高中数学最新5年解析几何高考题新人教A版选修2（通用）

1、第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线 第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 20202020 年高考题年高考题 20202020 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编圆锥曲线圆锥曲线 一、选择题一、选择题 1.（2020 全国卷理）设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相 切，则该双曲线的离心率等于( ) A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】设切点 00 (,)P xy，则切线的斜率为 0 0 |2 x x yx . 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得: 22 0 1,

2、2,1 ( )5 bb xe aa . 【答案】C 2.（2020 全国卷理）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线 段AF交C于点B，若3FAFB ,则|AF =( ) A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 3FAFB ,故 2 | 3 BM .又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 BF |2AF.故选 A 【答案】A 3.（2020 浙江理）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点A作斜率为1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点

3、分别为,B C若 1 2 ABBC ，则双曲线的离心率是 ( ) A2 B3 C5 D10 【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为B，C， 22 ,(,) aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 (,), a ba babab BCAB ababab ab ， 因 22 2,4,5ABBCabe 【答案】C 4.（2020 浙江文）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，点B在 椭圆上，且BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2APPB ，则椭圆的离心率是（ ） A 3 2 B 2 2 C 1 3 D

4、1 2 【解析】对于椭圆，因为2APPB ，则 1 2,2 , 2 OAOFace 【答案】D 5.（2020 北京理）点P在直线:1l yx上，若存在过P的直线交抛物线 2 yx于 ,A B两点，且|PAAB，则称点P为“点” ，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线l上的所有点都是“点” B直线l上仅有有限个点是“点” C直线l上的所有点都不是“点” D直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 【解析解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和 解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设,1A m nP x x， 则2,2

5、2Bmxnx， 2 ,A Byx在上， 2 2 21(2) nm nxmx 消去n,整理得关于x的方程 22 (41)210 xmxm （1） 222 (41)4(21)8850mmmm 恒成立， 方程（1）恒有实数解，应选 A. 【答案答案】A 6.(2020 山东卷理)设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点， 则双曲线的离心率为( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 【解析】双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y ,由方程组 2 1 b yx a yx ,消去 y,得 2 10 b

6、xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故选 D. 【答案】D 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位 置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本 技能. 7.(2020 山东卷文)设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 (0)yaxa的焦点F,且和y轴交于 点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ). A. 2 4yx B. 2 8yx C. 2 4yx D. 2 8yx 【解析】抛物线 2 (0)yaxa的焦

7、点F坐标为(,0) 4 a ,则直线l的方程为2() 4 a yx,它 与y轴的交点为 A(0,) 2 a ,所以OAF的面积为 1 | | 4 2 42 aa ,解得8a .所以抛物线 方程为 2 8yx ,故选 B. 【答案】B 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一. 8.（2020 全国卷文）双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆)0()3( 222 rryx相切，

8、则r= ( ) A.3 B.2 C.3 D.6 【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求r= 3 . 【答案】A】A 9.（2020 全国卷文）已知直线)0)(2(kxky与抛物线 C:xy8 2 相交A、B两点， F为C的焦点。若FBFA2,则k=() . 3 1 . 3 2 . 3 2 . 3 22 【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0） ，由 2FAFB及第二定义知)2(22 BA xx联立方程用根与系数关系可求 k= 2 2 3 . 【答案】D】D 1.（2020 安徽卷理）下列曲线中离心率为 6 2 的是 .

