第2章 正投影法.ppt

1、第2章 正投影法,正投影、三视图,2.1 投影法的基本知识,2.1.1 投影法概念,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,1.中心投影法,投射线,投射中心,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,投射线均从一点发出的投影法称为中心投影法。 发出投射线的点即是投射中心。,机械专业一般不用此方法绘图。,立体感强在建筑设计领域通常用中心投影法绘 制建筑物的透视图。,投影特性,度量性差投影的大小随着物体位置的改变而变化。,2.平行投影法,投射线相互平行的投影法称为平行投影法。,投影面,投影面,能准确、完整地表达出形体的形状

2、和结构，且作图 简便，度量性较好，故广泛用于工程图。,投影特性,立体感较差。,2.1.2 正投影的基本性质:,1) 真实性,当一线段与投影面平行时，其正投影反映该线段的实际长度。 当一平面图形与投影面平行时，其正投影反映该平面图形的实际形状。,a b,2) 积聚性,当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一点 当一平面图形与投影面垂直时其正投影积聚为一直线。,3) 类似性,当一线段与投影面成倾斜时，其正投影缩短 当一平面图形与投影面成倾斜时，其正投影为缩小的类似图形。,多面正投影体系的建立和投影规律,一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体

3、的形状和结构。,1、三面投影体系及三视图的形成,工程上为了准确表达物体的形状采用的是多面正投影图，三视图则是准确表达形体的一种基本方法。,设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.184)规定：采用第一角投影法,三面投影体系,第一分角,三视图的形成,直观图,展开投影面,规定 : V面保持不动，H面向下向后绕OX轴旋转900，W 面向右向后绕OZ轴旋转900。,展开后的三视图,三视图,主视图 实体的正面投影,俯视图 实体的水平投影,左视图 实体的侧面投影,视图就是将物体向投影面投射所得的图形。,在三投影面体系中摆放形体时，应使形体的多数表面(或主

4、要表面)平行或垂直于投影面(即形体正放)。,形体在三投影面体系中的位置一经选定，在投影过程中不能移动或变更。,要注意：, 在H和W面的转换中Y轴分成两条，记做Yh和Yw。,2.三视图的对应影规律三视图间的位置关系,直观图,位置关系, 俯视图(H面)在主视图(V面)的正下方；, 左视图(W面)在主视图(V面)的正右方. 这种位置关系，在一般情况下是不允许变动的。,三视图间的对应关系:, V面、H面（主、俯视图）长对正。, V面、W面（主、左视图）高平齐。, H面、W面（俯、左视图）宽相等。,直观图,总体三等,局部三等,形体与视图的方位关系:, V面(主视图)反映了形体的上、下、左、右方位关系；,

5、 H面(俯视图)反映了形体的左、右、前、后方位关系；, W面(左视图)反映了形体的上、下、前、后位置关系。,直观图,三视图的方位关系,3、三视图的绘制,将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂 直，进而确定主视图的投影方向,整体和局部都要符合三视图的投影规律,可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘 制，当虚线与实线重合时画实线,特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系,线型,例1 由物体的立体图画三视图,虚线 要画,例2 画三视图,要注意宽相等,点、直线、平面是构成形体的基本几何元素,B,C,D,A,22 点的投影,2.2.1 点在一个投影面上的投影, 采用多面投影。,过空间点

6、A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。,解决办法,2.2.1 点在两投影面体系中的投影,1.两投影面体系,V,X,O,水平投影面 H 正立投影面 V 投 影 轴 OX,二个投影面互相垂直,2.点的两面投影,A点的水平投影 a A点的垂直投影 a,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置。,点的两面投影是将空间点向两个投影面作正投影后，将两个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90度。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在两个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。,3. 点的两面投影规律,1）点的正面投

7、影和水平投影的连线垂直于OX轴,2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。,点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的距离.,2.2.2 点在三投影面体系中的投影,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,1、 三投影面体系,2. 点的三面投影,空间点A； a 点A的水平(H)投影; a 点A的正面(V)投影; a 点A的侧面(W)投影。,空间点的位置，可由直

8、角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。,点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z 。,投影面展开,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a,a,H面向下旋转90,H,W面向右旋转90,V面不动,3. 点的三面投影规律,aaOX轴; aaOZ轴; a到OX轴的距离= a到OZ轴的距离, Aa=aax= a az=ay0=yAA点到V面的距离, Aa =aax= a ay=az0=zAA点到H面的距离, Aa=aay= a az=ax0=xAA点到W面的距离,X,V,Y,O,W,Z,a,a,a,H,点的投影规律 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等

9、于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的投影时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即aa0X ；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a a 0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。,点的三面投影和坐标的关系为： 水平投影 a 反映A点X和Y的坐标； 正面投影 a反映A点X和Z的坐标； 侧面投影a反映A点Y和Z的坐标。,2.2.3 点的投影与该点直角坐标之间的关系,点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来

10、确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。,例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的 三面投影图。,作投影轴；,量取： Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点 ；,步骤:,过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a、a既为所求。,例2：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,通过作45线使a

11、az=aax,用圆规直接量取aaz=aax,2.2.4 特殊位置点的空间位置,点在投影体系中有四种位置情况：,1. 在空间（X，Y，Z）,X,V,Y,O,W,Z,H,由于X，Y，Z均不为零，对三个投影面都有一定距离，所以点的三个投影都不在轴上。其余位置的空间点为特殊位置点。,由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。,2. 在投影面上： 在H面上（X，Y，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,在V面上（X，0，Z）,在W面上（0，Y，Z）,4、与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,3、投影轴上的点 点的两

