【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套ppt课件

1、第三节 圆 的 方 程,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣填一填 圆的定义、方程:,定点,定长,(a,b),r,D2+E2-4F0,2.必备结论 教材提炼记一记 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),则 (1)(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆上. (2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆外. (3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.,3.必用技法 核心总结看一看 (1)常用方法:用待定系数法求圆的方程,用直接法、定义法、几何法、代入法等求与圆有关的轨迹问题. (2)数学思想:数形结合思想,转化与化归思想.,【小题快练】 1.思考辨析静心思

2、考判一判 (1)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一 个圆.() (2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 半径为 的圆.() (3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C0，B=0，D2+E2-4AF0.(),(4)若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F 0.() (5)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(),【解析】(1)错误.当t0时，方程表示圆

3、心为(-a，-b)，半径为 |t|的圆. (2)错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0即-20得方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立. (4)正确.因为点M(x0，y0)在圆外，所以 即x02+y02+Dx0+Ey0+F0.,(5)正确.设M(x，y)是圆上异于直径端点A，B的点，由 得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 显然A，B也满足上式.所以以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=0. 答案：(1)(2)(3)(4)(5),2.教材改编 链接教材练一练 (1)(必修2P80练习T1改编)圆x

4、2+y2+2by+m=0的圆心坐标为_. 【解析】圆心横坐标为0,纵坐标为-b, 所以圆心坐标为(0,-b). 答案:(0,-b),(2)(必修2P85习题2-2A组T1改编)经过点C(-1,1),D(1,3),圆心在 y轴上的圆的方程为_. 【解析】设圆的方程为x2+y2+my+n=0, 将(-1,1),(1,3)代入得 得 所以圆的方程为x2+y2-4y+2=0. 答案:x2+y2-4y+2=0,3.真题小试 感悟考题试一试 (1)(2015淮南模拟)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴 上,则圆C的方程为_. 【解析】设圆心坐标为(a,0), 易知 解得a=2, 所以圆

5、心为(2,0),半径为 , 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 答案:(x-2)2+y2=10,(2)(2014陕西高考)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x对称,则圆C的标准方程为_. 【解析】因为圆C的圆心与点P(1,0)关于直线y=x对称,所以圆C的圆 心坐标为(0,1),且圆C的半径为1,所以所求圆的标准方程为x2+(y-1)2 =1. 答案:x2+(y-1)2=1,(3)(2014山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相 切，圆C截x轴所得的弦的长为2 ，则圆C的标准方程为. 【解析】设圆心(a, )(a0),半径为a. 由勾股定理 =a2,

6、解得:a=2. 所以圆心为(2,1),半径为2, 所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 答案:(x-2)2+(y-1)2=4,考点1 确定圆的方程 【典例1】(1)若圆心在x轴上、半径为 的圆O位于y轴左侧, 且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是() A.(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5 B.(x+ )2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5,(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-2=0, x+y-4=0,则该三角形的外接圆方程为_. 【解题提示】(1)先设圆心的坐标,依据圆与直线相切,可得到圆心到直线

7、的距离等于半径,进而得到圆的方程. (2)可依据条件求出三角形的三个顶点坐标,再求圆心坐标、半径或利用待定系数法直接求解.,【规范解答】(1)选D.设圆心坐标为(a,0)(a0),因为圆与直线x+2y =0相切,所以 解得a=-5,因此圆的方程为(x+5)2+y2=5. (2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4 =0,解方程组可得三个顶点的坐标,分别设为A(1,2),B(2,2),C(3,1).,因为AB的垂直平分线方程为x= ，BC的垂直平分线方程为： x-y-1=0， 解方程组 即圆心坐标为 半径 因此，所求圆的方程为 即x2+y2-3x-y=0.

