模糊数学方法

1、模糊数学方法,一模糊数学的基本概念 二模糊关系与模糊矩阵 三模糊聚类分析方法 四模糊模式识别方法 五模糊综合评判方法,一. 模糊数学的基本概念（1）模糊集与隶属函数的概念,论域：论及到的对象全体构成的集合，记为U。 Def. 设U为一论域，如果给定了一个映射: 则该映射确定了一个模糊集合A，其映射 称 为模糊集A 的隶属函数， 称为 对模糊集A 的 隶属度，使 的点 称为模糊集A 的过渡 点，即是模糊性最大的点。,对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集合。 模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体 注： 是一个普通集合.,（2） 模糊集的表示方法：,对于有限论域,，设,（1）Zadeh表示法：,

2、这里“,”不是分数，“”也不表示求和，只是符号，,它表示点 对模糊集A的隶属度是,（3）向量表示法：,（2）序偶表示法：,如果U为无限论域，设,这里“,”不是积分号，“,”也不是分数。,则,（3）模糊集的运算,模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。 设模糊集 ，其隶属函数为 . （1）若对任意 ，有 ，则称A包含 B，记 （2）若 且 ，则称A与B相等，记为B A。 设模糊集 ，其隶属函数为 则其相应的并、交、补及隶属函数为,并：交：补：其中“ ”和“ ”分别表示取大算子和取小算子，并且并和交运算可以直接推广到任意有限及无限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算规律。,隶

3、属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属程度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。1. 模糊统计方法 模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.,模糊统计实验包含下面四个基本要素（1）论域U；（2）U中的一个固定元素 ；（3）U中的一个随机变动的集合 （普通集） ；（4）U中的一个以 作为弹性边界的模糊集A ，对 的变动起着制约作用，其中 ，或 ， 致使 对A 的隶属关系是不确定的。,假设作n次模糊统计试验，可以算出 对A的隶属频率 事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其稳定值称为 对A的隶属度，即2. 指派

4、方法 指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们,的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经验主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。3. 其它方法 实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很多的，主要根据问题的实际意义,具体问题具体分析.,二. 模糊关系与模糊矩阵模糊关系：设U，V为论域，则称乘积空间 上 的一个模糊子集 为从U到V的模糊关系。 如果 的隶属函数为 ，则称隶属度 为 关于模糊关系 的相关程度。注：由于模糊关系就是乘积空间 上的一个模糊子集，因此，模糊关

5、系同样具有模糊集的运算及性质。,模糊矩阵：设矩阵 ，且 则称R为模糊矩阵。比较特殊的情况有下边两种：(1) 如果 ，则称R为布 尔（Bool）矩阵。(2) 当m=1,或n=1时，则相应的模糊矩阵为 或 ，分别称为模糊行向量和模糊列向量。,Def. 若模糊关系 ,且满足 （1）自反性： （2）对称性： （3）传递性： （或 ） 则称 是U上的一个模糊等价关系，其隶属度 表示 的相关程度。 注：当 为有限论域时，U上的模糊等价关系可表示为 阶的模糊等价矩阵 。,模糊等价矩阵：设论域为 ， 为单位矩阵，如果模糊矩阵 满足：（1）自反性： ；（2）对称性： ；（3）传递性： （或 ） 则称R为模糊等价

6、矩阵。注：对于满足自反性和对称性的模糊关系 与模糊矩阵R，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵。,截矩阵：设 为模糊矩阵，对任意的 （1）如果令 则称 为R的 截矩阵. （2）如果令 则称 为R的 强截矩阵. 注：对任意的 ， 截矩阵都是布尔矩阵.,模糊传递矩阵：设R是 阶的模糊矩阵，如果满足:则称R为模糊传递矩阵。称包含R的最小的模糊传递矩阵为传递闭包，记为Th. 对于任意的模糊矩阵 ，则 特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数 ，使得 ，对任意自然数 都有 此时 一定为模糊等价矩阵。,三. 模糊聚类分析方法,对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为 聚类分析，它是多元统

7、计“物以类聚”的一种分类方法 。然 而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并 无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是 模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小 康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方 法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊 聚类分析 。,第一步. 数据标准化（1）获取数据: 设论域U 为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即于是得到问题的原始数据矩阵为 （2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变

8、换和压缩，将其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：,(i) 平移标准差变换. 当原始数据之间具有不同量纲时，应用该方法可以使每个变量的均值为0，标准差化为1，从而消除了量纲的差异影响，即令 其中(ii) 平移极差变换. 如果经过平移标准差变换后还有某些 ，则还需对其进行平移极差变换，即令,第二步. 建立模糊相似矩阵 设论域U= 即数据矩阵为 .如果 与 的相似程度为 ，则称之为相似系数。 下边为确定相似系数 的多种方法： （1）数量积法. 对于 ,令 ，则取 ，显然 . 注：若出现某些 ，可令 ，则有 。也可以 用平移极差变换将其压缩到0,1上，从而得到模糊相似矩阵,（2）绝对值指数法.

