江苏省如皋中学2019—2020学年度高一第二学期期末数学综合复习四

1、江苏省如皋中学江苏省如皋中学 20192020 学年度高一第二学期期末数学综合复习学年度高一第二学期期末数学综合复习四四 一、一、 单单选题（本大题共选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分） 1.若圆锥的侧面展开图的圆心角为90，半径为 r，则该圆锥的全面积为( ) A. 16 2 r B. 16 3 2 r C. 4 2 r D. 16 5 2 r 2.当点 P(3,2)到直线 mx-y+1-2m=0 的距离最大时,m 的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.1 3.等比数列an中, 1 1 4 + = n nna a,则数列an的公比为( ) A.2

2、 或-2 B.4 C.2 D.2 4 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下 三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，甲所得为（ ） A 5 4 钱 B 4 3 钱 C 3 2 钱 D 5 3 钱 5设 x，y 均为正数，且 xyxy100，则 xy 的最小值是（ ） A4 B5 C6 D10 6.如图,E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 C1D1上的一点(不与端点重合),

3、BD1平面 B1CE,则( ) A.BD1CE B.AC1BD1 C.D1E=2EC1 D.D1E=EC1 7.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有 如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形 可以完成的无字证明为( ) A.ab 2 ab(a0，b0) Ba2b22 ab(a0，b0) C. 2ab ab ab(a0，b0) D. ab 2 a2b2 2 (a0，b0) 8数学家也有许多美丽的

4、错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想 2 21(0,1,2,) n n Fn=+=是质数直到 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出 5 641 6700417F =，不是质数现设 n a =() 2 log1 ,(1,2,) n Fn=， n S表示数列 n a的前 n 项和则使不等式 2 12231 222n nn S SS SS S + + 2 2020 n 成立的最小正整数 n 的值是（提示 10 21024=） （ ） A11 B10 C9 D8 二、二、 多项选择多项选择题（本大题共题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 9.

5、 已知直线()()() 021:, 011: 2 2 2 1 =+=+yaaxalayxal若 21/l l，则a的可能值为 （ ） A1 B-1 C0 D-2 10.已知直线01=+ byax 与圆 1 22 =+ yx相切，则ba23 +的值可以为( ) A 23 B 22 C 10 D 13 11.如图所示，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，CDE 是正三角形，M 为线段DE的中点，点 N 为底面ABCD内的动点，则下列结论正确的是( ) A若BCDE时，平面CDE 平面ABCD B若BCDE时，直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为 10 4 C若直线BM和E

6、N异面时，点 N 不可为底面ABCD的中心 D若平面CDE 平面ABCD，且点 N 为底面ABCD的中心时，BM EN=. 12若a、b、Rc，且 1abbcca+=，则下列不等式成立的是（） A3 abc+ B() 2 3abc+ C 111 2 3 abc + D 222 1abc+ 三三、填空题、填空题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 13已知圆 x2+y2-2x+2y+a=0 截直线 x+y-4=0 所得弦的长度小于 6,则实数 a 的取值范围为 . 14.在数列an中,已知 a1=1,且对于任意的 m,nN*,都有 am+n=am+an

7、+mn,则数列an的通项公式 为 . 15.已知圆 M:(x-6)2+(y-6)2=16,点 A(8,4),过点 A 的动直线与圆 M 交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 N,O 为坐标原点,则OMN 面积的最大值为 . 16点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB1的中点，设A1MN 的面积为 S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 1 = ，1 = 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分解答应写出文字说明

8、、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在中，的平分线所在直线 的方程为，若点，. （1）求点关于直线 的对称点的坐标； （2）求边上的高所在的直线方程. 18. 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点 （1）求证：B1C平面 A1BD； （2）若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥 CAA1B 的体积 19.已知数列an中,a1=1,an0,前 n 项和为 Sn,若 an=+ -1(nN*,且 n2). (1)求数列an的通项公式; (2)记 cn=an 2,求数列cn的前 n 项和 Tn. AB

9、CCl2yx=()4,2A ()3,1B AlD AC A1 C1 B1 A B C D 20. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由形状为长方形的休闲区 A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 m2，人行道的宽分别为 4 m 和 10 m(如图所示) (1)设休闲区的长和宽的比|A1B1| |B1C1|x(x1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的 函数 S(x)的解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 21.如图，在四棱锥中PABCD中，,/ /,ABPC

