微积分三大中值定理详解

1、4.1微分中值定理,4.2洛必达法则,4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值,4.4函数曲线的凹向及拐点,4.5曲线的渐近线与函数作图,4.6导数在经济学中的应用,第四章 中值定理及导数的应用,4.1 微分中值定理,一、引言 二、微分中值定理 1、罗尔(rolle)定理 2、拉格朗日(lagrange)定理 3、柯西(cauchy)定理 三 、小结,一、引言(introduction),导数刻划函数在一点处的变化率，它反映 函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。

2、中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。,二、微分中值定理the mean value theorem,在微分中值定理的三个定理中，拉格朗日(lagrange)中值定理是核心定理，罗尔中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推广。 下面我们逐一介绍微分中值定理。,1、罗尔 ( rolle ) 定理(r-th),使,3),几何意义:,在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点处的切线是水平的.或者说切线与端点的连线ab平行.,证明,1) 若,可取(a, b)内任一点作为,2) 若,即,所以,证毕.,注意：罗尔

3、定理的条件组是结论成立的充分条件，任一条都不是必要条件。 若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。,再如,在右端点不连续,但,然而,注意：零值定理求函数的零点(函数方程的实根)，罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。 题型1：验证定理的正确性。定理结论中的客观存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。 题型2：找区间(比较复杂)； 题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程),在x=0处不可导,也不存在结论中的点,注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。,例4 设f(x)可导，且f(a)=f(b)=0，试证在(a,b)内至少存在一点，使f()+f

4、 ()=0 证明：构造函数 f(x)=f(x)ex 则 f(a)=f(a)ea=0 f(b)=f(b)eb=0 由于f(x)在a,b上连续，在开区间(a,b)内可导 且 f (x)=f (x)ex+f(x)ex 所以，在(a,b)内至少存在一点 ，有f ()=0 即 e f ()+e f()=0 f()+f ()=0,例5 已知f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，ax1x2x3b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，试证明在(a,b)内至少存在一点 ，使f ()=0 证明：f(x)在区间(a,b)内二阶可导 f(x)在区间x1,x2，x2,x3内连续可导 f(x1)=f(x2)=f(x3

5、) 由罗尔定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3) 使得f ( 1)=0，f ( 2)=0 再由罗尔定理得，,解 答,练一练,解 答,练一练,解 答,2）唯一性,由零点定理,即为方程的正实根.,矛盾,1）存在性,注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。,2、拉格朗日 (lagrange) 定理(l-th),或,至少有一点,定理,几何意义：,在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点c，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.,分析,要证,即证,即证,令,只须证,证明,且,即,根据罗尔定理知，,使,即,即,构造辅助函数,2) 定理结论肯定中间值

6、 的客观存在,但未指明确切位置,可通过求解导数方程确定。(题型1：验证定理的正确性),1) 定理的条件组是充分条件。,.,注意,3)题型2：找区间； 4)题型3：找函数； 5)题型4：证明等式； 6)题型5：证明不等式。,拉格朗日中值公式.,2) 若令,则,于是拉格朗日公式可写成:,(3),3) 若令,则得有限增量公式:,(4),说明,（2）,4） 是函数增量 的近似表达式 是函数增量 的精确表达式,证明,不妨设,使,所以,对,例8 已知函数f(x)在(,+)内满足关系式f (x)=f(x)，且f(0)=1,证明：f(x)=ex 。 证明：构造函数,证明,由推论1知,即,解,即,即的确在 (0

7、,1) 内找到,使定理成立.,应用定理知,解 答,时,例10 证明: 当,证 设,对, 使,即,因,所以,即,证 明,证 明,使得,且,3、柯西(cauchy)中值定理(c-th),定理,思考,2、证明,解答,2o 对f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即,2、证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数f(x) 及定义区间: 令 f(x)=lnx , xb, a.,1、 b .点c不能为任意，因为函数和区间确定时，l-th结论中的c的位置是客观确定的。,例17：设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在一点，,使得,f (x)，g(x)在a,b上满足柯西中值定理，在(a,b)内至少存在一点，使得,左边分母有理化,又因为f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理，所以在(a,b)内至少存在一点，使得,小 结：,罗尔定理 如果函数yf(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且有f(a)f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)0,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,1.三个中值定理,柯西中值定理 函数f(x)及f(x)在闭区