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文档简介

1、,第十章,山东交通学院高等数学教研室,第二节 二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分,一、X型区域,二、Y型区域,三、矩形区域,四、利用对称性,下面讨论二重积分,的计算,设积分区域 D :,在,上连续,其特点：,这些直线与 D 的边界相交不多于两点,间作垂直于 x 轴的直线，,在,根据二重积分的几何意义，二重积分,的值,等于以 D 为底，,为顶的曲顶柱体体积,以曲面,一、D 是X形区域,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,利用平行截面面积是已知的立体的体积,求截面面积,累次积分,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解：,例1：,计算,将 D 看作X

2、 - 型区域, 则,所围成的闭区域.,解：,例2：,计算,将 D 看作X - 型区域, 则,其中D 是由直线,及,若D为Y - 型区域,则,二、D 是Y形区域,记作,如例1：计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,解：,将D看作Y - 型区域, 则,yx 所围的闭区域.,所围成的闭区域.,解：,如例2：,计算,将 D 看作 Y型区域, 则,其中D 是由直线,及,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,例3: 计算,其中D 是抛物线,

3、所围成的闭区域.,解:,及直线,则,为计算简便, 可看作 Y型区域,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,例4: 计算,其中D 是由,所围成的闭区域.,及,例5：计算,解：,三、D 是矩形区域,设,在,上可积，,若对每一个,在,上可积，则,对,在,上可积，且,例6：,计算,解：,例7：交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y - 型区域 , 则,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,区域关于 y 轴对称, 函数关于 x 有奇偶性时,有类似结果,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则曲面关于 xoz 面对称,则,四、利用对称性,在第一象限部分, 则有,例8：计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,例9： 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围立体体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,内容小结,(1) 二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,(2) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 判断积分区域类型，确定积分次序, 写出积分限, 计算要简便,图示法,不等式,充分利用对称性,应用

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