学案3函数的基本性质.ppt

1、学案3 函数的性质,理解函数的单调性、最大（小）值及其 几何意义；了解函数奇偶性的含义.,1.函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位. 2.函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，是高考考查的热点. 3.函数的奇偶性,以选择、填空题居多，且是高考考查的热点，预测明年仍将是考查的热点.,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时, 若 ,则f(x)在区间D上是 ; 若 ,则f(x)在区间D上是

2、 .,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),增函数,减函数,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数 f (x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性, 叫做f(x)的单调区间. 2.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x ,都 有_ ，那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地 , 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x , 都 有_,那么函数f(x)就叫做奇函数.,增函数,减函数,区间D,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),3.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶函数在关于原点

3、对称的区间上的单调性 ( 填 “相同” “相反”）. (2)在公共定义域内, 两个奇函数的和是 ,两个奇函数的积是 ; 两个偶函数的和、积是 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 .,奇函数,相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,考点1 函数单调性的判定及证明,试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性(其中a0).,【分析】可根据定义,先设-1x1x21,然后作差、变形、定号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系.,【解析】解法一:任取x1,x2(-1,1),且x10, 则y=f(x2)-f(x1) -10, 0时,y=f(x2)-f(x1)0, 此时函数f(x)在(

4、-1,1)上为增函数.,解法二: a0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.,【评析】对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.,讨论函数f(x)=x+ (a0)的单调性.,解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+)上的单调性,设x1x20,则 当01, 则f(x1)-f(x2)x2 时，00, 即f(x1)f(x2),故f(x)在 ,+)上是增函数. f(x)是奇函数， f(x)分别在(-,- , ,+)上为增函数； f(x)分别在- ,0),(0

5、, 上为减函数.,f(x1)-f(x2)=,解法二:由f(x)=1- =0可得x= . 当x 时或x0, f(x)分别在 ,+),(-,- 上是增函数. 同理0x 或- x0时,f(x)0, 即f(x)分别在(0, ,- ,0)上是减函数.,考点2 求函数的单调区间,(1)函数y=x2+2x-3（x0)的单调增区间是 . (2)2011年高考江苏卷函数f（x)=log5（2x+1)的单调增区间是 . (3)函数y=x-|1-x|的单调增区间为 .,【分析】考查函数的单调区间求法.,【解析】 （1）函数对称轴为x=-1, x0时增区间为(0,+). (2)由题意知，函数f（x)=log5（2x+

6、1)的定义域为 x|x- , 该函数的单调增区间为(- ，+). (3)y=x-|1-x|= 作出该函数 的图象如图所示. 由图象可知，该函数的单调 增区间是（-，1.,【评析】求函数单调区间的方法有：(1)利用已知函数的单调性；(2)定义法；(3)图象法；(4)导数法；(5)复合函数法.,求出下列函数的单调区间： (1)f(x)=|x2-4x+3|; (2)f(x)=log2(x2-1).,【解析】(1)先作出函数y=x2-4x+3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象，如图甲所示. 由图可知，函数的增区间为1,2,(3,+)，减区间为(-,1),(2,3.,(

7、2)函数的定义域为x2-10， 即x|x1或x-1. 乙令u(x)=x2-1,图象如图乙所示. 由图象知，u(x)在(-,-1)上是减 函数，在(1,+)上是增函数. 而f(u)=log2u是增函数， 故f(x)=log2(x2-1)的单调增区间是 (1,+),单调减区间是(-,-1).,若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 ( ) A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数,考点3 判断函数的奇偶性,B,【分析】判断函数奇偶性应分两步: (1)定义域是否关

8、于原点对称; (2)判断f(-x)与f(x)的关系. 【解析】f(x)=3x+3-x，f(-x)=3-x+3x. f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数. 又g(x)=3x-3-x,g(-x)=3-x-3x. g(x)=-g(-x)，即函数g(x)是奇函数. 故应选B.,【评析】判断函数的奇偶性, 一般有以下几种方法 : (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法,判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)= ； （2）f(x)=log2(x+ )(xR)； x2+x(x0)； （4）f(x)= lg|x-2|.,（3）f(x)=,【解析】（1）x2-10且1-x20, x=1，即f(x)的定义域

9、是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故f(x)既是奇函数又是偶函数. （2）已知f(x)的定义域为R， f(-x)=log2-x+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数.,（3）当x0，则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x0时,-x0，得x2. f(x)的定义域 x|x2 关于原点不对称， 故 f(x) 既 不是奇函数也不是偶函数.,设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a的值为 .,【分析】利用f(x)=f(-x)对任意xR恒成立,解a的值.,【解析】因为