10、 ADBC ADCD且 222 2,2PCBCADCDPA= (1)证明：以PA 平面ABCD (2)在线段PD上， 是否存在一点 M,使得二面角M ACD的大小为60？如果存在， 求 PM PD 的 值;如果不存在，请说明理由. 22.已知圆的方程为，直线 的方程为 ，点在直线 上，过点作圆 的切线，切点为 （1）若，试求点的坐标； （2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段 AB 的中点为 N，求点 N 的轨迹方程. M 22 (2)1xy+=l20 xy=PlP M,PA PB,A B 60APB= P ,A P M 江苏省如皋中学江苏省如皋中学 201920

11、20 学年度高一第二学期期末数学综合复习学年度高一第二学期期末数学综合复习四四 答案答案 1. D 2C. 3.C 4B 5C 6.D 7.D 8C 【解析】把 2 21 n n F =+代入() 2 log1 nn aF=） ，得 () 2 2 log21 12 n n n a =+ =， 故 () () 2 12 2 21 12 n n n S = ， 则 1 1 2111 42121 n nn nn S S + + = ， 则不等式 2 1 12231 222112 1 4212020 nn n nn S SS SS S + + += 成立， 代入计算可得，当不等式成立时n 的最小值为

12、9故选：C 9.ACD 10BCD 11.AC 12BD 13.(-15,2) 14.an=1+2+3+4+n=(+1) 2 . 15.12. 16点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB1的中点，设A1MN 的面积为 S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的 体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 1 = 7 12 ， 1 = 3 5 如图所示，延长 NM 交直线 C1C 于点 P，连接 PA1交 AC 于点 Q，连接 QM可得截 面为四边形 A1NMQ由 BB1 CC1， M 为 BC 的中点

13、， 可得PCMNBM 可得A1MN 的面积 S1= 1 2 1， 由 QCA1C1， 利用平行线的性质可得1 BMN 的面积与四边形 B1C1BC 面积的关系，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积与四棱锥 A1B1C1BC 的关系，而三棱锥 A1ABC 的体积= 2 3V，即可得出 1 来源:Zxxk.Com 如图所示，延长 NM 交直线 C1C 于点 P，连接 PA1交 AC 于点 Q，连接 QM平面 A1MN 截三棱 柱 ABCA1B1C1所得截面为四边形 A1NMQ BB1CC1，M 为 BC 的中点，则PCMNBM点 M 为 PN 的中点A1MN 的面积 S1= 1 21，QCA1C1，

14、 1 = 1 3 = 1， A1QM 的面积= 2 31， 1 = 3 5 BMN 的面积= 1 8 四边形11，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1= 7 8四棱锥111，而三棱锥 A1ABC 的体积= 2 3V， 1 = 7 8 2 3 = 7 12故答案为： 7 12， 3 5 17. 在中，的平分线所在直线 的方程为， 若点，. （1）求点关于直线 的对称点的坐标； （2）求边上的高所在的直线方程. 解： （1）设点关于 的对称点，则. （2）点在直线上，直线的方程为，因为在直线上， 所以，所以； ，所以边上的高所在的直线方程的方程为； （备注： 若学生发现， 进而指出边上的高即

15、为，边上的高所在的直线方程的 方程为也可以） ABCCl2yx=()4,2A ()3,1B AlD AC Al(),D m n 21 4 42 224 2 22 n m m nnm = = + = + = ()4, 2D DBCBC3100 xy+=C2yx= 31002 24 xyx yxy += = ()2,4C 1 3 AC k=AC3100 xy+= ACBCACBCAC 3100 xy+= 18.（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点 （1）求证：B1C平面 A1BD； （2）若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC

16、1，求三棱锥 C AA1B 的体积 【解析】（1）证明：连结 AB1交 A1B 于点 O. 三棱柱 ABCA1B1C1中， 11 AABB = ,四边形 AA1B1B 为平行四边形， O 为 AB1的中点，又AB1C 中，D 是 AC 的中点，ODB1C， 3 分 又 OD平面 A1BD，B1C平面 A1BD， B1C平面 A1BD. 6 分 （2）解：AC2，BC1，ACB60， AB2AC2+BC22ACBCcosACB3，得 3AB = AC2AB2+BC2，则 ABBC 又平面 AA1B1B平面 ABC，平面 AA1B1B平面 ABCAB，BC平面 ABC， BC平面 AA1B1B 8