9、 22 1 24 xy . 22 1 42 xy . 22 1 46 xy . 22 1 410 xy 【解析】由 6 2 e 得 222 222 331 ,1, 222 cbb aaa ，选 B. 【答案】 11.（2020 福建卷文）若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2，则a等于( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 1 【解析】由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b= 3，而离心率e= a ，解得a=1 或 a=3，参照选项知而应选 D. 【答案】D 12.（2020 安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( ) A. B. C. D

10、. 【解析】依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得. 6 2 c e a .选 B。 【答案】B 13.（2020 江西卷文）设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab (0,0ab)的两个焦点, 若 12 FF，(0,2 )Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A 3 2 B2 C 5 2 D3 【解析】由 3 tan 623 c b 有 2222 344()cbca,则2 c e a ,故选 B. 【答案】B 14.（2020 江西卷理）过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于 点P， 2 F为

11、右焦点，若 12 60FPF ，则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【解析】因为 2 (,) b Pc a ，再由 12 60FPF 有 2 3 2 , b a a 从而可得 3 3 c e a ，故选 B 【答案】B 15.（2020 天津卷文）设双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2，焦距为32，则 双曲线的渐近线方程为（ ） A.xy2 B .xy2 C .xy 2 2 D.xy 2 1 【解析】由已知得到2, 3, 1 22 bcacb，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故 渐近线方程为xx a b y 2 2 【答案】C

12、 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推 理能力。 16.(2020 湖北卷理)已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点，则直线 2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) A. 1 1 , 2 2 K B. 11 , 22 K C. 22 , 22 K D. 22 , 22 K 【解析】易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx可得 22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 A. 【答案】A 17.（2

13、020 四川卷文、理）已知双曲线)0( 1 2 2 22 b b yx 的左、右焦点分别是 1 F、 2 F， 其一条渐近线方程为xy ，点), 3( 0 yP在双曲线上.则 1 PF 2 PF( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4 【解析】由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是2 22 yx，于 是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0） ，且) 1 , 3(P或) 1, 3(P.不妨去) 1 , 3(P，则 ) 1, 32( 1 PF，) 1, 32( 2 PF. 1 PF 2 PF01)32)(32() 1, 32)(1, 32( 【答案】C】C 18.（2020

14、 全国卷理）已知直线20yk xk与抛物线 2 :8C yx相交于 AB、两点，F为C的焦点，若| 2|FAFB，则k ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 2 3 【解析】设抛物线 2 :8C yx的准线为:2l x 直线 20yk xk恒过定点P2,0 .如图过AB、 分 别作AMl于M,BNl于N, 由| 2|FAFB, 则| 2|AMBN,点 B 为 AP 的中点.连结OB,则 1 | 2 OBAF, | |OBBF 点B的横坐标为1, 故点B的坐标为 2 202 2 (1,2 2) 1 ( 2)3 k , 故选 D. 【答案】D 19.（2020 全国卷理）已知

15、双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜 率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为 ( ) A 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 【解析】设双曲线 22 22 1 xy C ab ：的右准线为l,过AB、分 别作AMl于M, BNl于N, BDAMD于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角 1 6060 ,| 2 BADADAB, 由双曲线的第二定义有 1 | |(|)AMBNADAFFB e 11 |(|) 22 ABAFFB . 又 156 43| 25 AFFBFBFBe e . 【答案】A 20.（2020 湖南卷

16、文）抛物线 2 8yx 的焦点坐标是（ ） A （2，0） B （- 2，0） C （4，0） D （- 4，0） 【解析】由 2 8yx ,易知焦点坐标是(,0)( 2,0) 2 p ，故选 B. 【答案】B 21.（2020 宁夏海南卷理）双曲线 2 4 x - 2 12 y =1 的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 3 B.2 C.3 D.1 【解析】双曲线 2 4 x - 2 12 y =1 的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为 340 2 3 2 d , 【答案】A 22.（2020 陕西卷文） “0mn”是“方程 22 1mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆” 的 A.充分而不

17、必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】将方程 22 1mxny转化为 22 1 11 xy mn , 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上 必须满足 11 0,0, mn 所以 11 nm . 【答案】C 23.（2020 全国卷文）设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ，的渐近线与抛物线 2 1yx 相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ，的一条渐近线方程为 a bx y ，代入抛物 线方程整理得0 2 abxax，因渐近线与抛物线相切，所以04 2