8、 答案：x2+y2-3x-y=0,【一题多解】解答本题还有如下解法： 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆过点A(1，2)，B(2，2)，C(3，1). 所以12+22+D+2E+F=0， 22+22+2D+2E+F=0， 32+12+3D+E+F=0， 联立得：D=-3，E=-1，F=0， 因此所求圆的方程为：x2+y2-3x-y=0. 答案：x2+y2-3x-y=0,【易错警示】忽视题设条件导致错解 本例(1)中,极易忽略圆O位于y轴左侧这一条件,在设圆心坐标时忽略a0这一条件,造成错解.,【互动探究】若题(2)中的条件不变，求能覆盖此三角形且面积最小 的圆的方程. 【解析】

9、由原题可知，三角形的三个顶点的坐标分别为A(1，2)， B(2，2)，C(3，1).易得该三角形为钝角三角形，而能够覆盖三角形 且面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的 两个端点坐标分别为A(1，2)，C(3，1)，即圆的直径为 ，圆心 坐标为 因此所求圆的方程为(x-2)2+,【规律方法】 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法: 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的

10、一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.,2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. 提醒:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.,【变式训练】1.圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的 方程是() A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10 x=0 D.x2+y2-10 x=0,【解析】选B.由题意,设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|, 所以圆的方程为x2+(y-b)2=b2. 因为点

11、(3,1)在圆上, 所以9+(1-b)2=b2,解得b=5. 所以圆的方程为x2+y2-10y=0.,2.(2015淄博模拟)过直线2x+y+4=0和圆(x+1)2+(y-2)2=4的交点, 并且面积最小的圆的方程为(),【解析】选A.设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2-4+k(2x+y+4)=0, 即x2+y2+2(k+1)x+(k-4)y+1+4k=0,化为圆的标准方程得x+(k+1)2 +y+ (k-4)2 =(k+1)2+ (k-4)2-(4k+1), 由(k+1)2+ (k-4)2-(1+4k)0,得 5k2-16k+160,此时,所求圆的半径r= 显然,当k= ,即k= 时

12、,5k2-16k+16有最小值 , 此时,圆的半径最小,从而面积最小. 故所求的圆的方程为,【加固训练】1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程 为() A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1 【解析】选A.由题意,设圆心坐标为(0,b), 则 =1,解得b=2, 故圆的方程为x2+(y-2)2=1.,2.圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程为 . 【解析】方法一:设所求圆的圆心为(a,b),半径长为r, 由题意得 解方程组得a=2,b=1,r2=10. 所以所求圆的方程

13、为(x-2)2+(y-1)2=10.,方法二:因点(5,2)和(3,-2)在圆上,故圆心在这两点所连线段的 垂直平分线上,可求得垂直平分线的方程为x+2y-4=0. 又圆心在直线2x-y-3=0上, 故圆心为两直线的交点. 由 求得两直线交点坐标为(2,1), 由两点间的距离公式可求得半径长为 . 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 答案:(x-2)2+(y-1)2=10,考点2 与圆有关的轨迹问题 【典例2】(1)(2015福州模拟)已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C 满足|AC|=|AB|,则点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程为 _. (2)(2014

14、新课标全国卷)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P 的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. 求M的轨迹方程. 当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,【解题提示】(1)先求出点C的轨迹方程,再用相关点法求M的轨迹方程. (2)利用圆的几何性质转化为 求解; 利用|OP|=|OM|转化求解.,【规范解答】(1)由题意可知:动点C的轨迹是以(-1,0)为圆心,3为半径长的圆,方程为(x+1)2+y2=9. 设M(x0,y0),则由中点坐标公式可求得C(2x0-1,2y0-4),代入点C的轨迹方程得4x02+4(y0-2)2=9, 化简得x0

15、2+(y0-2)2= , 故点M的轨迹方程为x2+(y-2)2= . 答案:x2+(y-2)2=,(2)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y), 由题设知 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2, 由于点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,由可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上, 又P在圆N上,从而ONPM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- , 直线

16、l的方程为: 又|OM|=|OP|= O到l的距离为 ,|PM|= , 所以POM的面积为,【规律方法】求与圆有关的轨迹问题的四种方法,【变式训练】(2015安徽名校联盟模拟)设定点M(-2,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,线段MN的中点为点P. (1)求MN的中点P的轨迹方程. (2)直线l与点P的轨迹相切,且l在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程.,【解析】(1)设P点坐标为(x,y),N点坐标为(x0,y0), 则由中点坐标公式有 因为N点在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4, 所以(2x+2)2+(2y-4)2=4, 所以(x+1)2+(y-2)2=1, 即点P的轨迹

