第7章-简单系统的动态：一阶系统和二阶系统.ppt

1、一阶系统 与 二阶系统,一阶正反馈系统 一阶负反馈系统 S型增长的反馈结构 二阶系统、复杂系统简介,第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统,补充 DYNAMO语言概述,DYNAMO是一种计算机模拟语言系列。取名来自Dynamic Models(动态模型)的混合缩写。 顾名思义，DYNAMO的涵义在于建立真实系统的模型，并借助于计算机进行系统结构、功能与动态行为的模拟。 DYNAMO系列是伴随系统动力学，相辅相成地发展起来的。 DYNAMO、 DYNAMO 、 DYNAMO 、 DYNAMO DYNAMO是特地为模拟动态反馈系统而设计的专用语言。它能够方便地以表格、图形等形式输出数据型的模拟

2、结果。,DYNAMO 语言概述,当模拟一个动态反馈系统时， DYNAMO按每一个时间间隔（DT）为一步，对系统进行定量模拟，并逐步地模拟下去，从而得出系统的行为。,时间下标：J、K、L 时间间隔：DT准确度,DYNAMO中的时间下标,DYNAMO模型中各种方程,L 状态（State, level)变量方程 在DYNAMO中计算状态变量（或称积累变量）的方程称为状态变量方程。 L LEVEL.K=LEVEL.J+DT * (INFLOW.JK- OUTFLOW.JK) R 速率（变化率）方程 速率方程无一定格式； 速率的值在DT时间内是不变的，其时间下标为KL。 A 辅助(Auxiliary)方

3、程 辅助方程定义为在反馈系统中描述信息的运算式； “辅助”的涵义就是帮助建立速率方程。 C 赋值予常数 T 赋值予表函数中Y坐标 N 为LEVEL方程赋予初始值,5,7.1 一阶正反馈系统 7.1.1一阶正反馈系统的“流图”描述,6,3.1 一阶系统与复杂系统,定义：系统的阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。 一阶系统就是含有一个状态变量的系统。 在现实世界中，高阶数、多回路、非线性的反馈复杂系统比比皆是。 研究复杂系统系统动力学 系统动力学认为：一个复杂系统的行为往往由某些主回路和主要变量决定，换言之，复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路和主要变量。 因此，一个高阶系统可以从结构上分解

4、为一阶或低于四阶的简单系统。 也就是说，简单系统是各种复杂系统中的基本单元或通用的子结构。 其中，一阶系统是最基本、最简单的系统单元。,3.2 一阶正反馈系统,在正反馈过程中，由于变量自身的反馈作用，将不断加剧该变量的增长或减小。 如：滚雪球、雪崩效应,正反馈：“良性”或“恶性”的循环 这种效应取决于回路中各部分之间的作用是相互改善还是恶化。 良性：规模收入GDP增长 恶性：工资物价增长， 军备增长， 吸毒泛滥等,工资物价增长因果反馈关系,军备增长的因果反馈关系,正反馈系统特性指数增长,指数增长曲线描述了大多数正反馈系统的特性。 如：发展中国家的人口增长， 污染问题， 再生自然资源的消耗与减少

5、， 都表现出指数增长或减少的特点。,指数增长曲线,指数增长的突出特点是，一开始似乎增长得很慢，然后在短时间内猛增。,正反馈系统结构与方程,L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK) R RT.KL=CONST*LEV.K C CONST=1 式中： DT计算时间间隔（年）； CONST常数（1/年）； LEV状态变量（单位）； RT速率（单位/年）,正反馈系统的典型流图,正反馈一般结构,指数增长方程式：,正反馈系统参数推导,令t=T=1/CONST LEV(T) = LEV(0)e =2.73 LEV(0) t=2T LEV(2T) =2.73 LEV(T)=LEV(0)e2=7.45

6、LEV(0),L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK) 变形： (LEV.KLEV.J)/DT=RT.JK DT0， d LEV(t)/dt =RT(t) 假设: RT(t)=CONST*LEV(t) 则： d LEV(t)/dt = CONST*LEV(t) 解得： LEV(t) = LEV(0)eCONST*t,正反馈系统重要参数,1. 时间常数T 定义：时间常数为CONST的倒数。 T=1/CONST 涵义：T决定正反馈系统中增长或减少的速度。 当T(或1/CONST）大时， 相应的LEV(t) 为较平缓的增长曲线； 反之，LEV(t)为较陡峭的变化曲线。,时间常数T与倍增时间

