工程数学—复变函数的积分1

1、1,第三章 复变函数的积分,第1节 积分的概念,2,复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变 函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我 们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的 基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基 础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。,3,有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念， 如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称 该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线L 是开口弧段，若规定它的端点P 为起点，Q为终点，则沿曲线 L 从 P 到Q 的方向为曲 线L的正方向（简称正向

2、），把正向曲线记为L或L+. 而 由Q到P的方向称为L的负方向（简称负向），负向曲线记 为 .,4,(2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向,(3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲 线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行 走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分 取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向,5,复变函数的积分,设在复平面C上有一条连接z0及z两点的简 单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续 函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.,把曲线C用分点z0 ,z1 ,zn-1, ,zn=

3、z 分成n个更小的弧，在这里分点 是在曲线C上按从z0到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式,都存在且唯一，,则称此极限为函数,沿曲线弧C的积分.,6,7,分实部与虚部，有,或者,在这里 分别表示 的实部与虚部。,8,按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C 上的分点个数无穷增加，而且,时，上面的四个式子分别有极限：,这时，我们说原和式有极限,9,这个极限就是函数f(z)沿曲线C的积分，,因此，我们有,10,即我们可以把复积分 的计算化为两个 二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把 理解为 则 上式说明了两个问题： (1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一

4、定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.,11,如果C是简单光滑曲线： ，并且 ，那么上式右边的 积分可以写成黎曼积分的形式，,因此，我们有,12,我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有,当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。,13,复变函数的积分的性质：,复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有 （1） （2）,（3）,其中曲线C是由光滑的曲线 连接而成； （4）,积分是在相反的方向上取的。,14,如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。 （

5、5）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，,证明：因为 两边取极限即可得结论。,15,复积分的计算典型实例,例1 计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段,16,【解】 直线的方程可写成 或 于是 又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实 积分与路径无关的条件，所以 的值不论 是怎样 的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积 分路径无关,17,18,（2）C分为两段：C1:,C2:,所以,可见，在本题中，C的起点与终点虽然相 同，但路径不同，积分的值也不同,所以,19,20,21,第2节 积分基本定理,通过前面的例题我们发现， 例1中的被

6、积函数在复平面内是处处解析的， 它沿连接起点及终点的任何路径的积分值都相同， 换句话说，积分与路径无关 例2 中的被积函数是不解析的， 积分与路径是有关的 也许沿封闭曲线的积分值与被积函数的解析性 及区域的单连通性有关 我们自然要问：函数在什么条件下，积分仅与 起点和终点有关，而与积分路径无关呢？ 我们可以证明下列定理:,22,柯西定理,定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数， （1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么 其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。,（2） C是在D内连接 及z两点的任一条简单曲 线，那么沿C从 到z的积分值由 及z所确定， 而不依赖于曲线C，这时，积分记为.

7、,23,24,25,定理3.3 设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么,定理3.4 设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么在D内有函数,其导数为f(z) 。 证明：取定 ，由定理3.1，得,是在D内确定的一个函数。取,26,D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其 中一条是另一条曲线与连接 及z的线段的并 集。于是有,这里积分是沿及z的联线取的，,27,于是,即,证毕。,28,【另证】 令 则 因为 和 是与路径无关的，因此,29,可见,的实部和虚部可微且满足C-R条件，,30,原函数,设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，

8、并且在D内，有F(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。 事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有,31,其中 ，我们已经证明，在D内，有，,因此,32,引理1 设f(z)单连通区域D内处处解析，并且在D内有原函数G(z)。如果 ，并且C是D连接 的一条曲线，那么,33,【证明】注意到函数,是,的一个原函数， 故,34,典型应用实例,35,例5 计算积分,因而积分与路径无关，可用分部积分法得,【解】 由于,在复平面内处处解析，,36,37,38,不失一般性，取n1进行证明. 有下述定理：,39,定理3.6 设 L和 为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图3.5所示， 在L内部且彼此不相交，以 和L为边界所围成的闭区域 全含于D则对于区域D内的解析函数 有,40,