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文档简介

1、二、 立体的体积,第二节,一、 平面图形的面积,三、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1、直角坐标情形,2、极坐标情形,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1、直角坐标系情形,例1,解：,例2,解：,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,例3,解：,当 a = b 时得圆面积公式,例4 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2、极坐标系情形,由对称性知,例5,解:,总面积等于第一象限部分面积的四倍.,利用对称性知,例6,解:,例7,解:,二、

2、立体的体积,1、旋转体体积计算方法,2、平行截面面积为已知的立体体积,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体体积计算方法,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体. 直线叫做旋转轴.,旋转体的体积为,例8,解：,例9,解：,于是旋转椭球体的体积为,例10,解：,例11,解：,体积元素为,例12,解：,2、平行截面面积为已知的立体体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上 垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的 体积也可用定积分来计算.,例13,解：,例14,解：,三、平面曲线的弧长,1、平面曲线弧长的概念,2、平面曲线弧长的计算,1、平面曲线弧长的概念,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,2、平面曲线弧长的计算,(1). 直角坐标情形,所求弧长为,例15,解:,(2). 参数方程情形,例16,解:,弧长元素为,从而,所求弧长,例17,解:,(3). 极坐标方程情形,例18,解:,例19,解:,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小

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