王划一_自动控制原理_2-1数模.ppt

1、1,第二章 控制系统的数学模型,主要内容: 1.数学模型的概念,建模的原则 2.传递函数(transfer functions) 3.系统的结构图和信号流图 (block diagrams,signal flow diagrams),2,第二章 控制系统的数学模型,2-1 引言 2-2 系统微分方程的建立 2-4 线性系统的传递函数 2-5 典型环节及其传递函数 2-6 系统的结构图 2-7 信号流图及梅逊公式 学习指导与小结,3,2-1 引言,什么是数学模型? 所谓的数学模型，是描述系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式。 2.1.1 数学模型的特点 （1）相似性 （2）简化性和准确

2、性 （3）动态模型 （4）静态模型 2.1.2 数学模型的类型 （1）微分方程 （2）传递函数 （3）状态空间表达式,4,2.1.3 数学模型的建模原则 数学模型的建立方法： （1） 分析法 （2）实验法 数学模型的建模原则： （1）建模之前,要全面了解系统的自然特征和运动机理,明确研究目的和准确性要求,选择合适的分析方法。 （2）按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式。 （3）根据允许的误差范围，进行准确性考虑然后建立尽量简化的、合理的数学模型。,5,2.2.1 列写微分方程式的一般步骤 （1）分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 （2）做

3、出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。 （3）根据支配系统动态特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。 （4）列写各中间变量与其他变量的因果式。 （5）联立上述方程，消去中间变量。 （6）将方程式化成标准形。,2.2 系统微分方程的建立,6,2.2.2 机械系统举例 例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。,解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时

4、，系统处于平衡状态。,7,（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即,（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得,（6）整理方程得标准形,（4）写中间变量与输出量的关系式,8,令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为,2.2.3 电路系统举例 例2-2 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,9,解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,（4）列写中间变量i(t)与输出变量uc(t)的关系式:,（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得,（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负

5、载效应。 （3）由克希霍夫定律写原始方程：,10,（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为,2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,11,式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 列写微分方程式时，一般按以下几点来写： （1）输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端； （2）左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件； （3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。 （4）方程的系数均为实常数，是由物理系统自身

6、参数决定的。,12,2.2.5 电枢控制的直流电动机,直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia ，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。,13,Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。 （1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量。 （2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电

7、流不变if 时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系。 （3）列写原始方程式 电枢回路方程：,14,电动机轴上机械运动方程：,J 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩; ML 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea (t) = ke (t) ke 电势系数，由电动机结构参数确定。 MD(t) = km ia(t) km 转矩系数，由电动机结构参数确定。 （5）消去中间变量，得,15,令机电时间常数Tm :,令电磁时间常数Ta :,1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式 ？ 2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra 、La都可忽略,16,一.复习拉

8、氏变换及其性质 1.定义,记 X(s) = Lx(t) 2.进行拉氏变换的条件 （1）t 0，x(t)=0；当t 0，x(t)是分段连续； （2）当t充分大后满足不等式 x(t) Mect，M，c是常数。 3.性质和定理 1)线性性质 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s),2-4 线性系统的传递函数,17,2)微分定理,若 ,则,18,若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，,3)积分定律,x1(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理,19,5)初值定理 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且,4)终值定理 若x(t)

9、及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：,存在，则,20,6)延迟定理 L x(t )1(t ) = esX(s) Leat x(t) = X(s + a) 7)时标变换,8)卷积定理,21,4.举例 例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：,例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。 解：,22,例2-5 求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。 解：,以上三个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。,23,例2-6 求函数x(t)的拉氏

10、变换。,+,解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ),24,例2-7 求e at 的拉氏变换。 解:,例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。解：,25,，求x(0)， x()。 解：,例2-9 若,二.复习拉氏反变换 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t),2.求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法,26,部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即,通常m n，a1 , , an； b0 , , bm 均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有,式中s1 , , sn是 A(s) = 0的根，称为X(s

11、)的极点。分两种情况讨论： （1） A(s) = 0无重根。,27,式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。,（2） A(s) = 0有重根。设有r个重根s1 ，则,28,j = 0,1, , r-1,i = r+1, , n,29,3. 举例 例2-10,，求原函数x(t)。,解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1),30,的原函数x(t)。,例2-11 求,解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j),31,32,的原函数x(t)。 解：,例2-12 求,33,2.4.1. 线性常系数微分方程的求解,用

12、拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。,时域解c(t),L,s域解C(s),L-1,34,方程。 初始条件：y(0)= 1, y(0) =2,例2-13 求解,解：两边取拉氏变换 s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s,y(t) = 5/2 5 e t + 3/2 e2t,35,解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。写出电路运动方程,电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换,例2-14 图2-5所示的RC电路

13、，当开关接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。,36,当输入为阶跃电压ur (t) = u0 1(t)时， 得,式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应；,第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。,37,由此可见，对于一定的输入电压及初始条件，原函数uc(t)与其象函数Uc(s)之间有单值对应关系，它们以不同形式给出了RC电路的输出电压。这种单值对应关系奠定了在复数域内建立数学模型并用以研究电路特性的基础。,根据线性系统的叠加原理，将初始电压uc(0)视为一个输入

14、作用，则可在复数域内分别研究RC电路的零状态响应及零输入响应。若令uc(0) = 0，则有,当输入电压ur(t)给定时，其拉氏变换Ur(s)亦是确定的。于是，输出电压便完全由1/(RCs+1)所确定。这时，上式也可写成,38,上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比，是s的一个有理分式函数，它只与电路的结构形式及其参数有关，故可以作为在复数域内描述RC电路输入-输出关系的数学模型，称为传递函数，记作G(s)。,Uc(s) = G(s) Ur(s),G(s),Uc(s),Ur(s),39,2.4.2 传递函数的定义,定义：在线性（或线性化）定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变

15、换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。,设线性定常系统的微分方程式为,式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。 在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn1 + + an1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm1 + + bm1s + bm )R(s),40,求出传递函数为,传递函数的实际意义 零初始条件有两方面的含义：一是输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零。 传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零

16、状态解） 对于非零初始条件的响应，可用叠加原理进行处理。 在工程实践中，传函仍不失其重要地位。,41,2.4.3 传递函数的性质及微观结构 1。传递函数的性质 (a)传递函数是一种数模，与系统的微分方程相对应。 (b)传递函数只适用于线性定常系统。 (c)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 (d) 传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系。 (f) 传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解） (g) 传递函数一般为复变量s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n m。并且所有的系数均为实数。,42,(i )传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变