2020届高二数学 期末备考专题极坐标与参数方程 新人教A版选修2-3（通用）

1、2020届高二数学期末备考专题极坐标与参数方程1. 求点的极坐标：有序实数实数对,叫极径，叫极角；极坐标：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，。例1.（1）点的直角坐标是，则点的极坐标为 （C）A B C D 提示：都是点的极坐标.（2）点的直角坐标为,在的要求下,它的极坐标为 提示：点的直角坐标为， ，（3）在直角坐标系中，点的坐标为，则在相应的极坐标系中它的极坐标可以是（C）A. B C D2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：正弦定理，；（2）圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲线极

2、坐标：，；提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。例2.（1）极坐标方程表示的曲线是 . 双曲线 提示：等价于，.（2）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和， ， .线段的长度为.（3）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求的值.解：抛物线中，.在以抛物线的焦点为极点，轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为，设点的极坐标为，则点的极坐标为，则， 的值为.3.参数方程化为直角坐标：消去参数 （1）圆的参数方程： （2）椭圆的参数方程：（3）直线过点M,倾斜角为的参数方程：即，即注：，

3、根据锐角三角函数定义，T的几何意义是有向线段的数量； 例3已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点，则最小值为 提示：设倾斜角为，则或=，则，令，所以，注意：本题可以取倾斜角的补角为。例4. （1）直线为参数被圆截得的弦长为_. 提示：直线为，圆心到直线的距离（2）过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线相交于A、B两点求线段AB的长解： 直线的参数方程为，3分曲线可以化为5分将直线的参数方程代入上式，得设A、B对应的参数分别为，8分AB10分 （3）已知直线经过点,倾斜角，写出直线的参数方程;设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.解 （1）直线的参数方程为，即5分 （2）把直线代

4、入，得，则点到两点的距离之积为10分4极坐标和直角坐标互化公式 或 ，的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合. （2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。 例5. 已知抛物线，以焦点F为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。 错解：设代入，得，即。错因分析：运用互化公式必须满足：极点与原点重合。本题极点是焦点（1，0）不是坐标原点，因此所得到的极坐标方程不是我们要求的方程。正确解法：设抛物线上任意一点，过点M向X轴作垂线MN， 中，。根据抛物线定义得， ，即。例6. 已知曲线C的极坐标方程是以极

5、点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长解：曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为x2y24x=0，即（x2）2y2=4 -2分直线l的参数方程，化为普通方程为xy1=0，-4分曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为 -6分所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长= -10分例7. 已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为()求直线和曲线的普通方程；()求点，到直线的距离之和.解: () 直线普通方程为； 2分曲线的普通方程为 4分() ,，点到直线的距离 6分点到直线的距离 8分 10分5.曲线

6、的极坐标方程 (1)求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P；（3）写出等式；（4）根据几何意义用表示上述等式，并化简（注意：）；（5）验证。 注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用几何意义）(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最基本的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程代入法(相关点法或转移法).定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用

7、一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.例8. 已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。错解：由得，圆心，。因为半径CP垂直切线，所以切线的倾斜角为，切线方程是。设是过点的圆的切线上的任一点，再设代入，得，即。错因分析：上述解法是想先求出切线的直角方程，得到直角坐标方程之后，再将直角坐标与极坐标的互化，想法是很好的。但是问题是它忽视了直角坐标与极坐标的互化的一个必要条件：极点与原点重合。也就是说切线方程是以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系内的极坐标方程。这与题中要求“以圆心为

8、极点”相悖。如右图在中，有，即为所求切线的极坐标方程例9. 极点作直线与另一直线相交于点,在上取一点,使.()求点的轨迹方程；()设为上的任意一点,试求的最小值解析：()设动点P的坐标为,M的坐标为,则即为所求轨迹方程.()由()知P的轨迹是以()为圆心，半径为的圆，易得RP的最小值为1.点评：求轨迹的极坐标方程首先要设坐标，然后要找等量关系，如，从而建立极坐标方程。不过从到，显然需要对极径的几何意义的足够认识。7.参数方程的应用例10在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， 当，即时，此时所求点为.例11 某曲线的极坐标方程为。（1）将上述曲线方程华为普通方程；

9、（2）若点是该曲线上任意点，求的取值范围。错解：（1）因为 且 ，所以（2）点是圆上任意点，设，=，的取值范围。错因分析：本题第二问中点是圆上的点，上述解法似乎是要将直角坐标改成极坐标，并且极点和坐标原点也重合，把直角坐标和极坐标转换公式直接错误地当成参数方程使用，得到=，从而转化成三角最值问题。这种方法实质上是在直角坐标系内运用圆的参数方程进行三角换元，进而求最值的方法，但是圆上点到极点距离是变量，不是圆的半径2，因为圆心不在极点上。也就是说点的坐标既满足但没有用，又可以设为。=2+，的取值范围。例12.已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当为何值时，MN与椭圆短轴长相等？解法一：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系这里:a=3,c=,所以椭圆的极坐标方程为：设M点的极坐标为，N点的极坐标为，解法二：设椭圆的方程为，其左焦点为，直线MN的参数方程为：，将此参数方程代人椭圆方程并整理得：，设M、N对应的参数分别为，则点评：点极坐标中的极径表示点P到极点的距离，解法一中焦径的长相当于；参数方程中参数实质上是动点P到定点的有向线段的数量，如解法二中