13.1复数的概念

1、复数的概念,数系扩充之旅,数字拆分,将6分成两个数，使两者乘积为8； 将10分成两个数，使两者乘积为40.,追根溯源,将10分成两部分，使它们的乘积等于40”,卡尔丹（15011576） 意大利数学家、医生,这两个怪东西正是要找的数.,欧拉的叙述,“一切如 的数学式，都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根. 对于这类数，我们只能断言：它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚构.”,三次方程的公式解法,形如 x3+px+q=0 的一个根为,利用上述公式求出方程 x3-15x-4=0的一个根.,数系的扩充,N,Z,Q,R,为什么要扩充数

2、系？,2.数系是怎样扩充的？,4.扩充前后，运算法则和运算律是否保持一致？,3.扩充后的新数系与原数系是什么关系？,负数,分数,无理数,思考：,我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做数系,数系的扩充,N,Z,Q,R,引入新数；,2.原数系是新数系的一部分；,4.运算法则保持一致； 运算律仍然成立.,3.新数系内能进行某些原数系内无法进行的运算；,负数,分数,无理数,数系扩充的特征：,？,？数,虚数 imaginary number,虚数单位,引入新数 i 叫做虚数单位， 规定： i 2=-1，即 i 是-1的一个平方根； 实数可以和 i 进行四则运算.,问题：举出实数3与虚数单位 i 四则运算

3、的结果.,把形如 a+bi (a,bR) 的数叫做复数(complex number). 复数全体组成的集合叫做复数集(complex set)，一般用字母C表示. C=a+bi| a,bR 定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系(域) (complex field).,复数的代数形式,问题：数集N,Z,Q,R,C之间的关系如何？,复数的相关概念,复数通常用字母z表示， 即z=a+bi ，这一表示形式叫做复数的代数形式， 并规定0i=0，0+bi=bi.,实部 Rez,虚部 Imz,说出下列各数的实部与虚部： (1)5+i (2)6i-2 (3)3 (4)1+i2 (5),纯虚数 (a

4、=0,b0),思考：复数a+bi=c+di的充要条件是,a=c且b=d.,什么？,复数的几何意义,0,-1,1,2,-2,x,y,实轴,虚轴,复平面,Z:a+bi,a,b,z=a+bi,Z(a,b),复数的分类,虚部b0,复数z=a+bi,实数,虚数,纯虚数,非纯虚数的虚数,虚部b=0,实部a=0,实部a0,O,x,y,实数,纯虚数,巩固练习,1. 判断下列说法是否正确： （1）一个数是实数，则这个数一定是复数； （2）一个数是虚数，则这个数一定是纯虚数； （3）一个数可能既是实数，又是虚数； （4）1+2i2是虚数； （5）3-2i的虚部是-2i； （6）1+bi（bR）是虚数； （7）虚轴上的点表示的复数都是纯虚数.,正确,错误 如1+i,错误,错误， 1+2i2=1-2=-1,错误，虚部为-2,错误，b=0时不是,错误， 原点不是,巩固练习,2. 实数m取何值时，复数z=m2-m+(m2-1)i是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数； （4）对应复平面上的点在第三象限.,(1)m2-1=0，即m=1时；z为实数；,(2)m2-10，即m1时，z为虚数；,(3)m2-10，且m2-m=0，即m=0时，z为纯虚数；,(4)m2-m0，且m2-10，即0m1时.,巩固练习,3. 已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR， 求x与y.,课堂小结,数系的扩充需要