9、令 则（3）海明距离法. 令 其中H为使所有 的确定常数.则 （4）欧氏距离法. 令 其中E为使得所有 的确定常数.则,（5）切比雪夫距离法. 令 其中Q为使所有 的确定常数.则 （6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对所研究的对象 与 相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果第k位专家 关于对象 与 的相似度评价为 ，对自己的自信度评估为 ，则相关系数定义为 ，则,（7） 夹角余弦法. （8） 相关系数法. （9） 指数相似系数法.（10）最大最小值法.（11）算术平均值法.（12）几何平均值法.（13）绝对值倒数法.,第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩

10、阵将所研究的对象进 行分类的方法。对于不同的置信水平 ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法 通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等 价矩阵 。根据传递闭包的性质，可以用平方法求出R 的传递 闭包 ，即为一模糊等价矩阵。然后，由大到小取一组 值 ，确定相应的 截矩阵 ，从而可以将其分类，同时 形成动态聚类图。,（二）布尔矩阵法 （三）直接聚类法,四. 模糊模式识别方法,将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象识别它属于哪一类的问题称为模式识别。如果整体被划分的类型与被识

11、别的对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识别问题，则称为模糊模式识别。 下面介绍两种最基本的模糊模式识别方法最大隶属原则和择近原则。,（）最大隶属原则 设在论域 中有m个模糊子集 （即m个模式）构成一个标准模式库，若对任意一个 ，存在 使得 ，则可视 相对隶属于 。 （）最大隶属原则 设在论域 上确定一个标准模式 ， 对于n个待识别的对象 ，如果有某个 满足 ，则 优先隶属于 .,模式识别中的择近原则 设论域 上有m个模糊子集 （即m个模式）构成一个标准模式库，对U上的另一个模糊子集 ，试问 与 中的哪一个最贴近？Def. 设论域U上的模糊子集 ，则称为 的内积；称为 与 的外积。,Def.

12、 设论域U 上的模糊子集 ，则称 为 与 的贴近度。 说明：如果两个模糊子集的贴近度越大，则说明 其越贴近。 贴近度的有关性质： （1） （2） ，其中 分别为 的高和底 ；,单个特性的择近原则 设论域U上的m个模糊子集 （m个模式）构成一个标准模式库 ，模糊子集 为待识别的模式，若存在 使得，则 与 最贴近，或者说把 可归并到 类。,根据实际问题的需要，依据对象的多个特性的模式识别问题，即要研究两个模糊向量集合族的贴近度问题。 对于论域U上的两个模糊向量集合族 则A与B的贴近度可定义为 （1） （2） （3） （4） （5）,多个特性的择近原则 设论域U上有n个模糊子集 构成一个标准模式库

13、，每个模式 都可用m个特性描述，即 待识别的模式为 ，如果两个模糊向量集合族的贴近度为 ，并有自然数 使得 则模式 隶属于 。,五. 模糊综合评判方法综合评判：对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价。 模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策。传统的评判方法有总评分法和加权平分法。1. 总评分法 根据评判对象的评价项目 ，首先对每个项目确定出评价的等级和相应的评分数 ，并将所有项目的分数求和 ；然后按总分大小排序，从而确定出方案的优劣。,2. 加权平分法 根据评判对象的诸多因素（指标） 所处的地位或所起的作用不同，引入权重的概念，求其诸多因素（指标）评分 的加权和 ，其中 为第 个

14、因素（指标）的权值。,模糊综合评判的一般步骤：（1）确定因素集 . 因素集为研究对象的所有因素的集合。（2）确定评判集 . 评判集为所有因素的诸多评判等级构成的集合。,（3）确定模糊评判矩阵 . 首先，对每一个因素 做一个评判 ，则可以得到从U 到的一个模糊映射 ，即 然后，由模糊映射 可以诱导出模糊关系,即从而可以确定出模糊评判矩阵 ，而且称（U，V，R）为模糊综合评判模型，U，V，R 称为该模型的三要素。（）综合评判. 对于权重 ，用模型 取最大最小合成运算，可以得到综合评判,模糊综合评判的构成 如果模糊综合评判模型为（U，V，R），对于权重 ，模糊评判矩阵为 ，则用模型 运算得综合评判为 ，其中 .因此，综合评判的结果 是V 上的一个模糊子集，其中 反映了第 种评判 在综合评判中所占的地位。,模型的改进方法（