17、 分 A1AB60，ABBB1AA1， 1 3AA = 1 11 1133 3 sin33, 2224 A AB SAB AAA AB= 10 分 11 113 33 1. 3344 CA ABA AB VSBC = = 12 分 19.已知数列an中,a1=1,an0,前 n 项和为 Sn,若 an=+ -1(nN*,且 n2). (1)求数列an的通项公式; (2)记 cn=an 2,求数列cn的前 n 项和 Tn. (1)在数列an中,an=Sn-Sn-1, 又有 an=+ -1 (nN*,且 n2),所以 an=Sn-Sn-1=(+ -1 )( -1 )=an( -1),所以 -1=1

18、, 所以数列是以1=1=1 为首项,公差为 1 的等差数列, 所以=1+(n-1)=n,即 Sn=n2. 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1=21-1=1 也满足上式,所以an的通项公式为 an=2n-1. (2)由(1)知 cn=an 2=(2n-1)22n-1,Tn=21+323+525+(2n-3)22n-3+(2n-1)22n-1, 4Tn=23+325+527+(2n-3)22n-1+(2n-1)22n+1. - -得-3Tn=21+223+225+227+222n-1-(2n-1)22n+1= 5-6 3 22n

19、+1- 10 3 ,即 Tn=6-5 9 22n+1+10 9 . A1 C1 B1 A B C D O A1 C1 B1 A B C D 20. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由形状为长方形的休闲区，公园由形状为长方形的休闲区 A1B1C1D1和人行道和人行道(阴影部分阴影部分)组成已知休闲区组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为的面积为 4 000 m2，人行道的宽分别为，人行道的宽分别为 4 m 和和 10 m(如图所示如图所示) (1)设休闲区的长和宽的比设休闲区的长和宽的比|A1B1| |B1C1|

20、x(x1)，求公园，求公园 ABCD 所占面积所占面积 S 关于关于 x 的函数的函数 S(x)的解析的解析 式；式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？的长和宽该如何设计？ 解：解：(1)设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m， 由 a2x4 000，得 a20 10 x . 则 S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)20 10 x 1608010 2 x 5 x 4 160(x1) (2)S(x)80 10 2 x 5 x 4 16080 1022 x 5 x4 1601 6004

21、 1605 760，当且 仅当 2 x 5 x，即 x 5 2时，等号成立，此时 a40，ax100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽应分别设计为 100 m,40 m. 21.如图，在四棱锥中PABCD中， ,/ /,ABPC ADBC ADCD且 222 2,2PCBCADCDPA= (1)证明：以PA 平面ABCD (2)在线段PD上， 是否存在一点 M,使得二面角M ACD的大小为 60？如果存在，求 PM PD 的值;如果不存在，请说明理由. 【答案】证明:在平面ABCD中,/ /ADBC,ADCD, 且222 2BCADCD=2,ABACABAC= 又A

22、BPC,ACPCC=AC 平面PAC,PC 平面PAC AB平面PAC 2,2 2,PAACPCPAAC= 又,PAAB ABACA=AB 平面ABCD,AC 平面ABCD, PA平面ABCD (2)解:在线段AD上取点 N,连接见MN, 使/ /MNPA 方法一：由（1)得PA 平面ABCD， MN平面ABCD. 又AC 平面ABCD，MNAC. 过点 N 作NOAC于点 O 又.MNNO N=,MN 平面MNO，NO 平面MNO AC 丄平面MNO.又MO 平面MNO,ACMO. 又,ACNOMON二面角MACD的平面角. 设 PM x PD =则()122MNx APx=, 22 22 ONANxADx= 二面角MACD的大小为60， 22 tantan603 MNx MON ONx = = 解得42 3x =，42 3 PM PD =， 满足要求的点 M 存在，且42 3 PM PD =. 22.已知圆的方程为，直线 的方程为 ，点在直线 上，