3-误差传播律

1、,偶然误差服从正态分布； 精度； 精度指标：方差（中误差）； 单个观测值: 方差、协方差 观测值向量： 方差-协方差阵、互协方差阵,设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中误差DX2 , X1 X2的协方差DX1X2 , Y1的方差DY1,观测值函数的中误差,X-独立观测值向量,设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中误差DX2 , X1 X2的协方差DX1X2 , Y1的方差DY1,第三章,协方差传播律及权,3.1 协方差的传播,一、 数学期望的特性 处理带有偶然误差的观测值时

2、，常用数学期望表示其真值。 数学期望的定义： 性质： 如果随机变量两两相互独立，,3.1 协方差的传播,二、 方差的特性 方差的定义： 性质：,设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中误差DX2 , X1 X2的协方差DX1X2 , Y1的方差DY1,二、观测值线性函数的方差,设有向量：,证明：设：,那么：,二、观测值线性函数的方差,那么：,-协方差传播律,误差传播律：在间接观测中，观测值必须由一个或一系列的其他直接观测值通过一定的函数关系间接计算出来，阐述观测值函数的中误差和观测值中误差的关系的公式成为误差传播律。,例1、设有：Y1=

3、4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求：Y1的方差DY1，Y2的方差DY2， Y1关于Y2的协方差DY1Y2 F=Y1+Y2的方差DFF 51cm2,例2、设三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1，L2，L3，其中误差为。 求：将三角形闭合差平均分配后的各角 的协方差阵。,二、观测值线性函数的协方差,设有向量：,证明：设：,那么：,二、观测值线性函数的方差,那么：,-协方差传播律,二、观测值线性函数的方差,协方差传播律,二、协方差传播律,例3 设随机向量,，其自协方差阵分别是,、,，互协方差阵是 。 今有函数,求： 解：,二、协方差传播律,例3 设随机向量,，其自协方差阵分

4、别是,、,，互协方差阵是 。 今有函数,求： 解：,二、协方差传播律,例4 如图，观测角 的中误差 协方差 . 若 无误差，求角 的中误差。,K,例5、如图，已知直线两端点数字化坐标的平差值为：A(x1,y1), B(x2,y2),其协方差阵为： 边长S1及S无误差。 试求：AB直线上，AP = S1处的P点坐标（x,y）及其 协方差阵。,例5、如图，已知直线两端点数字化坐标的平差值为：A(x1,y1), B(x2,y2),其协方差阵为： 边长S1及S无误差。 试求：AB直线上，AP = S1处的P点坐标（x,y）及其 协方差阵。,三、观测值非线性函数的方差,例1、已知随机向量 的自协方差阵是

5、: 求函数向量 的方差阵。,设有观测值向量X的非线性函数：,已知：,将Z=f(X)按Tailor级数在X0处展开：,非线性函数的线性化：,协方差传播律：,三、观测值非线性函数的方差,例1、已知随机向量 的自协方差阵是: 求函数向量 的方差阵。,例2、已知函数： L的中误差是。求x、y、z的方差和协方差。,协方差传播应用步骤:,根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 协方差传播律应用,3.2 协方差传播定律 在测量中的应用,例1、由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式） 设在三角网中独立等精度观测了各三角形之内角，中误差皆为。 设各三角形的闭合差为

6、W1、W2Wn。 设闭合差的中误差W。 求:测角中误差。,解： 因为闭合差是真误差，故由中误差定义可得闭合差的中误差是,应用误差传播定律有：,测角中误差是,其估值公式：,测量中：由三角形闭合差计算测角中误差的菲列罗公式。,三、协方差传播率的应用,2、算术平均值是最可靠的估值,在相同的观测条件下，对一个量进行多次观测，则所有观测值的算术均值为该量的最佳估值。,证明,说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。,例2、独立等精度观测一个量，其算术平均值的中误差 设一个量的n个独立等精度的观测值是L1、L2Ln，中误差均为；其算术平均值是 则算术平均值的精度为： 算术平均值的中误差为观测值的中误差的

7、倍,三、协方差传播率的应用,结 论,n增大，即观测次数增大，则均值的精度提高。 但，观测次数增加到一定的次数后（如10次），精度提高很慢。,结论：要提高均值的精度，不能简单的从无限制的增加观测次数达到目的。而是要采用适当的观测方法、适当的仪器和适当的观测次数等几个方面入手。,例3、水准测量的精度 A、B两点间进行水准测量，共设N站次. A、B两点间高差等于各站测量得到的高差之和: 求A、B点间高差的中误差 。,三、协方差传播率的应用,3、水准测量的精度,设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同, 其方差均为 , 则具有N个测站的水准路线的总高差为,应用协方差传播公式可得,在平坦地区的水准测量

8、中, 每公里的测站数大致相等, 因此, 每公里观测高差的方差相等, 设其均为 , 则S公里观测高差的方差和中误差分别为,水准测量高差的中误差 与水准距离、测站数的平方根成正比,结 论,例4、限差的确定 1、已知二等三角测量中的观测角中误差是 ，则三角形闭合差的限差： 2、已知用T2经纬仪观测每一个方向的中误差是 。两次照准零方向的观测值是L1和L2。归零差 ,其中误差是： 归零差d的限差是:,三、协方差传播率的应用,5、等精度观测数据的精度计算,第一公式,第二公式 （白塞尔公式）,条件：观测值真已知,条件：观测值真值未知，算术平均值L已知,其中 观测值改正数，,三、协方差传播率的应用,证明：,