18、2 ab，即 55 22 eac，故选择 C. 【答案】C】C 24.（2020 湖北卷文）已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆（b0）的焦点， 则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 【解析】可得双曲线的准线为 2 1 a x c ,又因为椭圆焦点为 2 (4,0)b 所以有 2 41b .即b2=3 故b=3.故 C. 【答案】C 27.（2020 天津卷理）设抛物线 2 y=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相 交于A，B两点，与抛物线的准线相交于 C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比 BCF ACF S S =( ) A. 4 5

19、 B. 2 3 C. 4 7 D. 1 2 6 4 2 -2 -4 -6 -10-5510 x=-0.5 F: (0.51, 0.00) h x = -2x+3 g y = -1 2 f y = y2 2 A B F C 【解析】由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S ， 又3 2 3 2 2 1 | BBB yxxBF 由A、B、M三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x ，故2 A x， 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S ，

20、故选择 A。 【答案】A】A 28.（2020 四川卷理）已知直线 1:4 360lxy和直线 2: 1lx ，抛物线 2 4yx上一 动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C. 11 5 D. 37 16 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 【解析 1】直线 2: 1lx 为抛物线 2 4yx的准线，由抛物线的定义知，P到 2 l的距离等 于P到抛物线的焦点)0 , 1(F的距离，故本题化为在抛物线 2 4yx上找一个点P使得P到 点)0 , 1(F和直线 2 l的距离之和最小，最小值为)0 , 1(F到直线 1:4 360l

21、xy的距离， 即2 5 |604| min d，故选择 A。 【解析 2】如图，由题意可知 22 |3 1 06| 2 34 d 【答案】A】A 二、填空题 29.（2020 宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与 抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2） ，则直线l的方程为_. 【解析】抛物线的方程为 2 4yx， 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 , 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有， 两式相减得， 直线l 的方程为y-2=x-2, 即y=x 【答案】y=x 3

22、0.（2020 重庆卷文、理）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若椭圆上存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，则该椭圆的离心率的 取值范围为 【解析 1】因为在 12 PFF中，由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知，得 1211 ac PFPF ，即 12 aPFcPF 设点 00 (,)xy由焦点半径公式，得 1020 ,PFaex PFaex则 00 ()()a aexc aex 记得 0 ()(1) ()(1) a caa e x e cae e 由

23、椭圆的几何性质知 0 (1) (1) a e xaa e e 则，整理得 2 210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率 ( 21,1)e 【解析 2】 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即，由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 ,20, a PFacaccca ca 则既所以 2 210,ee 以下同解析 1. 【答案】 21,1 31.（2020 北京文、理）椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 ,F F，点P在椭圆上，若 1 | 4PF ， 则 2 |PF ； 12 F

24、PF的大小为 . 【解析解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. 22 9,3ab， 22 927cab， 12 2 7FF ， 又 112 4,26PFPFPFa， 2 2PF ， 又由余弦定理，得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF ， 12 120FPF ，故应填2, 120. 32.（2020 广东卷 理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 2 ， 且G上一点到G的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆G的方程为 【解析】 2 3 e，122 a，6a，3b，则所求椭圆方程为1

25、 936 22 yx . 【答案】1 936 22 yx 33.（2020 四川卷文）抛物线 2 4yx的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点F（1，0） ，准线方程1x，焦点到准线的距离是 2. 【答案】2】2 34.（2020 湖南卷文）过双曲线C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab的一个焦点作圆 222 xya的两条切线，切点分别为A，B，若120AOB （O是坐标原点） ， 则双曲线线C的离心率为 . 【解析】12060302AOBAOFAFOca , 2. c e a 【答案】2】2 35.（2020 福建卷理）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作倾斜角为45的直线交

26、抛物线 于A、B两点，若线段AB的长为 8，则p _ 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx，联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx ，又 2 22 (1 1 ) (3 )482 4 p ABpp 。 【答案】 2 36.（2020 辽宁卷理）以知F是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上 的动点，则PFPA的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.

