高考数学专题复习练习第五章第五节数列的综合应用课下练兵场

1、第五章第五章 第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 (题号题号) 中等题中等题 (题号题号) 稍难题稍难题 (题号题号) 等差、等比数等差、等比数 列的综合问题列的综合问题 1、26、811 数列在实际问数列在实际问 题中的应用题中的应用 45、9、1012 数列与解析几何、数列与解析几何、 不等式的综合应用不等式的综合应用 37 一、选择题一、选择题 1.已知已知 a，b R ， ，A 为为 a，b 的等差中项，正数的等差中项，正数 G 为为 a，b 的等比中项，则的等比中项，则 ab 与与

2、 AG 的大 小关系是 的大 小关系是 () A.abAGB.abAG C.abAG D.不能确定不能确定 解析：解析：依题意 A，G， a b 2 ab AGabab a b 2 ab ()ab a b 2 ab 0，ab (r(a)r(b)2 2 AGab. 答案：答案：C 2.等差数列等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，S918，S1352，等比数列，等比数列bn中，中，b5a5，b7a7， 则 ， 则 b15的值为的值为 () A.64 B.64 C.128 D.128 解析：解析：因为 S9 (a1a9)9a518，S13(a1a13)13a752，所以 a52， 9 2

3、13 2 a74，又 b5a5，b7a7，所以 q22，b15b7q841664. 答案：答案：B 3.在直角坐标系中，在直角坐标系中，O 是坐标原点，是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若是第一象限的两个点，若 1， x1，x2,4 依次成等差数列，而依次成等差数列，而 1，y1，y2,8 依次成等比数列，则依次成等比数列，则OP1P2的面积是的面积是 () A.1 B.2 C.3 D.4 解析：解析：根据等差、等比数列的性质， 可知 x12，x23，y12，y24. P1(2,2)，P2(3,4).SOP1P21. 答案：答案：A 4.(2010黄冈模拟)

4、据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟 通过的路程为 据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟 通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程增加，以后每秒钟通过的路程增加 2 km，在到达离地面，在到达离地面 240 km 的高度 时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 的高度 时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 () A.10 秒钟秒钟 B.13 秒钟秒钟 C.15 秒钟秒钟 D.20 秒钟秒钟 解析：解析：设每一秒钟通过的路程依次为 a1，a2，a3，an，则数列an是首项 a12，公差 d2 的等差数列，由求和公式有 na1240

5、，即 2nn(n1)240，解得 n n(n1)d 2 15. 答案：答案：C 5.某人为了观看某人为了观看 2010 年南非足球世界杯，从年南非足球世界杯，从 2006 年起，每年的年起，每年的 5 月月 1 日到银行存入日到银行存入 a 元 的定期储蓄，若年利率为 元 的定期储蓄，若年利率为 p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新 的一年的定期，到 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新 的一年的定期，到 2010 年的年的 5 月月 1 日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元元)的 总数为 的 总数为 () A.a(1

6、p)4 B.a(1p)5 C. (1p)4(1p) D. (1p)5(1p) a p a p 解析：解析：依题意，可取出钱的总数为 a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p) a (1p)5(1p). (1p)1(1 p)4 1(1 p) a p 答案：答案：D 6.(2009湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：比如： 他们研究过图他们研究过图 1 中的中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形 数；类似地，称图数；类似地，称图 2 中的中的 1,4

7、,9,16，这样的数为正方形数，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是 正方形数的是 下列数中既是三角形数又是 正方形数的是 () A.289 B.1024 C.1225 D.1378 解析：解析：根据图形的规律可知第 n 个三角形数为 an，第 n 个正方形数为 bnn2. n(n1) 2 由此可排除 D(1 378 不是平方数).将 A、B、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知， 符合题意的是 C 选项. 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 7.已知函数已知函数 f(x)abx的图象过点的图象过点 A(2， )，B(3,1)，若记，若记 anlog2f(n)(nN*)，Sn是数列

8、是数列 1 2 an的前的前 n 项和，则项和，则 Sn的最小值是的最小值是. 解析：解析：将 A、B 两点坐标代入 f(x)得 2 1 1 8 ,2 12 a ab abb 解得 f(x) 2x， 1 8 f(n) 2n2n3， 1 8 anlog2f(n)n3. 令 an0，即 n30，n3. 数列前 3 项小于或等于零，故 S3或 S2最小. S3a1a2a32(1)03. 答案：答案：3 8.如图，它满足：如图，它满足：(1)第第 n 行首尾两数均为行首尾两数均为 n；(2)图中的递推关系类似杨辉三图中的递推关系类似杨辉三 角，则第角，则第 n(n2)行的第行的第 2 个数是个数是.