17、方程为(x+1)2+(y-2)2=1.,(2)因直线l在x轴,y轴上的截距相等, 故l的斜率存在且不为0, 当直线l在x轴,y轴上的截距都为0时, 设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0. 因为直线l与(x+1)2+(y-2)2=1相切, 所以 =1k=- , 故直线l的方程为y=- x.,当l在x轴,y轴上的截距均不为0时, 设直线l的方程为 =1,即x+y-a=0. 因为直线l与(x+1)2+(y-2)2=1相切, 则有 =1,解得a= +1或a=1- . 故直线l的方程为x+y-1- =0或x+y-1+ =0, 综上可知l的方程为y=- x或x+y-1- =0或x+y-1+ =0.,【

18、加固训练】1.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是() A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+(y-1)2=1,【解析】选A.设圆上任意一点的坐标为(x1,y1),其与点P(4,-2)所 连线段的中点坐标为(x,y),则 代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4, 化简得(x-2)2+(y+1)2=1.,2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,【解析】如图所示,设P(x,y),N(x0,y0)

19、,则线段OP的中点坐标为 则线段MN的中点坐标为 因为平行四边形的对角线互相 平分,所以 整理得 又因为点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上, 所以(x+3)2+(y-4)2=4. 直线OM: 与(x+3)2+(y-4)2=4联立组成方程组,解得 或 因为O,M,P三点不共线, 所以应除去两点 与 , 所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆 (除去两点 与 ).,考点3 与圆有关的最值问题 知考情 与圆有关的最值问题是高考及各类考试的一个常考点.多以选择题、填空题的形式出现,考查距离、斜率、函数的最值及数形结合思想.,明角度 命题角度1:斜率型最值 【典例3】(2015渭南模

20、拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0, 则 的最大值为,最小值为. 【解题提示】 表示圆上的点(x,y)与坐标原点(0,0)的连线的斜率.,【规范解答】原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值， 此时 解得 (如图)所以 答案：,命题角度2：截距型最值 【典例4】(2015郑州模拟)已知实数x，y满足x2y24(y0)， 则m xy的取值范围是( ) A.(2 ，4) B.2 ，4 C.4，4 D.4，2 【解题提示】可根据点(x,

21、y)在半圆x2+y2=4(y0)上,利用数形结合的思想转化为直线在y轴上的截距的取值范围求解.,【规范解答】选B.由于y0,所以x2+y2=4(y0)为上半圆. x+y-m=0是直线(如图),且斜率为- ,在y轴上截距为m, 又当直线过点(-2,0)时,m=-2 , 解得m-2 ,4,选B.,命题角度3：距离型最值 【典例5】(2015揭阳模拟)设点P是函数 的图象上 的任意一点，点Q(2a,a-3)(aR),则|PQ|的最小值为( ) 【解题提示】点Q(2a,a-3)在直线x-2y-6=0上，可将问题转化为函数 的图象上的点到直线x-2y-6=0的最小距离.,【规范解答】选C. 如图所示，点

22、P在半圆C(实线部分)上，且由 题意知，C(1,0),点Q在直线l:x-2y-6=0上. 过圆心C作直线l的垂线，垂足为A， 则,悟技法 与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,通一类 1.(2015广州模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意点,则 (x-5)2+(y+4)2的最大值为() A.6B.25C.26D.36 【解析】选D.因为圆(x-2)2+y2=

23、1的圆心坐标为(2,0),该圆心到点 (5,-4)的距离为 =5,所以圆(x-2)2+y2=1上的点到 (5,-4)距离的最大值为6,即(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.,2.(2015汉中模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是(),【解析】选C.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径 为r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2SAPC=2 |PA|r =|PA|= ,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最 小时为圆心到直

24、线l:3x-4y+11=0的距离d= =2.所以四边 形PACB面积的最小值为,3.(2015抚州模拟)已知圆F的圆心为(4,0),半径为1,且直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆F有公共点,则实数k的最大值为_.,【解析】因为圆F的圆心为(4,0),半径为1,所以圆F的方程为(x-4)2 +y2=1.设直线y=kx-2上存在一点A满足题意,则|FA|2,所以|FA|min = 2,解得0k ,故实数k的最大值为 . 答案:,【加固训练】1.(2015日照模拟)直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x- 2y+4=0的最近距离为() 【解析】选C.圆心(-2,1)到已知直线的距离为d=2 ,圆的半径为 r=1,故所求距离dmin=2 -1.,2.(2015石家庄模拟)圆心在抛物线