10、f(x)是偶函数，所以恒有f(-x)=f(x)，即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0. 因为上式对任意实数x都成立，所以a=-1.,考点4 函数奇偶性的应用,【评析】对任意x恒成立与解关于x的方程是不一样的,注意区别.,设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数. (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间与极值.,【解析】 (1)f(x)=x3+bx2+cx, f(x)=3x2+2bx+c, 从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(

11、c-2b)x-c是一个奇函数, g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3. (2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,(-,- )和( ,+)是函数g(x)的单调递增区间;(- , )是函数g(x)的单调递减区间; g(x)在x=- 时,取得极大值,极大值为4 ; g(x) 在x=2时,取得极小值,极小值为-4 .,考点6 函数单调性与奇偶性的综合应用,函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(3x+

12、1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增 函数,求x的取值范围.,【分析】 (1)依题设可令x1=x2=1,则可求f(1)的值; (2)令x1=-1,x2=x,即可找到f(-x)与f(x)间的关系,但需求f(-1)的值; (3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解.,【解析】(1)对于任意x1,x2D, 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), f(1)=0. (2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x), f(-x)=f

13、(x), f(x)为偶函数.,(3)依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f(164)=f(16)+f(4)=3. f(3x+1)+f(2x-6)3, 即f(3x+1)(2x-6)f(64).(*) 解法一:f(x)为偶函数, f|(3x+1)(2x-6)|f(64). 又 f(x)在(0,+)上是增函数, 0|(3x+1)(2x-6)|64. 解上式得3x5或 x-或 x3. x的取值范围为 x x 或 x3或3x5.,解法二:f(x)在(0,+)上是增函数, ( * )等价于不等式组 (3x+1)(2x-6)0 (3x+1)(2x-6)64 或 (3x+1)(2x-6)3或x x5

14、 或 x3 xR. 3x5或 x 或 x3. x的取值范围为 x x 或 x3或3x5.,【评析】对抽象函数解不等式问题,应充分利用函数的单调性,将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；,已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x0时,f(x)0恒成立,f(3)= - 3. (1) 证明:函数y=f(x)是R上的减函数; (2) 证明:函数y=f(x)是奇函数; (3) 试求函数y=f(x)在m,n(m,nZ)上的值域.,【解析】(1) 证明:设x1,x2R,且x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1).

15、 故f(x)是R上的减函数. (2) 证明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, 可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0), 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而xR,f(x)+f(-x)=0, f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.,(3) 由于y=f(x)是R上的单调递减函数, y=f(x)在m,n上也是减函数,故f(x)在m,n 上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n). 由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1), 同理f(m)=mf(1). 又f(3)=3f(1)=-3,f

16、(1)=-1, f(m)=-m,f(n)=-n. 函数y=f(x)在m,n上的值域为-n,-m.,考点6 函数的周期性,已知函数f（x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x,满足f（x+2)=- ,若当2x3时，f（x)=x,则f（2 007.5） .,【分析】遇到求较大数的抽象函数的函数值时应考虑函数的周期性.,【解析】由f（x+2)=- 可得 f（x+4)=f（x), f（2 007.5)=f（3.5)=f（-0.5). 又f（x)是偶函数， f（2 007.5)=f（0.5)=- =- .,【评析】判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数

17、的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.,已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)+f(x-1)=1,当x0,1时，有f(x)=x2，现有三个命题： f(x)是以2为周期的函数； 当x1,2时，f(x)=-x2+2x; f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是 .,：(正确. f(x)+f(x-1)=1, (*) f(x+1)+f(x)=1, (*) (*)-(*)得f(x+1)-f(x-1)=0.f(x+1)=f(x-1), 则f(x+2)=f(x),f(x)是以2为周期的函数. 正确.当x1,2时，x-10,1, f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-

18、x2(x0,1时，f(x)=x2). 错误.当x-1,0时，x+10,1. f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2, f(x)=-x2-2x, 又-x0,1,f(-x)=(-x)2=x2, 又f(x)f(-x),f(x)不是偶函数.）,1.2011年高考全国课标卷下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是 （ ） A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D. y=2 -|x| 2.2011年高考广东卷设函数f（x)和g（x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ） A.f（x)+|g（x)|是偶函数 B.f（x)-|g（x)|是奇函数 C.|f（

19、x)|+g（x)是偶函数 D.|f（x)|-g（x)是奇函数,【解析】( 1.B(y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2 -|x|在(0,+)上都是减函数. 故应选B.) 2.A(由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶+偶=偶；B项：偶-偶=偶，B错；C项与D项：分别为偶+奇=偶，偶-奇=奇均不恒成立. 故应选A.),1.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1,x2具有任意性，不能用特殊值替代. 2.由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”. 3.运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，且f(x)=f(-x)=f(|x|).,1.求函数周期的方法：求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y=Asin(x+)，用公式T= 计算. 递推法：若f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=f(x), 周期T=2a. 换元法：若f(x+a)=f(x-a)，令x+a=t,x=t-a, f(t)=