12、个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。,d,d,e,e,f,f,e,f,d,x,YW,YH,0,d,a,a,a,2.2.5 两点的相对位置,1. 两点的相对位置 指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。, x 坐标大的在左；, y 坐标大的在前；, z 坐标大的在上。,判断方法：,B点在A点的 左、下、前方。,例题 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，

13、可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。,重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。,* 2. 重影点：,( ),H面重影，被挡住的投影加( ),当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投 射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点 称为对该投影面的重影点。,重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的

14、投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,2.3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 真实性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性,2.3.1 直线的投影特征,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 abAB 类似性,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,直线投影的基本特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,2.3.2 直线

15、对投影面的相对位置及其投影特性,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实际大小，且与三根投影轴都倾斜。,投影特性：,1、一般位置直线,一般位置直线的投影特性：,（1）三个投影都倾斜于投影轴，三个投影长度均小于实长； （2）三个投影与各投影轴的夹角不反映直线对投影面的真实倾角。,2、投影面平行线,投影特性： 1. ab/OX，ab/OY 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小,1)水平线,2)正平线,投影特性： 1. ab/OX ， ab/OZ 2. ab=AB 3. 反映、角的真实大小,3)侧平线,投影特性： 1.ab/OZ ， ab/OY 2.ab=AB 3.

16、反映 、 角的真实大小,1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角。,2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,投 影 特 性：,3、投影面垂直线,投影特性： 1. a b 积聚 成一点 2. abOX；a b OY 3. ab = ab =AB,1)铅垂线,2)正垂线,投影特性： 1. ab 积聚 成一点 2. ab OX；ab OZ 3. ab = ab =AB,3)侧垂线,投影特性： 1. ab 积聚 成一点 2. ab OY；ab OZ 3. ab = ab =AB,2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。 且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的投影面

17、上，投影有积聚性。,投影特性:,2.3.3 直线上的点, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。 若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性： AC/CB=ac/cb= ac/cb,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法：,V,H,在,不在,直线上的点具有两个特性： 1.从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2.定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb =

18、 ac : c b,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,a,b,k,a,b,k,应用定比定理,另一判断法是,因ak:kb ak:kb 故点K不在AB上。,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,2.3.4 直线的相对位置,（一） 平行两直线,（二）相交两直线,（三） 交叉两直线,异面直线,两直线相对位置的投影规律,两直线相对位置的判别方法,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,平行两直线,

19、判断图中两条直线是否平行。,a,b,c,d,c,a,b,d,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,判断图中两条直线是否平行。,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线（投影面平行线），只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,1.求出侧面投影,计算出ab：cd ab：cd可知：,2.利用定比性,AB与CD不平行。,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,相交两直线,相交两直线的投影特性：,（1）相交两直线的各投影

20、面相交，且交点的投影符合点的投影规律。,（2）交点分直线长度之比与投影的交点分投影长度之比相等,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2 ),3(4 ),3. 交叉两直线, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,1、2是面的重影点， 3、4是H面的重影点。,AB与CD两直线相交吗,投影特性：,结论：AB与CD两直线不相交,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见

21、点的投影加括号表示。,例题 判断两直线重影点的可见性,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,e,e,e,e,c,c,例 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直 线CE的两面投影。,小 结,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。

22、点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有

23、点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。,直角定理,2.4 平面的投影,不在同一 直线上的 三个点,直线及线 外一点,两平行 直线,两相交 直线,平面图形,1、用几何元素表示平面,2.4.1 平面的表示方法,2、平面的迹线表示法,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性

24、,2.4.2 平面的投影特性,2.平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小,铅垂面,1）投影面垂直面,投影特性：1、 abc 积聚为一条线 2 、 abc、abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小,正垂面,投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 a

25、bc为 ABC的类似形 3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小,侧垂面,ABC为什么位置的平面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,积聚性,2）投影面平行面,投影特性： 1、 abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 2 、 水平投影abc反映 ABC实形,水平面,投影特性： 1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 2 、正平面投影abc反映 ABC实形,正平面,投影特性： 1、 abc 、 abc 积聚为一条线

26、，具有积聚性 2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形,侧平面,积聚性,积聚性,实形性,结论：水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,3）一般位置平面,投影特性 1 、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2 、不反映、 的真实角度,2.4.3 平面上的点和直线,1、平面上取任意直线,有无数解。,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,根据定理一,有多少解,根据定理二,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离

27、为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解,2、平面上点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,面上取点的方法：,例2：已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2、平面上投影面平行线,一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。,PV,PH,属于平面的水平线和正平线,例1： 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平

28、面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,例题2：已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,2.4.4 圆的投影,圆的投影特性：,1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；,2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；,3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；,一、平行问题 直线与平面平行,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,直线与平面平行,平面与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,：过M点作直线MN平行于平

29、面ABC。,有无数解,例1,正平线,：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,例2,例3 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。, 两平面平行,例题1 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,（1）求交点、交线 （2）判别投影的可见性,我们只讨论直线与平面中

30、至少有一个处于特殊位置的情况。, 求交点并判别可见性,交点的性质： 1. 是直线与平面的公有点; 2. 是可见与不可见的分界点。,1、直线与平面相交,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积

31、聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法, 求交线并判别可见性,1. 交线是两平面的公有线。（凡两平面的公有点都在交线上）,2. 交线的投影是直线，可由其上两个（公有）点的投影确定。,3. 求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）。,2、平面与平面相交,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,如何判