《工程数学》本课件

1、1,工程数学（本）,课程责任教师：郭文星 邮箱：,2,学习方法,（一）基本概念要清楚,要求,理解要深 把握要准 应用要活,背景 内容 联系 例子,3,（三）基本方法要熟练,（四）基本能力要培养,（二）基本公式要牢记,理解的基础上记 应用的过程中记 注意总结规律,4,第一章 n阶行列式,1.1.1 二阶、三阶行列式,1.1 n阶行列式的定义,5,6,7,余子式、代数余子式：,8,这就是三阶行列式按第一行的展开式.,9,10,11,1.1.2 n阶行列式,12,它代表一个由特定的运算关系所得到的算式，,13,14,15,16,我们称上面的行列式为下三角形行列式.

2、,17,18,19,我们称这种行列式为对角形行列式.,20,1.2 行列式的性质,我们把行列式D中的行与列按原顺序互换以后的行列式称为D的转置行列式，记为 ，,即,21,性质1,行列式与其转置行列式相等,22,性质2,行列式的两行对换，其值变号,23,24,推论 ： 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零,25,性质3,若行列式的某一行的元素有公因子，则可把公因子提出，即,26,27,结论：若行列式有两行元素成比例，则行列式等于零.,28,性质4,若行列式中某行的元素为两项之和，则可拆开,29,性质5,若把行列式的某一行乘上一常数加到另一行上（简称对行进行倍加运算），则行列式的

3、值不变.即,30,31, - ,- ,32,性质6,行列式可以按任一行（列）展开,33,34,35,36,1.3 克莱姆法则,37,38,39,40,1.4 行列式的计算,41,42,43,44,45,解得x=1，x=-1,46,第2章 矩阵2.1 矩阵的概念 2.1.1 矩阵的定义,47,例1 某企业生产A、B、C、D四 种产品,第一季度的产值如表所示：,48,为便于研究,数学中通常把表中的说明去掉,将数据按原来的位置排成一个矩形数表,并用方括号括起来, 即:,这种矩形数表就称为矩阵。,49,50,定义 2.1,51,同型矩阵：,52,53,当m=n时,矩阵的行列数相同，即,称为n阶矩阵（或

4、n阶方阵）,主对角线,54,55,负矩阵：,56,主对角线上的元素是1，其余元素都是零的方阵是单位矩阵，记作 ，即,单位矩阵：,57,2.2 矩阵的运算 2.2.1 矩阵的相等,58,59,2.2.2 矩阵的加法,定义.,60,61,62,设A,B,C为任意的 矩阵，则矩阵加法满足：,利用负矩阵可以定义矩阵的减法： A-B=A+(-B),且有A-A=o,A+o=A,(1) A+B=B+A (交换律) (2) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律),63,2.2.3 数与矩阵的乘法,定义.,64,65,66,67,2.2.4 矩阵乘法,例,68,69,注: (1) 左边矩阵的列数与右边矩阵的

5、行数必须相等;乘积矩阵的行数是左边矩阵的行数,列数是右边矩阵的列数。 (2) 等于左边矩阵的第i行与右边矩阵的第j列的对应元素乘积之和。,70,71,72,73,74,注意：矩阵乘法一般不满足交换律， 亦即AB与BA可以不相等，甚至两者 可以不必皆有意义；若AB=BA，则 称矩阵A与矩阵B可交换。,75,76,77,78,矩阵乘法满足如下的算律： (1) (A B) C = A (B C),(2) k(A B)=(k A)B=A(k B) ( 其中 k为常数 ),(3) A(B+C) = AB+AC， (B+C)A = BA+CA,79,80,2.2.5 矩阵的转置,81,(2),(3),(4

