数字电子技术基础(第四版)第2章逻辑代数基础.ppt

1、1,学习要点 掌握逻辑代数的基本运算法则、基本公式、 基本定理和化简方法。 最简与或表达式。 能够熟练地运用真值表、逻辑表达式、卡诺 图、波形图和逻辑图表示逻辑函数。,第二章 逻辑代数基础,2,2.1 逻辑代数的基本概念,3,逻辑问题,逻辑变量,逻辑运算,逻辑函数,化简,逻辑电路,4,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，它们并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。,事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 。,在正逻辑中：,1 表示开关接通、高电平、事件发生等。,0 表示开关断开、低电平、事件不发生等。,逻

2、辑变量,5,2.1.1 基本逻辑运算,1、与运算,与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A， B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。,试分析电路：开关A，B串联控制灯泡Y,6,两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,A、B都接通，灯亮。,7,这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,与门的逻辑符号：,真值表,8,2、或运算,或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只

3、要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。,开关A，B并联控制灯泡Y,9,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯亮。,A接通、B断开，灯亮。,A、B都接通，灯亮。,10,或门的逻辑符号：,真值表,11,3、非运算,非逻辑：指逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。,12,A断开，灯亮。,A接通，灯灭。,13,非门的逻辑符号：,真值表,（1）与非运算：逻辑表达式为,2.1.2 复合逻辑运算,真值表,与非运算规则： 有低出高 全高出低,15,（2）或非运算：逻辑表达式为,真值表,或非运算规则：

4、有高出低 全低出高,（3）异或运算：逻辑表达式为,17,（4）同或运算：逻辑表达式为,18,（4） 与或非运算：逻辑表达式为,19,2.2 逻辑代数的公式、 定理和规则,20,2.2.1逻辑代数的基本公式和常用公式,1、基本定律,0-1律：,重叠律：,互补律：,交换律：,21,结合律：,分配律：,反演律 （摩根定律）：,否定律：,22,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,=A+AB+AC+BC,=A(1+B+C)+BC,=A+BC,（1）证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C),证明：,（2）证明反演律（真值表）,2、常用公式,1、,2、,吸收定理：,利用分配律 A+BC=(A+B

5、)(A+C),可得：,3、,24,4、摩根定理,推广：,可利用真值表证明。,25,25,5、多余项定理,多余项定理指出： 当变量A分别以不同的形式（A、A）出现在两个 乘积项中时，这两个乘积项中的其余因子组成第 三个乘积项为多余项，可以略去。,26,多余项定理的推广：,27,例 已知等式 ，将函数 代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,1、代入定理：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数Z代替，则等式仍然成立。,2.2.2 逻辑代数运算的基本定理,28,（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将所有“”换成“”，“”换成“”，0换成1，1换成0，

6、原变量换成反变量，反变量换成原变量，并且保持原先的逻辑优先顺序，则可得到函数Y的反函数Y（或称补函数）。,例1,例2,注意： 1. 不属于单个变量上的反号应保留不变 2. 运算顺序：括号乘加,29,（3）对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将所有“”换成“”，“”换成“”，0换成1，1换成0，而变量保持不变，并保持原先的逻辑优先顺序，则可得到函数Y的对偶函数YD 。,如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。,例 试证明,用途：可以导出新公式，且使要证明的公式减少一半。,30,2.3 逻辑函数及其表示方法,31,2.3.1 逻辑函数,逻辑函数以逻辑变量为输入，运算结果为输出，输出随输入的变

7、化而变化。逻辑函数只能取0、1两种值。,32,2.3.2 逻辑函数的表示方法,真值表表示法,逻辑函数式表示法,逻辑图表示法,波形图表示法,卡诺图表示法,33,1、真值表,真值表：由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。,注意：列写时一般按二进制递增规律排列，以免漏写。,特点：直观，一目了然。,34,2、逻辑表达式,逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。,特点：简洁方便，便于用逻辑图实现函数。但是没有真值表直观。,3、逻辑图,逻辑图：以电路图的形式描述输入变量与输出函数之间的组合关系。,35,1、Y=AB+AB,2、Y=AB+BC+AC,例：已知逻辑表达

