chap-1第一章 行列式

1、第一章 行列式,1.1 全排列及其逆序数,2020/7/18,3,定义1 把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n个元素的一个全排列, 简称排列。,2020/7/18,4,标准次序：标号由小到大的排列. 例：123,定义2：在n个 元素的一个排列中，若某两个 元素排列的次序与标准次序不同，就称这两 个数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数.,2020/7/18,5,一个排列的逆序数的计算方法：从前往后,例 求排列 32514 的逆序数.,解：,2020/7/18,6,逆序数为奇数的排列称为奇排列.,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,例如： 123为偶排列，,312 为

2、偶排列.,321为奇排列，,1.2 行列式的定义,用消元法解二元线性方程组,例,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,2020/7/18,10,二阶行列式，记作,行标,列标,(1,2) 元素,一、 二阶行列式,2020/7/18,11,对角线法则：,2020/7/18,12,二元线性方程组,记,则有,2020/7/18,13,二、 三阶行列式,类似地，讨论三元线性方程组,2020/7/18,14,为三阶行列式, 记作,称数,2020/7/18,15,对角线法则：,2020/7/18,16,例：,三、n阶行列式的定义,（1）每项都是位于不同行不同列的n个元素 的乘积共n!项.,（2）每项的行标

3、为标准次序时，正负号都取 决于列标的逆序的奇偶性,n阶行列式的定义,说明,2020/7/18,重要结论：,(1),上三角形行列式,2020/7/18,24,(2),下三角形行列式,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,小 结,1.3 行列式的性质,2020/7/18,27,称 DT 为 D 的转置行列式。,定义：设,则,D 经过“行列互换”变为 DT,2020/7/18,28,性质1：行列式与它的转置行列式相等.,注意：由性质1可得行列式的所有性质对“列”也成立.,2020/7/18,29,性质2：互换行列式的两行 ，行列式变号.,推论

4、：若行列式有两行相同，则行列式为 0.,2020/7/18,30,性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行中所有元素，等于用数 k 乘此行列式.,推论：行列式中某一行的公因子可以提到行列式符号外面.,2020/7/18,31,性质4：若行列式有两行的元素对应成比例，则行列式等于0 .,2020/7/18,32,性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和.,（每次只能按照一行或者一列分拆）,2020/7/18,33,性质6：行列式的某一行的所有元素乘以同一数 k 后再加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.（造0）,（注意哪一行的数在变，哪一行的数没变.）,2020/7/

5、18,37,（1）互换两行或两列：,对调运算,（2）数k 乘某行或某列 行：,倍乘运算,(3)数 k 乘第 i行(列)加到第 j 行(列)上：,倍加运算,行列式变号,行列式扩大 倍,行列式值不变,行列式计算的方法之一：经过行（列）变换化为上 （下）三角形行列式.,2020/7/18,39,例 计算下列行列式,2020/7/18,40,2020/7/18,41,注：该例题也可通过列变换化成三角行列式。,2020/7/18,42,例 计算,2020/7/18,43,例,例,2020/7/18,47,拉普拉斯公式：,证明：,0,2020/7/18,49,（3）,1.4 行列式按行（列）展开,2020

6、/7/18,51,定义1：在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行,和第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做,的余子式, 记为,称为 (i, j)元素,的代数余子式.,(i, j) 元素, 同时,2020/7/18,52,例如：,考虑( 2, 3) 元素,( 2, 3)元素的余子式,( 2, 3)元素的代数余子式,2020/7/18,53,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,2020/7/18,54,行列式计算的方法之二:利用性质将行列式某行（某列）化为尽可能多的零元素，然后按该行（列）将行列式展开.,计算,划边使得代数余子式易于辨认,2020/

7、7/18,59,例 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式,2020/7/18,60,证明：用数学归纳法,(1) 当 n = 2 时,2020/7/18,61,(2) 设 n1 阶范德蒙德行列式成立, 则,2020/7/18,62,=,2020/7/18,63,有,个因子!,2020/7/18,64,例：,行列式计算的方法之三:递推法,证明,例 证明n阶行列式,解,2020/7/18,70,例,设,求,2020/7/18,71,解:,2020/7/18,72,总结:n阶行列式常用的计算方法,1.对二,三阶行列式按定义(对角线法则)直接计算. 2.对特殊的行列式,如上三角形行列式,其值为主对角线元素的乘积. 3