6、),82,83,84,85,86,87,2.3 特殊矩阵 2.3.1 对角矩阵,定义2.7 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵. 即,88,性质: （1）同阶对角矩阵的和与差仍是对角阵，即,89,（2）数与对角阵的乘积仍然是对角矩阵，即,90,（3）同阶对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵，而且它们的乘积是可交换的，即,91,（4）对角矩阵与其转置矩阵相等.,92,2.3.2 三角矩阵,93,94,上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.,显然： 两个同阶上（下）三角矩阵的和、差、乘积仍为上（下）三角矩阵.,95,2.3.3 对称矩阵,96,两个同阶对称矩阵的和、差以及数乘、仍为对称矩阵。,97

7、,98,注意：两个对称矩阵的乘积不一定是对称阵，例如,99,2.4 n阶方阵的行列式,100,101,102,103,104,105,106,107,. 可逆矩阵 2.5.1 逆矩阵的定义,108,定义 2.11 对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B，且满足,AB=BA=I,则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作：,109,110,例单位矩阵一定可逆,证明：因为 II=I, 由逆矩阵定义知，单位矩阵I可逆，且,例 矩阵一定不可逆,证明：因为对于任何方阵B,都有，,所以零矩阵不是可逆矩阵,111,逆矩阵的性质：,112,（2）若A 可逆，则 也可逆，并且,（3）若n阶方阵A与B都可逆，则AB也可逆，

8、并且,113,114,115,假设方阵可逆，则存在，使,于是,则必有,满足的方阵称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）,2.5.2 逆矩阵的判定,116,定理.2 方阵可逆的必要条件为是非奇异矩阵，即,例判断矩阵,解因中的第一行与第四行相同， 故由定理.知，不可逆,117,118,119,120,121,定理2.5 设A与B都是n阶方阵，若AB=I， 则A与B都可逆，并且,122,2.6 矩阵的初等行变换和初等矩阵 .6.1 矩阵的初等行变换,定义.3矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：,（）将矩阵的某两行对换位置； （）将某一行遍乘一个非零常数k； （）将矩阵某一行

9、遍乘一个非零常数k加至另一行,123,结论：初等行变换不改变矩阵的奇 异性.,124,125,126,阶梯型矩阵：,满足下列条件的矩阵称为阶梯型矩阵：,（）各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大；,（）如果矩阵有零行，零行在最下方,127,128,129,130,结论：任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯型矩阵,131,推论 任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位矩阵.,132,定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为初等阵.,例如,称初等对换矩阵.,2.6.2 初等矩阵,133,称为初等倍乘矩阵,称为初等倍加矩阵,如,如,134,135,2.6.3

10、 运用初等行变换求逆矩阵,136,137,138,139,140,141,2.7 矩阵的秩,定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行，k列交叉位置上的 个元素，按原来的次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零，就称为非零子式.,142,143,定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)或秩(A).,144,由定义2.16知，r(A)=2,145,例 设A为n阶非奇异矩阵，求r(A).,146,定理2.8 对矩阵A,r(A)=k的充要条件为：A中存在k阶非零子式，且所有的k+1阶子式皆为零。,定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变.,

11、147,148,149,150,第三章 线性方程组,n元线性方程组的一般形式,151,称为齐次线性方程组,152,线性方程组的矩阵形式 AX=B,为系数矩阵,153,为未知数矩阵,为右端矩阵,154,矩阵 (或写成 )称为方程组AX=B的增广矩阵记为 .,155,3.1 高斯消元法解线性方程组,定理3.1 若将增广矩阵 用初等行变换化为 , 则AX=B与UX=V是同解方程组.,156,例 解线性方程组,157,解 写出相应增广距阵,158,相应的方程组为,此方程组为阶梯形方程组.,159,方程组的解为,其中 称为自由未知量.,160,方程组的一般解: 将一组自由未知量表示其它未知量的方程组解的

12、表示式称为方程组的一般解. 应当注意, 自由未知量的选取不是唯一的.,161,行简化阶梯型矩阵: 定义 如果阶梯型矩阵还进一步满足两个条件: (1)首非零元都是1; (2)所有首非零元所在列的其余元素均为零. 则称该矩阵为行简化阶梯型矩阵.,162,例 将矩阵A化成行简化阶梯型矩阵,163,164,165,166,例 求下列齐次线性方程组的一般解,167,168,故齐次线性方程组的一般解为,其中 , 为自由未知量,169,3.2 线性方程组的相容性,定理3.2 (线性方程组的相容性) 线性方程组AX=B有解的充分必有要条 件是,170,定理3.3 设对于线性方程组AX=B，有 则当r=n时,线