27、 【答案】9 37.（2020 宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与 抛物线C交于A，B两点，若2,2P为AB的中点，则抛物线C的方程为 。 【解析】设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y， 得：x2kx0， 21 xx k22，故 2 4yx. 【答案】 2 4yx 38.(2020 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有 一个内角为 60 o ，则双曲线 C 的离心率为 . 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角 分别是, (b c b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是3

28、0，即得tan30 b c ，所以 3cb，所以2ab，离心率 36 22 c e a . 【答案】 6 2 39.（2020 年上海卷理）已知 1 F、 2 F是椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C（ab0）的两个焦点， P为椭圆C上一点，且 21 PFPF .若 21F PF的面积为 9，则b=_. 【解析】依题意，有 22 2 2 1 21 21 4| 18| 2| cPFPF PFPF aPFPF ，可得 4c2364a2，即a2c29， 故有b3。 【答案】3 三、解答题三、解答题 40.(2020 年广东卷文)（本小题满分 14 分） 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴

29、上,离心率为 2 3 ,两个焦点分别为 1 F和 2 F,椭圆 G上一点到 1 F和 2 F的距离之和为 12.圆 k C:02142 22 ykxyx)(Rk的圆心为 点 k A. (1)求椭圆G 的方程 (2)求 21F FAk的面积 (3)问是否存在圆 k C包围椭圆G?请说明理由. 解解（1）设椭圆G的方程为： 22 22 1 xy ab （0ab）半焦距为c; 则 212 3 2 a c a , 解得 6 3 3 a c , 222 36279bac 所求椭圆G的方程为： 22 1 369 xy . (2 )点 K A的坐标为,2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A

30、 F F SFF V （3）若0k ，由012152101206 22 可知点（6，0）在圆 k C外， 若0k ，由01215210120)6( 22 可知点（-6，0）在圆 k C外； 不论K为何值圆 k C都不能包围椭圆G. 41.（2020 浙江理） （本题满分 15 分） 已知椭圆 1 C： 22 22 1(0) yx ab ab 的右顶点为(1,0)A，过 1 C的焦点且垂直长轴的弦 长为1 （I）求椭圆 1 C的方程； （II）设点P在抛物线 2 C： 2 ()yxh hR上， 2 C在点P处的切线与 1 C交于点 ,M N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值

31、 解解（I）由题意得 2 1 2 , 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x， （II）不妨设 2 1122 ( ,),(,), ( ,),M x yN xyP t th则抛物线 2 C在点 P 处的切线斜率为 2 x t yt ，直线 MN 的方程为 2 2ytxth，将上式代入椭圆 1 C的方程中，得 222 4(2)40 xtxth，即 22222 4 14 ()()40txt th xth，因为直线 MN与椭圆 1 C有两个不同的交点，所以有 422 1 162(2)40thth ， 设线段 MN 的中点的横坐标是 3 x，则 2 12 3 2 () 22

32、(1) xxt th x t ， 设线段PA的中点的横坐标是 4 x，则 4 1 2 t x ，由题意得 34 xx，即有 2 (1)10th t ，其中的 2 2 (1)40,1hh 或3h ； 当3h 时有 2 20,40hh，因此不等式 422 1 162(2)40thth 不 成立；因此1h ，当1h 时代入方程 2 (1)10th t 得1t ，将1,1ht 代入 不等式 422 1 162(2)40thth 成立，因此h的最小值为 1 42.（2020 浙江文） （本题满分 15 分） 已知抛物线C： 2 2(0)xpy p上一点( ,4)A m到其焦点的距离为 17 4 （I）求

33、p与m的值； （II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)t t ，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于 点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N若MN是C的切线，求t的最小 值 解解（）由抛物线方程得其准线方程： 2 p y，根据抛物线定义 点)4 ,(mA到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4 17 2 4 p ，解得 2 1 p 抛物线方程为：yx 2 ，将)4 ,(mA代入抛物线方程，解得2m （）由题意知，过点),( 2 ttP的直线PQ斜率存在且不为 0，设其为k。 则)(: 2 txktylPQ，当, 0 2 k ktt xy 则) 0 , ( 2 k ktt M 。 联立方程 yx

