圆的参数方程及其应用

1、1、参数方程的概念,（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数，即 并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。,（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。,已知曲线C的参数方程是 (1)判断点（0，1）,(5,4)是否在上. (2)已知点（，a）在曲线上，求a.,1、曲线 与x轴 的交点坐标是( ) A、（1，4）；B、

2、 C、 D、,B,( ),C,2、圆心不在原点的圆的参数方程：,例2、已知点 P 是圆 x 2 + y 2 = 16 上的一个动 点，点 A 是 x 轴上的定点，坐标为 ( 12 , 0 )， 当点 P 在圆上运动时，线段 PA 的中点 M的轨迹是什么？,解：设 M ( x , y )、P ( 4cos, 4sin), A(12, 0), ( x 6 ) 2 + y 2 = 4,变式练习： 在本题已知条件下，若点 M 分 PA 成定比 2 : 1，求点 M 的轨迹方程。,例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （

3、x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),练习： 1.填空：已知圆O的参数方程是,(0 2 ),如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是,A,的圆，化为标准方程为,（2，-2）,1,解法1:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y),(2x-12)2+(2y)2=16,即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4,点P在圆x2+y2=16上,例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,示例分析,解

4、法2:设M坐标(x , y),可设点P坐标为(4cos,4sin),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,示例分析,例5、已知圆的方程是 x 2 + y 22ax + 2( a2 )y + 2 = 0 ，其中 a 1 且 a R (1) 求证: a 取不为 1 的实数时，上述圆恒过定点 (2) 求圆心的轨迹方程,(2) 圆心为 ( a , 2a ),(1) x 2 + y 24y + 2 2a( x y ) = 0,定点 ( 1 , 1

5、 ), x + y 2 = 0,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。,问题：已知 a 2 + b 2 = 1，求 a + b 的最值。,只能求最大值,问题：若 x 2 + y 2 = r 2，x、y 如何三角换元？,练习题：已知点P（x，y）是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值； （2）x+y的最值； （3）P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。,解：圆x2+y2- 6x -4y+12=0即（x - 3）2+（y - 2）2=1， 用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），, x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。,(3),显然当sin（ + ）= 1时，d 取最大值，最 小值，分别为 ， 。,例3、设实数 x、y 满足 x 2 + ( y 1) 2 = 1，求 (1) 3x + 4y；(2) x 2 + y 2 的最值。,(1) t = 4sin+ 3cos+ 4,(2) t = 2 + 2sin,变式练习： 在本题已知条件下，求使不等式： x + y + m 0 恒成立的实数 m 的取值范围。,简析:同理可得 ( x + y ) 的最大 值 为,