13、性方程组AX=B有唯一解； 当rn时线性方程组AX=B有无穷多解.,171,例 判定下列线性方程组的相容性和相容性时解的个数:,172,173,推论 对于齐次方程组AX=0，有非零解的充要条件是r(A)n,即系数矩阵的秩小于未知数的个数.,174,175,176,177,3.3 n维向量 3.3.1 n维向量的定义,定义3.2 把有顺序的n个数 称为一个n维向量,记作,178,数 称为n维向量 的 第i个分量.向量用希腊字母 表示。,179,180,181,182,注意：由于向量是一种特殊的矩阵，所以，向量相等、零向量、负向量、向量运算的定义与矩阵的相应的定义一致.,183,3.3.2 n维向

14、量的线性组合,184,185,186,187,188,189,3.3.3 向量组的线性相关性,190,191,由定义可以直接得到如下结论： （1）任意一个含零向量的向量组必为线性相关组； （2）单个向量 线性相关 单个向量 线性无关,192,193,194,195,196,197,推论 若n维向量的向量组其中向量个数超过n，则该向量组一定线性相关.,198,199,200,3.4 向量组的极大无关组与向量组的秩3.4.1 向量组的极大无关组,201,202,定理3.7 对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量的个数都相同.,定义3.5 对于向量组s,其极大无关组所含向量的个数称为向量组s的秩.

15、,203,204,205,定理3.8 列向量组通过初等行变换不改变线性相关性.,定理3.9 矩阵A的秩=矩阵A的列向量组的秩=矩阵A的行向量组的秩.,206,207,208,3.5 线性方程组解的结构3.5.1 齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组的一般形式：,209,齐次线性方程组的矩阵形式：,AX=0,齐次线性方程组解的性质：,210,合并这两个性质，我们得到：齐次线性方程组解的任何线性组合仍为它的解.,211,212,213,214,215,216,3.5.2 非齐次线性方程组的解的结构,非齐次线性方程组AX=B一定对应有一个齐次线性方程组AX=0，称AX=0为AX=B的导出组 （又称

16、为相伴方程组）.,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,第四章 矩阵的特征值及二次型4.1.1特征值与特征向量的定义,227,228,4.1.2 特征值特征向量的求法,229,230,231,4.1.3 关于特征值、特征向量的结论,1.n阶方阵A的n个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为A的迹）.,2. n阶方阵A的n个特征值之乘积等于方阵的行列式值.,232,4.任一方阵A对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.,233,234,235,236,237,238,4.2 相似矩阵和矩阵对角化4.2.1 相似矩阵的概念,239,4.2.2相似矩阵的性质

17、,定理4.1 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式.,240,4.2.3 矩阵的对角化,定理4.2 n阶方阵A可对角化的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量.,241,242,243,244,4.3 实对称矩阵对角化4.3.1 实对称矩阵对角化的有关结论,定理4.3 实对称矩阵的特征值必是实数且其一定可以对角化.,245,246,4.3.3 正交阵的概念及其性质,247,248,4.4 二次型及其标准型，正定二次型4.4.1 二次型的定义及其标准型,249,250,251,252,二次型的标准形：,253,254,配方法化二次型为标准形：,255,256,2

18、57,4.4.2 惯性定理,258,259,4.4.3 正定二次型,260,261,262,263,264,第一章 随机事件与概率1.1 随机事件1.1.1 随机现象与随机事件,一、随机试验和样本空间,1. 随机试验,为了研究随机现象的统计规律性而进行的各种试验或观察统称为随机试验，简称试验，通常用字母E表示.,265,随机试验的例子：,特点：,（1）在相同的条件下可以重复进行； （2）有多种可能结果，但是试验前不能确定会出现那种结果； （3）知道试验可能出现的所有结果.,266,2.样本空间,上例随机试验所对应的样本空间：,267,二、随机事件,通俗地讲，在一次试验中可能出现也可能不出现的事