8、式，画出逻辑图,36,4、波形图,波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。,37,5、卡诺图,卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。,逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。,38,1、由真值表到逻辑图的转换,真值表,逻辑表达式或卡诺图,1,1,最简与或表达式,化简,2,2,2.3.3 逻辑函数表示方法之间的转换,39,画逻辑图,3,最简与或表达式,3,40,2、由逻辑图到真值表的转换,逻辑图,逻辑表达式,1,1,最简与或表达式,化简

9、,2,2,从输入到输出逐级写出,41,最简与或表达式,3,真值表,3,42,例： 根据电路图写出逻辑表达式和真值表：,43,2.3.4 逻辑函数的两种标准形式,1、逻辑函数的最小项及其性质,（1）最小项：在 n 变量逻辑函数中，如果某个乘积项包含了全部 n个变量，其中每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则该乘积项称为该组变量的最小项。,44,（2）最小项编号：通常用符号 mi 来表示最小项。,（3）最小项的重要性质（书P36）：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,2、逻辑函数的最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示

10、成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,1、一般可利用公式AA1 和A(B+C)AB BC来配项展开成最小项表达式。 2、利用真值表得到最小项表达。,如何讲逻辑函数转化为最小项表达式：,46,例2：,46,例1：,47,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,48,2.3.5 逻辑函数形式的变换,49,或非 - 或非的求法：,50,2.5 逻辑函数的化简,51,2.5.1 公式法化简,一、最简“与或”表达式, 乘积项的个数最少 满足的条件下，每个乘积项中的变量最少,标准：,52,1、并项法,二、公式法化简,利用公式 ，将两

11、项合并为一项，消去一个变量。,53,2、吸收法利用公式，消去多余项。,54,3、消项法,（1）利用 消去多余因子 。 （2）利用 消去多余项。,55,56,4、配项法利用 A=A(B+B) 和 A+A=A 配项。,57,另一答案：,58,综合练习：,59,60,卡诺图是按最小项原则构成的最小项方块图。卡诺图中变量的排列是有原则的，变量取值按格雷码排列，目的是为了获得“逻辑相邻”。,一、卡诺图的构成,2.5.1 卡诺图化简法,相邻项定义： 两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项。 卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。,61,A,B,Y,0,1,0,1,

12、m0,m1,m2,m3,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,1、二变量卡诺图,二、卡诺图的画法,62,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,2、三变量卡诺图,63,Y,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,m12,m13,m8,m9,m15,m14,m11,m10,3、四变量卡诺图,相邻性分析：,左右、上下；每一行的首尾；每一列的首尾的 最小项都是逻辑相邻的。,64,（1）任何两个标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量，保留公因子。,（2）任何四个

13、标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何八个标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,相邻性原则,65,1,0,1,0,0,1,1,0,三、做逻辑函数的卡诺图,例：,1、由逻辑函数画卡诺图。 2、由真值表直接画卡诺图。,66,卡诺图：,0,0,0,1,1,0,0,0,例：,67,四、卡诺图化简,依据：相邻性相邻项合并可消去因子。 如：,化简步骤：1）画出函数的卡诺图。 2）合并最小项对“1”块画圈。 3）写出最简与或表达式。,68,合并法则 1、合并时只能按2n将“1”块小方格用矩形圈圈起来，这样才能消去N个变量。,2、圈越大越好。圈越大，合并时消去的变量越多，

14、乘积项越简单。,3、每个圈至少包含一个新的最小项。若一个圈中所有的小方格均被别的圈包围了，则该圈为多余圈。,4、“1”块允许被一个以上的圈包围。,69,1,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,利用卡诺图化简逻辑函数,例1：,70,全体最小项之和恒为一，,Y = 1,例2：,71,最小项与或表达式可以有不同的圈法，得到的结果除输入变量不一样外，项数相同。,例3：,72,例4：,73,例5：,圈越大越好。圈越大，合并时消去的变量越多，乘积项越简单。,“1”块允许被一个以上的圈包围。,74,例6：,75,例7：,每个圈至少包含一个新的最小项。若一个圈中所有的小方格均被别的圈包围了，则该圈为多余圈。,蓝圈是多余的,76,例8：,77,例9：,78,例10：,79,例11：,80,例12：,采用包围“0”的方法,81,例13：,82,2.6 具有无关项的逻辑函数及其化简,定义：实际系统中存在另一种情况，即逻辑函 数只对应一部分最小项有确定值，而对 应