向量内积的定义及运算规律课件

1、定义,向量内积的定义及运算规律,1,学习交流PPT,2,学习交流PPT,定义,向量的长度具有下列性质：,向量的长度,3,学习交流PPT,4,学习交流PPT,定义,向量的夹角,5,学习交流PPT,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义,正交向量组的性质,6,学习交流PPT,施密特正交化方法,7,学习交流PPT,第一步正交化,8,学习交流PPT,第二步单位化,9,学习交流PPT,定义,正交矩阵与正交变换,方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,10,学习交流PPT,定义若为正交矩阵，则线性变换称为 正交变换

2、,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,11,学习交流PPT,定义,方阵的特征值和特征向量,12,学习交流PPT,13,学习交流PPT,有关特征值的一些结论,14,学习交流PPT,定理,定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,有关特征向量的一些结论,15,学习交流PPT,定义,矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性,相似矩阵,16,学习交流PPT,有关相似矩阵的性质,若与相似，则与的特征多项式 相同，从而与的特征值亦相同,17,学习交流PPT,(4)能对角化的充分必要条件是有个线 性无关的特征向量,(5)有 个互异的特征值，则 与对角

3、阵相似,18,学习交流PPT,实对称矩阵的相似矩阵,19,学习交流PPT,定义,二次型,20,学习交流PPT,二次型与它的矩阵是一一对应的,21,学习交流PPT,定义,二次型的标准形,22,学习交流PPT,化二次型为标准形,23,学习交流PPT,24,学习交流PPT,定义,正定二次型,25,学习交流PPT,惯性定理,26,学习交流PPT,注意,27,学习交流PPT,正定二次型的判定,28,学习交流PPT,29,学习交流PPT,一、证明所给矩阵为正交矩阵,典型例题,二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组,三、特征值与特征向量的求法,四、已知的特征值，求与 相关矩阵的特征值,30,学习交流PPT

4、,五、求方阵的特征多项式,六、关于特征值的其它问题,七、判断方阵可否对角化,八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,31,学习交流PPT,一、证明所给矩阵为正交矩阵,32,学习交流PPT,证明,33,学习交流PPT,34,学习交流PPT,将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化,二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组,35,学习交流PPT,解一先正交化，再单位化,36,学习交流PPT,37,学习交流PPT,38,学习交流PPT,解二同时进行正交化与单位化,39,学习交流PPT,40,学习交流PPT,41,学习交流PPT

5、,第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量,三、特征值与特征向量的求法,第一步计算的特征多项式；,第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部 特征值；,42,学习交流PPT,解第一步计算的特征多项式,43,学习交流PPT,第三步求出的全部特征向量,44,学习交流PPT,45,学习交流PPT,46,学习交流PPT,47,学习交流PPT,解,四、已知的特征值，求与相关 矩阵的特征值,48,学习交流PPT,49,学习交流PPT,50,学习交流PPT,解,五、求方阵的特征多项式,51,学习交流PPT,52,学习交流PPT,解,六、关于特征值的其它问题,53,学习交

6、流PPT,方法一,54,学习交流PPT,方法二,55,学习交流PPT,方法三,56,学习交流PPT,解,57,学习交流PPT,58,学习交流PPT,七、判断方阵可否对角化,解(1)可对角化的充分条件是有个互异的 特征值下面求出的所有特征值,59,学习交流PPT,60,学习交流PPT,61,学习交流PPT,62,学习交流PPT,解第一步求A的特征值由,八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,63,学习交流PPT,64,学习交流PPT,65,学习交流PPT,66,学习交流PPT,67,学习交流PPT,68,学习交流PPT,九、化二次型为标准形,解第一步将表成矩阵形式,69,学习交流PPT,70,学习交流PPT,71,学习交流PPT,72,学习交流PPT,解,73,学习交流PPT,74,学习交流PPT,75,学习交流PPT,第五章测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),76,学习交流PPT,77,学习交流PPT,二、计算题（共40分）,78,学习交流PPT,79,学习交流PPT,三、