数学人教版九年级上册《二次函数y=ax^2的图象和性质》.ppt

1、复习,一般地,形如,的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0),二次函数:,思考,一次函数的图像是一条直线, 二次函数的图象是什么形状呢? 通常怎样画一个函数的图象?,还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢？,二次函数的图象,画函数y=x2的图象,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.,y=x2,二次函数的图象,请画函数y=x2的图象,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线

2、,根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.,y=x2,下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作图正确吗?为什么?,y=x2的图象叫做抛物线y=x2,y=x2的图象叫做抛物线y=x2,二次函数的图象,从图象可以看出,二次函数y=x2和y=x2的图象都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线,y=x2,y=x2,实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口向上或者向下，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c,二次函数的图象,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.,抛物线y=x2的顶

3、点(0,0)是它的最低点.,抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最高点.,y=x2,y=x2,从图象可以看出,二次函数y=x2和y=x2的图象都是轴对称图形 y轴是它们的对称轴.,实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点,例题与练习,例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象,解:(1)列表,(2)描点,(3)连线,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,观察,共同点:,不同点:,开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，,除顶点外,图象都在x轴上方,开口大小不同,性质：a0，图象开口向上，顶

4、点是抛物线的最低点，a越大开口越小，反之越大,在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象,y=2x2,y=- x2,0,-2,-2,-8,-8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=2x2,0,-2,-2,-8,-8,函数y= x2,y=2x2的图象与y=-x2的图象相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点,除顶点外,图象都在x轴下方,开口大小不同,性质：当a0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。,1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。,2、当a

5、0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小 当a0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。,二次函数y=ax2的性质,思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2呢？,答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2也有同样的关系。,当a0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。,当a0时，在对称轴的 右侧，y随

6、着x的增大而 增大。,当a0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。,当a0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。,二次函数y=ax2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点坐标是原点（0，0）,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,O,O,例题与练习,1、函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),4、函数y= 0.2x2的图象的开口 ,对称轴是_, 顶点是 ;,耐心填一填,向上,y轴,(0,0),向下,y轴,(0,0),高,低,观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y0.,A,例题与练习,（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧， y随着x的增大而增大；在 侧， y随着x的增大而减小，当x= 时， 函数y的值最小，最小值是 ,抛物 线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），当x0时