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文档简介

1、第八节 多元函数的极值,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,三、条件极值拉格朗日乘数法,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义,极值点必须是函数定义域的内点.,(1),例1,例,例,(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均

2、称为函数的驻点.,注意：有偏导数的函数极值点必为驻点；,但驻点未必是极值点.,极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,极值点也可能是一阶偏导不存在的点.,定理2（充分条件）,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,设函数 z = f (x , y) 在闭区域 D 上连续 , 则函数在 D 上必有最大值和最小值 .,z = f (x , y) 的最值既可在 D 的内点处取得 , 也可在 D 的边界点处取得 .,设函数 z = f (x , y) 在闭区域 D 上连续、可微 , 且只有有限个极值点 , 若最值在

3、 D 内取得 , 则最值点必是极值点 .,求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,求最值的一般方法：,解,如图,先求函数在D内的驻点,求实际问题中，由问题的实际意义可知函数 f (x , y) 有最值，且在 D 内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值.,三、条件极值拉格朗日乘数法,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束 条件有多个的情况：,解,则,解,可得,即,可得,即,课后练习：,多元函数的极值,条件极值与拉格朗日乘

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