19、件，统称为随机事件，用A,B,C等表示,随机事件也可以用样本空间的子集表示.,必然事件，用U表示,不可能事件，用表示,268,1.1.2 随机事件的关系与运算,1.事件的包含与相等,269,2.事件的和,两个事件A与B至少有一个发生是一个事件，称为事件A与B的和时事件，记作A+B,由和事件的定义知：A+U=U,A+=A,270,271,3.事件的积,称事件“A与B同时发生”为事件A与事件B的积事件，记作AB.,根据积事件的定义有，AU=A,A= ,272,4.事件的差,称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A-B.,273,5.互不相容事件,若事件A与事件B不能同时发生，即A

20、B=则称事件A与事件B互不相容，或称A与B是互斥的.,274,6. 对立事件与完备事件组,称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或称为A的逆事件）记作,275,276,277,278,1.2 事件的概率1.2.1概率的统计定义,279,280,概率的性质：,281,282,1.2.2 古典概型,特点：,1.基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有限个样本点；,2.每个基本事件发生的可能性相同；,3.在任一试验中，只能出现一个结果，即有限个基本事件是两两互不相容的.,283,284,285,286,287,288,289,1.3 随机事件概率的计算1.3.1 加法公式,定理1.1 两个互不

21、相容事件A,B之和的概率等于这两个事件概率之和。即,P(A+B)=P(A)+P(B),290,291,292,293,294,295,296,297,1.3.2 条件概率和乘法公式,298,299,300,301,302,303,304,1.3.3 全概率公式,305,306,307,308,309,1.4 贝努利（Bernoulli)概型1.4.1 事件的独立性,310,311,312,313,1.4.2 n重贝努利概型,314,315,第二章 随机变量及其数字特征2.1随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念,316,317,2.1.2 离散型随机变量,若随机变量X只取有限多个或可列无限

22、多个值，则称X为离散型随机变量.,318,分布列也可以用表格的形式表示：,319,320,2.1.3 连续型随机变量,321,322,323,324,2.1.4 分布函数,对于离散型随机变量，若它的概率分布是,325,326,分布函数的性质：,327,328,329,330,2.2 随机变量的数字特征2.2.1 数学期望,1.离散型随机变量的数学期望,331,332,333,2. 连续型随机变量的数学期望,334,335,2.2.2 方差,离散型随机变量的方差,336,连续型随机变量的方差：,方差常用计算公式,337,338,339,2.2.3 数学期望与方差的性质,340,341,2.2.4

23、 矩,342,2.3 几种重要的分布及数字特征2.3.1 几种重要的离散型随机变量的分布,1. 两点分布,设随机变量X只可能取0，1两个值，它的概率分布是 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p (0p1) 则称X服从两点分布，或称X具有两点分布.,343,很多试验可以归结为两点分布，如产品的“合格”与“不合格”；电路的“通”与“断”；抛硬币的“正面”与“反面”，等.,344,2. 二项分布,二项分布是一种常用的分布，如一批产品的不合格率为p,检查n件产品，n件产品中不和格品数X服从二项分布.,345,346,347,3. 泊松分布,348,2.3.2 几种重要的连续型随机变量的分布,1.均匀

24、分布,349,均匀分布的概率密度曲线,a,b,350,351,2.指数分布,352,3.正态分布,353,概率密度曲线,标准正态分布,354,标准正态分布的图形关于y轴对称,355,356,357,358,359,360,2.3.3 重要分布的数字特征,361,362,363,2.4 二维随机变量2.4.1 二维随机变量 及其分布函数,364,365,366,367,2.4.2 二维随机变量的独立性,368,369,第三章 统计推断3.1 总体、样本、统计量3.1.1 总体和样本,我们将所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体；组成总体的基本单位称为个体；从总体中抽取出来的个体称为样品；若干个样品组成的集合称为样本；一个样本中所含样品的个数称为样本容量