7、Td的关系,2.73 LEV(0),7.45 LEV(0),LEV(0),正反馈系统重要参数,3. T与Td的关系： LEV(t) = LEV(0)eCONST*t 令 LEV(t) = 2LEV(0) 2LEV(0)=LEV(0)eCONST* Td 2= eCONST* Td 则 Td =ln2*T=0.69T,2. 倍增时间Td 变量由初始值增至二倍的初始值时所需的时间。 每经过一个Td ，LEV的值将较前增加一倍。 LEV(0) 2LEV(0),时间常数T与倍增时间Td的关系,LEV(0),2LEV(0),2*2LEV(0),8LEV(0),正反馈系统举例,LEV的初始值计算RT; R

8、T*DT; RT*DT+LEV初始值，得新的LEV; 新的LEV代替初始值，重复计算。,银行储蓄的本利计算：,LEV与RT的指数增长,L RAL.K=RAL.J+(DT)(IPR.JK) N RAL=1 R IPR.KL=FAIR*RAL.K C FAIR=0.2,银行利息流图,正反馈指数增长的重要特点,以不同大小的时间坐标范围观察指数增长过程： t15 Td 前，增长趋势不显著， t 15 Td 后，状态变量猛然暴涨。,正反馈超指数增长,如图，实线表示的非线性情况，其变化率的增长速度较虚线表示的线性增长情况快得多，这种增长过程称为超指数增长。 系统时间常数变化的非线性系统比起线性系统具有更加

9、突出的指数增长特性。,非线性的变化率状态关系曲线,超指数增长曲线,正反馈指数增长与崩溃,指数崩溃模式曲线,可产生两种模式的系统变化率与状态关系曲线,正反馈系统小结,在正反馈闭合回路中，其一部分的变化将引起全体在同一方向上产生无休止的变化过程。 正反馈系统最简单的模型只包括一个状态变量，它累计速率的变化，状态值的一般特性是指数式增长，不过系统中也可能发生加速崩溃的过程。 指数增长过程的显著特点可用倍增时间表述。 在现实生活中的有界限环境中，正反馈、负反馈力量相互作用于事物的发展。,19,7.2 一阶负反馈系统,7.2 负反馈系统,负反馈系统的特点是它的跟随目标的特性（寻的特性）。 即状态值的任意

10、增或减使状态值与目标值之间产生偏差，为了减小偏差，系统的内部作用反过来使状态值相应的减或增，使偏差减小，最终仍大体维持了原先的状态。,负反馈结构的因果与相互关系回路图,负反馈结构因果关系图： 期望状态（目标） 系统状态（水平） 偏差 校正量（速率）,诸如自调节、自控制、自均衡，体内平衡或自适应等隐含存在着寻的或趋向目标的负反馈结构。,负反馈系统结构与方程,负反馈系统的典型流图,基本方程式： L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK) R RT.KL=CONST*DISC.K A DISC.K =GLLEV.K 式中： DT计算时间间隔(时间)； CONST常数（1/时间）； LEV状态

11、变量（单位）； RT速率（单位/时间）； DISC 偏差（单位）； GL 目标值（单位）,负反馈一般结构,负反馈系统参数推导,L LEV.K=LEV.J+(DT)CONST* (GLLEV.K) 变形： (LEV.KLEV.J)/DT=CONST*(GLLEV.K) DT0 d LEV(t)/dt = CONST*(GLLEV(t) 解得： LEV(t) = GLGLLEV(0)eCONST*t,令 t=T=1/CONST LEV(T) = GLGLLEV(0)e1 = LEV(0)+(1- e1)GLLEV(0) = LEV(0)+0.632GLLEV(0) LEV(2T) = LEV(T)

12、+0.632GLLEV(T) LEV(3T) = LEV(2T)+0.632GLLEV(2T),负反馈系统重要参数,1. 时间常数T T=1/CONST 涵义：代表状态在初始值LEV(0)基础上增长0.632倍的偏差值（目标值与初始值之差）所需的时间。 随着T的增加，状态值(LEV)将越来越接近目标值(GL)。 经过3倍的T之后，LEV接近目标的程度可达到95%； 而经过4T后则达到99%。 （系统状态趋于稳定）,负反馈系统的过渡过程,负反馈系统重要参数,状态变量的指数衰减曲线,2. 减半时间常数Th LEV(t) = LEV(0)eCONST*t 1/2LEV(0) = LEV(0)e(1/

