-3-1-12在数学中，将问题1那样的函数y=f(x )的图像上的最高点c的纵轴称为函数y=f(x )的最大值。 谁能给出函数最大值的定义？在函数的最大值的定义中作为f(x)M的f(x)f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x )的函数值具有怎样的特征，其图像中有什么样的特征？函数最大值的几何意义是什么？函数y=-2x 1，x(-1，)有最大值吗？ 为什么？点(-1，3 )是函数y=-2x 1，x(-1，)的最高点吗？从这个问题中发现了什么值得注意的地方吗？研究结果：函数y=-x2-2x图

4、像具有最高点a，函数y=-2x 1，x-1，图像具有最高点b，函数y=f(x )图像具有最高点c，即，这些个的3个函数的图像共同的特征全部具有最高点.函数图像上任意点p的坐标(x，y )的含义：横轴x是自变量的取值，纵轴y是自变量为x时对应的函数值的大小.图像最高点的纵轴是所有函数值中的最大值，即函数的最大值。由于点c是函数y=f(x )的图像的最高点，所以点a在点c之下，即在定义域内的任意x处，yy0，即在f (x )f (x0)，即在函数y=f(x )的定义域内的任意x处，f (x )f (x0)成立。一般来说，将函数y=f(x )的定义域设为I，如果有实数m，则(1)对于任意的x-I，为

5、f(x)M像(f(x0)=M那样存在x0I。m是函数y=f(x )的最大值。f(x)M反映函数y=f(x )的所有函数值在实数m以下的这个函数的特征是，图像中有最高点，最高点的纵轴是m函数图像上最高点的纵轴这是因为函数y=-2x 1，x-(1，)没有最大值，函数y=-2x 1，x-(-1，)的图像没有最高点。不是，因为这个函数的定义域没有-1研究函数的最大值时，必须坚持定义域优先原则的函数图像有最高点时，该函数必须存在最大值，最高点必须是函数图像上的点提出问题计程仪函数的最大值，请给出函数最小值的定义和几何意义安娜计程仪问题9，你认为讨论函数最小值应该注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义

6、，利用定义进行类比定义。 最高点类比最低点，符号不等号类比不等号函数的最大值和最小值统称为函数的最大值研究结果：函数最小值的定义为：一般而言，函数y=f(x )的定义域被设定为I，并且如果存在实数m，则函数y=f(x )。(1)对于任意的x-I，有f(x)M像(f(x0)=M那样存在x0I。m是函数y=f(x )的最小值。函数最小值的几何意义：函数图像上最低点的纵轴研究函数最小值，还必须坚持定义域优先原则，当函数图像有最低点时，此函数必须存在最小值，最低点必须位于函数图像上的点应用示例一号思维方法例1求出函数y=区间 2，6 中的最大值和最小值.活动：先思考，讨论，然后写在黑板上。 如果学生没

7、有证明思想，图像的最高点的纵轴是函数的最大值，图像的最低点的纵轴是函数最小值。 从函数的图像观察单调性，利用函数单调性的定义进行证明，最后利用函数的单调性求出最大值和最小值。 使用变换法来画出函数y=的图像，仅取区间 2，6 上的部分。 观察能够得到函数的图像会上升。解：设定为2x10、(x1-1)(x2-1)0。f(x1)f(x2)，即函数y=在区间 2，6 中是减函数。因此，在x=2时，函数y=在区间 2，6 取最大值f(2)=2在x=6时，函数y=在区间 2，6 中的最小值f(6)=。变式训练求出求出的函数y=x2-2x (x- 3，2 )的最大值和最小值_ .答案：最大值为f(-3)=

8、15，最小值为f(1)=-1。2 .函数f(x)=x4的2x2-1的最小值是分析：(换元法)求二次函数转换为最小值假设x2=t，y=t2 2t-1(t0 )，则此外，在t0时，函数y=t2 2t-1是增函数当t=0时，函数y=t2 2t-1(t0 )取最小值-1。函数f(x)=x4 2x2-1的最小值是-1。回答：-13 .描绘函数y=-x2 2|x| 3的图像，指出函数的单调区间和最大值分析：函数的图像关于y轴对称，首先画y轴右侧的图像，利用y轴左侧对称得到函数图像的图像，根据单调的几何学意义画出单调的区间解：函数图像如图1-3-1-13所示。图1-3-1-13从图像中，函数的图像在区间(-

