选修4-5 证明不等式的基本方法-综合法与分析法

1、2020年7月18日星期六,不等式的证明,第二讲 证明不等式的基本方法 综合法与分析法,二、综合法与分析法,例1.已知a,b,c0,且不全相等，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,分析：观察待证不等式的特点与重要不等式：,a2+b22ab有关,所以证明可以从这个重要不等式出发， 再结合不等式的性质推出.,这就是 综合法,综合法：,一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.,综合法又叫顺推法或由因导果法,综合法的“入手处”是一些重要的不等式：,例2.已知a1,a2,.,anr+,且a1a2.

2、an1，求证 (1+a1)(1+a2)(1+an)2n,分析：观察要证明的结论，可以联想到是由n个同向不等式相乘得到.,由基本不等式得：,再由条件： a1a2.an1可得结论,例2.已知a1,a2,.,anr+,且a1a2.an1，求证 (1+a1)(1+a2)(1+an)2n,变式练习：,点评：瞄准目标进行拆分与组合,分析：观察不等式的特点联想n维均值不等式,关键：将右边的1移至左边并进行“均分”,再用均值不等式即可达到目标,课堂练习:1.已知a,b,c不全相等，且a+b+c=3, 求证：a2+b2+c23,证：由已知得(a+b+c)2=9,即:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=9,

3、a2+b22ab,由和得93(a2+b2+c2),即a2+b2+c23,又a,b,c不全相等,2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca ,b2+c22bc,a2+c22ca,以上三式相加得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca,小结：,作业:p251,2,7,8,课堂练习,即综合法是：由因导果,分析法,证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.,这是一种执果索因 的思考和证明方法,因为1418成立，,例2.已知a0,b0,2ca+b

4、.求证：,分析：原不等式等价于,又a0,所以，只需证：a2c-b,即：a+b2c,由题设知a+b2c成立, 原不等式得证.,课堂练习,2.证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.,这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大,课堂练习,课堂练习,课堂练习,作业：p263,4,5,6,9,分析法的思路是“执果索因”，未知已知 即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。,小结:,(1)法常用于比较法，综合法难于 入手的题型 (2)分析法的优点是利于思考，因为它方向明确思 路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述， 条理清楚,形式简洁，因而

5、证不等式时常常用分 析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程,解:设f(x)=(1+x)n(1+nx)，则 f(x)=n(1+x)n-1nn(1+x)n-11. 由f(x)=0得x=0,于是 当x(-1，0)时,f(x)0，f(x)在(0,+)上递增. 当x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x)0 (1+x)n 1+nx.,例4.已知x-1，n2且nn*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.,例4.已知x-1，n2且nn*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.,解:设t=1+x,则t0,(1+x)n-(1+nx)=tnntn1() 再设f(t)= tn-nt+n-1,则 f(t)=ntn-1nn(tn-11. 当t(0