13、T)*Th 整理后得： Th =T*ln2=0.69*T,Th=0.69T,负反馈系统行为特性,负反馈系统的图解模拟,寻的负反馈系统的三种行为模式,模式(1)： GL0, LEV(0)0,（LEV(0)-GL）0 状态值渐近增长趋向目标值GL。 模式(2)：GL0, （LEV(0)-GL）0 状态值指数衰减趋向目标值GL。 模式(3)：GL=0, LEV(0)0 状态值指数衰减至0。,寻的系统运行模式(1)与(2),零目标结构寻的系统,负反馈系统的补偿特性,负反馈系统具有当其状态变量受外界输入（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为补偿特性。,方程式： L LEV.K=LEV

14、.J+ (DT)(RT1.JK+RT2.JK) R RT1.KL=CONST*DISC.K C CONST=1 A DISC.K=GLLEV.K C GL=100 R RT2.KL=CRT C CRT=8,带有不变外生输入速率的负反馈系统,当NTRT=0时， CRT=CONST*(GLLEV.K） =CONST*GL+LEV*CONST LEV=NGL=（CRT/CONST）+GL 或以时间常数T(T=1/CONST)表示, NGL=T*CRT+GL,速率状态变量关系曲线,系统新的动态平衡,系统新的平衡值比原目标值GL增加了T*CRT,推导： RT1.KL=CONST*（GLLEV.K） RT

15、2.KL=CRT NTRT.KLCONST*（GL LEV.K）+CRT,负反馈系统小结,由此可见，负反馈系统具有补偿功能。 即：当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。此差值（或称误差）与系统的时间常数及外生速率有关。 （1）在最简单的系统中，基于状态值与目标值之差的速率发挥调节作用，驱动系统状态趋向目标值。 （2）时间常数T决定系统对状态变化的反应速度。 负反馈系统具有力图维持系统处于平衡状态（寻的）的特性。,举例：库存控制系统,销售率阶跃增加？,简单的库存控制系统,一阶负反馈系统对销售阶跃增加的响应,新的平衡,31,7.3 一阶S形增长系

16、统 7.3.1 一阶S形增长概述,32,33,图7-10 传染病蔓延问题的模拟结果,34,图7-10 感染人数GR同患病人数IP之间的关系,7.3 S形增长的反馈结构,S形增长是颇具典型的一种系统行为，它包含了指数与渐近两种增长过程。,S形增长曲线,正反馈+负反馈 稳态,S形增长过程在现实生活中普遍存在。 如： 学习过程 动物繁殖,S形增长系统分析,从反馈的机制分析，系统产生S形行为的基本条件是：正反馈先起主导作用，然后负反馈转而起主导作用。,非线性速率状态曲线,结论： 任何具有上图中速率状态关系的一阶系统都必定产生S形增长行为。,S形增长结构的模拟图,S形增长结构的稳定与非稳定平衡,若系统的

17、状态变量LEV最终达到某个状态并长期保持下去，则称系统达到稳定平衡。 此时：RT=0, LEV的值不再变化。,非稳定平衡 LEV=0；RT=0 称非稳定平衡的状态。,外界影响？,S形的增长结构,S形增长小结,产生S形增长特性的必须条件：系统内部起主导的反馈作用受非线性的影响由正反馈转化为负反馈。 RT-LEV关系曲线具有明显的特点，速率先随状态值而增长，达到最大之后逐渐减小至0。状态变量S形增长过程中出现拐点对应的速率的最大值。 当变化率为0时，LEV达到稳定平衡，这是一阶负反馈机制的重要特性。 现实生活中的S形增长现象：如在一定地区范围内传染病的蔓延、动植物的繁殖等。,7.4 二阶系统概念与

18、结构,二阶系统就是包含两个独立状态变量的系统。,库存劳动力系统流图,L INV.K=INV.J+DT*(PR.JKSR.JK) N INV=DINV R PR.KL=WF.K*PPM； WF.KL=(外生函数) L WF.K=WF.J+DT*(HFR.JK) N WF=SR/PPM R HFR.KL=(DINVINV.K)/(ICT*PPM*WFAT),二阶系统基本行为模式,阶跃输入？ 渐近增长 超调 衰减震荡 等幅震荡 发散震荡,二阶系统对阶跃输入的响应,一阶系统、二阶系统的震荡,一阶系统只含有一个状态变量，故各辅助变量与变化率都彼此直接或间接地与此状态变量联系着。若此状态变量不再变化，则模型中的辅助变量均不再变化，因此输入、输出变量也不会发生变化。模型中的一切量都保持为常数，达到动态平衡。 对于二阶系统，若要使模型处于稳定状态，则要求两组输入、输出变量同时各自相等。假设一个状态变量处于稳定状态，但另一状态变量可能尚未稳定。来自后者的不稳定力量