34、txkty 2 2 )( ，整理得：0)( 2 tktkxx 即：0)()(tkxtx，解得, tx 或tkx )( ,( 2 tktkQ，而QPQN ，直线NQ斜率为 k 1 )( 1 )(: 2 tkx k tkylNQ，联立方程 yx tkx k tky 2 2 )( 1 )( 整理得：0)()( 11 22 tktk k x k x，即： 0 1)()( 2 tkktkxkx 0)(1)(tkxtkkkx，解得： k tkk x 1)( ，或tkx ) 1)( , 1)( ( 2 2 k tkk k tkk N ， ) 1( ) 1( 1)( 1)( 22 22 2 2 2 ktk k

35、tk k ktt k tkk k tkk KNM 而抛物线在点 N 处切线斜率： k tkk yk k tkk x 2)(2 1)( 切 MN 是抛物线的切线， k tkk ktk ktk2)(2 ) 1( ) 1( 22 22 ， 整理得021 22 ttkk 0)21 (4 22 tt，解得 3 2 t（舍去） ，或 3 2 t， 3 2 min t 43.（2020 北京文） （本小题共 14 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为3，右准线方程为 3 3 x 。 （）求双曲线C的方程； （）已知直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A

36、B的中点在圆 22 5xy上，求m的值. 【解析解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 解解（）由题意，得 2 3 3 3 a c c a ，解得1,3ac， 222 2bca，所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x . （）设A、B两点的坐标分别为 1122 ,x yxy，线段AB的中点为 00 ,M xy， 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm（判别式0 ）, 12 000 ,2 2 xx xm yxmm , 点 00 ,M xy在圆 22 5xy上， 2 2 25m

37、m，1m . 44.（2020 北京理） （本小题共 14 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为3，右准线方程为 3 3 x （）求双曲线C的方程； （）设直线l是圆 22 :2O xy上动点 0000 (,)(0)P xyx y 处的切线，l与双曲线C交 于不同的两点,A B，证明AOB的大小为定值. 【解法解法 1】1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得 2 3 3 3 a c c a ，解得1,3ac， 222 2bca，所求双曲线C的方程为 2

38、2 1 2 y x . （）点 0000 ,0P xyx y 在圆 22 2xy上， 圆在点 00 ,P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y ， 化简得 00 2x xy y. 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820 xxx xx ， 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 2 0 02x， 2 0 340 x ，且 222 000 164 34820 xxx ， 设A、B两点的坐标分别为 1122 ,x yxy， 则 2 00 1212 22 00 482 , 3434 xx xxx x xx ， c

39、os OA OB AOB OA OB ，且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y ， 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx . AOB的大小为90. 【解法解法 2】2】 （）同解法 1. （）点 0000 ,0P xyx y 在圆 22 2xy上， 圆在点 00 ,P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y ， 化简得 00 2x xy y.

40、由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 2 0 02x， 2 0 340 x ，设 A、B 两点的坐标分别为 1122 ,x yxy， 则 22 00 1212 22 00 8228 , 3434 xx x xy y xx ， 1212 0OA OBx xy y ， AOB的大小为90. （ 22 00 2xy且 00 0 x y ， 22 00 02,02xy，从而当 2 0 340 x 时，方程和 方程的判别式均大于零

41、）. 45.（2020 江苏卷） （本题满分 10 分） 在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2） ，其焦点F在x轴上。 （1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； （3）设过点( ,0)(0)M mm 的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记 D和E两点间的距离为( )f m，求( )f m关于m的表达式。 46.(2020 山东卷理)（本小题满分 14 分） 设椭圆E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过M（2，2） ，N (6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得

42、该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAOB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过M（2，2） ，N (6,1)两点, 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆E的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAOB ,设该圆的切线方程为ykxm解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm, 即 222