9、两式相加，有,即,证：,设 则,三、协方差传播率的应用,将上列等式两端各自平方，并求其和，则,将 代入上式，则,故,（PQ）,又因,三、协方差传播率的应用,由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即,第二公式 （白塞尔公式）,三、协方差传播率的应用,6、等精度观测数据均值中误差,三、协方差传播率的应用,例6设用经纬仪测量某个角6测回，观测值列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。,算术平均值L中误差是：,独立等精度观测一个量，其算术平均值的中误差 水准测量高差的中误差,3.3 协因数的传播,一、权的定义,称pi为观测值Li的权。,例：设有三个观测值

10、,其中误差是,、,求各个观测值的权。6:3:2,（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。,（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。,权与方差成反比。,二、常用的定权方法,1、水准测量的权,或,水准测量中，高差的权与路线长或水准距离成反比,2、算术平均值的权,算术平均值的权是等精度观测值的权的n倍。 与观测次数成正比。,例1：对A角进行4次同精度独立观测，一次测角中误差为2.4秒。已知4次算术平均值的权为2.欲使A的权等于6，应观测几次？ 例：相同观测条件下观测两个角度：A=300000， B=300000。 若对A观测9个测回，其均值的权为1.则对B观测

11、16个测回的均值的权是多少？,（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。,（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。,权与方差成反比。,三、 的意义： 1、当 pi=1时， 2、当 时， pi=1 权为1的观测值Li 称 为单位权观测值。 Li的方差称为单位权方差 。,例3：某角以每测回中误差为 的精度测量了9次，其平均值的权为1。试求单位权中误差。 例4：水准路线长450米，其高差之权是4，若使得高差的权为1，路线长应当为多少？ 权是衡量精度的相对指标,三、 协因数与协因数阵,同理有：观测值向量 的协因数阵由：,特点： 对称可逆方阵,QXX-为协因数阵,四

12、、权阵,五、协因数传播律,因协因数阵和协方差阵的关系是：,协因数传播律,将协方差传播定律和协因数传播定律 合称为广义误差传播定律,协方差传播律,例1：已知独立观测值L1、L2、L3的协因数分别是16、4、25， 求函数 的协因数。 例2：已知 u的协因数为Qu =4， 求x、y、z的协因数和Qxy,例3、已知独立观测值Li(i=1n)的权均为p, 求:算术平均值的权。 例4、已知独立观测值Li(i=1n)的权为pi(i=1n) 求:加权平均值的权。,六、非等精度观测数据的精度估计,等精度观测数据的精度,非等精度观测数据，如何求？,通过加权化为等精度观测,六、非等精度观测值中误差计算,六、非等精

13、度观测数据的精度估计,六、非等精度观测数据的精度估计,非等精度观测数据中误差为：,非等精度观测数据单位权中误差计算公式,六、非等精度观测数据的精度估计,用改正数计算的非等精度观测数据的精度估计：,六、单位权中误差0,设有观测值向量： 其方差、权和单位权方差的关系： 因： 有,上式两边取矩阵的迹： 因为 所以 ， 估值公式,当观测值有t个时，用观测值改正数计算单位权中误差：,六、非等精度观测数据的精度估计,七、用双观测量之差求单位权中误差,观测数据的真误差一般是不知道的，测量时常对一系列观测量进行成对观测（双观测），形成双观测量，可以用双观测量求单位权中误差,水准测量往返测 像点坐标重复测量 G

14、PS重复测量 边长往返对测,用双观测量之差求取单位权中误差观测精度计算,例5、水准测量中，每段路线均进行往返测，得独立观测值对及其权 ： 求：1）观测值对差的权及单位权中误差 2）观测值的中误差 3）任意一对观测对均值的中误差,六、非等精度观测数据的精度估计,七、用双观测量之差求单位权中误差,由协因数传播律有： 观测值对差的权：,六、非等精度观测数据的精度估计,1）双观测量单位权中误差,六、非等精度观测数据的精度估计,2）双观测量列（每一组）单次观测值中误差,六、非等精度观测数据的精度估计,3）双观测量列（每一组）平均值中误差,六、非等精度观测数据的精度估计,例1：,3、举例,六、非等精度观测

15、数据的精度估计,3、举例,例2：,3.4 系统误差的传播,一、观测值的系统误差： 设有观测值L，其真值为 ，则观测值的综合误差为： 综合误差的数学期望： 是真值与观测值的数学期望之差，反映了观测值的数学期望对于真值的偏差愈小-准确度,当观测值中既存在偶然误差，又存在系统误差时，常常用观测值的综合误差的方差均方误差，来表征观测值的可靠性。 例：当系统误差为中误差的三分之一时 实际应用中，如果系统误差是偶然误差的三分之一或更小时，则可将系统误差的影响忽略，或说：偶然误差占主导地位。,二、系统误差传播,当观测值只存在有系统误差时，其函数也将产生系统误差，称之为系统误差的传播。,三、系统误差和偶然误差的联合传播,当独立观测值中，同时含有偶然误差和系统误差时，,吗,例：在用钢尺量