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文档简介

1、线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的,映射,一、线性变换的概念,变换的概念是函数概念的推广,证明,设,则有,例定义在闭区间上的全体连续函数组成实数 域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换 是一个线性变换.,故命题得证.,证明,则有,设,例线性空间 中的恒等变换（或称单位变换） ： 是线性变换,所以恒等变换 是线性变换,二、线性变换的性质,证明,从而,由于,故它是 的子空间,三、小结,要证一个变换 是线性变换，必须证 保持 加法和数量乘法，即,若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保 持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可,2 线性变换的矩阵表示,扬州大学数学科

2、学学院,一、线性变换的矩阵表示式,二、线性变换在给定基下的矩阵,定义设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为,其中,那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵,结论,此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵,同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？,三、线性变换在不同基下的矩阵,上面的例子表明,于是,证明,因为 线性无关，,所以,证毕.,定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵,定义 设 A 、B 都是 n 阶方阵，若有可逆方阵 P，使,则称 B 是 A 的相似矩阵。或者说矩阵 A 与B 相似。 对A进行运算 P1AP 称为对 A 进行相似变换。可 逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换阵。,例,解,解由条件知,给定了线性空间 的一组基以后， 中的线 性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在 线性代数中，可以用矩阵来研究变

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