同济大学高等数学第六版第三节齐次方程课件

1、,第三节,一、齐次方程,*二、可化为齐次方程,第七章,(homogeneous equation),1,学习交流PPT,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,可分离变量的方程,2,学习交流PPT,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),3,学习交流PPT,例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y

2、= x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,4,学习交流PPT,例 1 求解微分方程,例 2 求解微分方程,例 3 求解微分方程,5,学习交流PPT,例 4 求解微分方程,微分方程的解为,解,6,学习交流PPT,例 5 求解微分方程,解,7,学习交流PPT,微分方程的解为,8,学习交流PPT,可得 OMA = OAM = ,例3. 在制造探照灯反射镜面时,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成 .,过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM,要求点光源

3、的光线反,射出去有良好的方向性 ,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程 :,9,学习交流PPT,利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),10,学习交流PPT,顶到底的距离为 h ,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,11,学习交流PPT,( h, k 为待,*二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),12,学习交流PPT,求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注: 上述方法

4、可适用于下述更一般的方程,13,学习交流PPT,例4. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,积分得,代回原变量, 得原方程的通解:,14,学习交流PPT,得 C = 1 ,故所求特解为,思考: 若方程改为,如何求解?,提示:,15,学习交流PPT,解,代入原方程得,16,学习交流PPT,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,17,学习交流PPT,例 求解微分方程,解,令,再令,两边积分后得,变量还原得,18,学习交流PPT,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,19,学习交流PPT,通解为,解,20,学习交流PPT,三、小结,齐次方程,齐次方程的解法,可化为

5、齐次方程的方程,作业 P309 1；2; 3;,21,学习交流PPT,【k次齐次函数和k次齐次方程的概念】,若对于任意的(x,y,z)和任意的实数t,总有 f(tx,ty,tz)=(tk)f(x,y,z)，则称函数f(x,y,z)为k次齐次函数。 称方程f(x,y,z)=0为k次齐次方程。,若f(x,y)为0次齐次函数，则称 y=f(x,y)是一阶齐次型方程。,对于代数线性方程au+bv+c=0,称a，b为系数，c为自由项。设f(u,v)=au+bv+c, 那么当c=0时，f(tu,tv)=tf(u,v)，称au+bv=0是齐次方程； 当c0时，f(tu,tv)tf(u,v)，称au+bv+c=0是“非”齐次方程。,补充：,22,学习交流PPT,当我们把：a(x),b(x)称为系数，把c(x)称为自由项， 那么f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的， 当c(x)=0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v关于u,v线性的，齐次的。 当c(x)0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的,非齐次的。,把u换成y，v换成y，就得到f(y,y)=a(x)y+b(x)y+c(x)关于 y,y线性的，a(x)y+b(x)y+c(x)=0 是关于y,y的线性方程， 再沿用前面的齐次和非齐次的概念 ：当c(x)=0时，a(