43、 (12)4280kxkmxm, 则= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB ,需使 1212 0 x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk, 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km,所以 2 2 2 38 m m ,所以

44、2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r ,所求的圆为 22 8 3 xy,此时圆的 切线ykxm都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足 OAOB ,综上, 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒 有两个交点A,B,且OAOB

45、. 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk , 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 当0k 时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 1

46、12 1 33 44k k , 所以 4 6 | 2 3 3 AB当且仅当 2 2 k 时取”=”. 当0k 时, 4 6 | 3 AB . 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 , 所以此时 4 6 | 3 AB , 综上, |AB |的取值范围为 4 6 | 2 3 3 AB即: 4 | 6,2 3 3 AB 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2020 山东

47、卷文)（本小题满分 14 分） 设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx y ,向量( ,1)bx y ,ab ,动点 ( , )M x y的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 4 1 m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个 交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 4 1 m,设直线l与圆 C: 222 xyR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹E只有一个公 共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解解（1）因为ab ,(,1)amx y ,( ,1)bx y

48、, 所以 22 10a bmxy , 即 22 1mxy. 当m=0 时,方程表示两直线,方程为1y; 当1m 时, 方程表示的是圆 当0m且1m时,方程表示的是椭圆; 当0m时,方程表示的是双曲线. (2).当 4 1 m时, 轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解 方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4()4xkxt,即 222 (14)8440kxktxt, 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点A,B, 则使= 2 22222 6416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即 22 410kt ,即 22 41tk, 且 12

49、 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 (44)84 ()()() 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk , 要使OAOB , 需使 1212 0 x xy y,即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk , 所以 22 5440tk, 即 22 544tk且 22 41tk, 即 22 44205kk恒成立. 所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 2 1 t r k , 2 2 2 22 4 (1) 4

50、 5 115 k t r kk , 所求的圆为 22 4 5 xy. 当切线的斜率不存在时,切线为5 5 2 x,与 2 2 1 4 x y交于点)5 5 2 ,5 5 2 (或 )5 5 2 ,5 5 2 (也满足OAOB. 综上, 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OAOB . (3)当 4 1 m时,轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆 C: 222 xyR(1R0）与x轴 的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. (1)若曲线C

51、为半圆，点T为圆弧AAB的三等分点，试求出点S的坐标； （II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三 点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 解解 方法一方法一 ()当曲线 C 为半圆时，1,a 如图，由点 T 为圆弧AAB的三等分点得BOT=60或 120. (1)当BOT=60时, SAE=30. 又AB=2,故在SAE 中,有tan30,( ,);SBABs t (2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为(1,2 3) ,综上, 2 3 (1,) 3 S或S(1, 2 3) ()假设存在(0)a a ,使得O,M,S三点共线.

52、 由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS. 显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为()yk xa. 由 2 2 22222422 2 1 (1)20 () x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 (,),(), 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k ,从而 22 2 () 1 TT ak yk xa a k . 亦即 22 2222 2 (,). 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 ( ,0),(,) 11 a kak B aBT a ka k 由 () xa yk

53、 xa 得( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BTOS,可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0,0,2kaa 经检验,当2a 时,O,M,S 三点共线. 故存在2a ,使得 O,M,S 三点共线. 方法二方法二: : ()同方法一. ()假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT. 显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为()yk xa 由 2 2 22222222 2 1 (1)20 () x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点(,) TT

54、T xy,则有 422 22 (). 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 ,()(). 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 ( ,0), T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 () xa yk xa 得S(a, 2ak),所直线 SM 的方程为 2 2()yaka k xa O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即 2 2()aka ka. 0,0,2aKa 故存在2a ,使得O,M,S三点共线. 60.（2020 辽宁卷文、理） （本小题满分 12 分） 已知，椭圆C以过点A（1， 3 2 ） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。 （1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直 线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （）解解 由题意，c1,可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 。 因为A在椭圆上，所以 22 19 1 1