9、1)和 0，1 上升，在-1，0 和(1，)下降，最高点为(1，4 )故函数在(-1)、0，1 )中作为增函数的函数在-1，0 中(1，)是减函数，最大值是4。本问题主要考察函数的单调性和最高值，以及最高值的求解方法。 求函数的最大值时，首先画函数的图像，决定函数的单调区间，用定义法证明，最后利用单调性写最大值的方法适用于解答问题。用单调法求出函数的最大值：首先判断函数的单调性，利用其单调性求出最大值函数y=f(x )在区间(a，b )单调增加，在区间(b，c )单调减少时，函数y=f(x )在x=b具有最大值f(b )的函数y=f例2【菊】焰火是最壮观的焰火之一，制造时有望在达到最高点时破裂

10、。 如果焰火离地面的高度h m与时间t s的关系为h(t)=-4.9t2 14.7t 18，那么，焰火飞出后什么时候破裂最好呢？ 此时，离地面有多高(准确地说是到1m )活动：指定黑板上写的学生，人民教师在下面巡逻，及时帮助学生出错。 马上做评估学生的板书。 将实际的问题最终变成函数的最大值，绘制函数的图像，利用函数的图像求出最大值。 “焰火飞出后，什么时候破裂最佳的时刻”是当t取哪个值时函数h(t)=-4.9t2 14.7t 18取最大值的“此时，距地面的高度有多少(到1 m )”，函数h (t )=-4.9 t214.7 t解：若描绘函数h(t)=-4.9t2 14.7t 18的图像，则如

11、图1-3-1-14那样显然，函数图像的顶点是烟花上升的顶点，顶点的横轴是花火爆炸的最佳时刻，纵轴是此时距地面的高度图1-3-1-14根据二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 14.7t 18，我们拥有当t=1.5时，函数具有最大值也就是说，烟花飞出后1.5s破裂的最佳时间节点，距地面的高度约为29m。评价：本问题主要考察使用二次函数的最大值问题和二次函数解决实际问题的能力将实际问题转化为数学问题总结结论注意：为了求出必须坚持定义域优先原则的二次函数的最大值，必须利用图像即数形结合变式训练1.2020山东点心二型，句子10把长12厘米的细铁丝切成两半，分别做成正三角形，这两个正三角形面

12、积之和的最小值是()A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2假设一个三角形的边长为x cm，另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积之和为s，则S=x2 (4-x)2=(x-2)2 22。在x=2的情况下，s取最小值2m2，所以选择d。回答： d2 .一家超市为了获得最大利润，以10元1个的价格出售单价为8元的商品，就可以每天卖出60个，现在，众所周知，通过提高售价减少进货量来增加利润，这种商品每涨1元销售量就减少10个分析：设定未知数，引入数学符号，建立函数关系公式，研究函数关系公式的定义域，并结合问题的实际意义进行了回答解：商品售价为x元时，利润为y元时y=(x-

13、8)60-(x-10)10是- 10 (x-12 )2- 16 )=-10 (x-12 ) 2160 (10 x 16 )仅在x=12时y为最大值160元也就是说，如果把售价设定为12元，最大利润就是160元二号思维方法例1已知函数f(x)=x，x0证明(1)00的最小值活动：学生判断函数单调性的方法和考虑函数最小值的意义；(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)应用函数的单调性函数最小值(1)解：任意取x1、x2(0，)且x1x2的话f(x1)-f(x2)=(x1 )-(x2)=(x1-x2)=，x1 x2，8756； x1-x20，x1x20在0x1x21的情况下为x1x2-10f(x1)

14、-f(x2)0。f(x1)f(x2)，即00f(x1)-f(x2)0当f(x1)f(x2)，即，x1时，函数f(x )是增函数.(2)解法1 :根据(1)，在x=1适当的情况下，函数f(x)=x，x0取最小值。另外，如果f(1)=2，则函数f(x)=x、x0将最小值设为2 .解法2 :用计算机软件描绘函数f(x)=x，x0的图像，则如图1-3-1-15所示图1-3-1-15由图像可知，在x=1时，函数f(x)=x，x0取最小值f(1)=2.评价：本问题主要考察函数的单调性和最高值。 定义法律证明函数的单调性的步骤是“去比赛”三个步骤不可或缺利用函数的单调性求函数的最大值的步骤：判断函数的单调性，利用其单调性求最大值函数y=f(x )在区间(a，b )单调增加，在区间(b，c )单调减少时，函数y=f(x )在x=b具有最大值f(b )的函数图像法求函数最大值的步骤：画函数的图像，根据函数最大值的几何意义，用图像写最大值变式训练1 .求出函数y=(x0 )的最大值解析：可以证明函数y=(x0，0 )是减函数函数y=(x0 )的最大值是f(0)=3。2 .求出函数y=|x 1| |x-1|的最大值和最