9、解析：解析：设第 n(n2)行的第 2 个数构成数列an，则有 a3a22，a4a33， a5a44，anan1n1， 相加得 ana223(n1)(n2) 2n 1 2 (n 1)(n2) 2 an2. (n1)(n 2) 2 n2n2 2 答案：答案：n 2 n2 2 9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第 1 名得全部资金的一半多一万元，第二 名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第 名得全部资金的一半多一万元，第二 名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第 10 名恰好资 金分完，则此科研

10、单位共拿出万元资金进行奖励 名恰好资 金分完，则此科研单位共拿出万元资金进行奖励. 解析：解析：设第 10 名到第 1 名得的奖金数分别是 a1，a2，a10，则 an Sn1，则 a1 1 2 2， anan1 an，即 an2an1，因此每人得的奖金额组成以 2 为首项，以 2 为公比 1 2 的等比数列，所以 S102046. 2(1 210) 1 2 答案：答案：2046 三、解答题三、解答题 10.某公司按现有能力，每月收入为某公司按现有能力，每月收入为 70 万元，公司分析部门测算，若不进行改革，经济危 机后因竞争加剧收入将逐月减少 万元，公司分析部门测算，若不进行改革，经济危 机

11、后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得经济危机第一个月收入将减少分析测算得经济危机第一个月收入将减少 3 万元，以 后逐月多减少 万元，以 后逐月多减少 2 万元，如果进行改革，即投入技术改造万元，如果进行改革，即投入技术改造 300 万元，且经济危机后每月 再投入 万元，且经济危机后每月 再投入 1 万元进行员工培训，则测算得自经济危机后第一个月起累计收入万元进行员工培训，则测算得自经济危机后第一个月起累计收入 Tn与时间与时间 n(以月为单位以月为单位)的关系为的关系为 Tnanb，且经济危机第一个月时收入为，且经济危机第一个月时收入为 90 万元，第二个月 时累计收入为 万元，第二个月

12、时累计收入为 170 万元，问经济危机后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于 不改革时的累计纯收入 万元，问经济危机后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于 不改革时的累计纯收入. 解：解：则该公司经济危机后经过 n 个月，改革后的累计纯收入为 Tn300n，不改革时 的累计纯收入为 70n3n2， n(n1) 2 9080 . 170210 aba abb 又 由题意建立不等式 80n10300n70n3nn(n1)， 即 n211n2900，得 n12.4. nN*，取 n13. 则经济危机后经过 13 个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入. 11.已知等差数列已知

13、等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，公差，公差 d0，a11，且，且 a1，a2，a7成等比数列成等比数列. (1)求数列求数列an的前的前 n 项和项和 Sn； (2)设设 bn，数列，数列bn的前的前 n 项和为项和为 Tn，求证：，求证：2Tn9bn 1 18(n 2Sn 2n 1 64bn (n9)bn 1 1). 解：解：(1)a1，a2，a7成等比数列， a a1a7，即(a1d)2a1(a16d)， 2 2 又 a11，d0，d4. Snna1dn2n(n1)2n2n. n(n1) 2 (2)证明：由(1)知 bn2n， 2Sn 2n 1 2n(2n1) 2n 1 bn

14、是首项为 2，公差为 2 的等差数列， Tnn2n， n(22n) 2 2Tn9bn1182n22n18(n1)18 2n216n362(n28n16)42(n4)244，当且仅当 n4 时取等号. 4. 64bn (n9)bn 1 64 2n (n9) 2(n 1) 64n n210n9 64 n9 n 10 64 6 10 当且仅当 n ，即 n3 时取等号. 9 n 又中等号不能同时取到， 2Tn9bn118(n1). 64bn (n9)bn 1 12.某一电视频道在一天内有某一电视频道在一天内有 x 次插播广告的时段， 一共播放了次插播广告的时段， 一共播放了 y 条广告， 第条广告，

15、 第 1 次播放了次播放了 1 条和余下的条和余下的 y1 条的 ，第条的 ，第 2 次播放了次播放了 2 条以及余下的 ，第条以及余下的 ，第 3 次播放了次播放了 3 条以及余下条以及余下 1 8 1 8 的 ，以后每次按此规律插播广告，在第的 ，以后每次按此规律插播广告，在第 x 次播放了余下的次播放了余下的 x 条条(x1). 1 8 (1)设第设第 k 次播放后余下次播放后余下 ak条，这里条，这里 a0y，ax0，求，求 ak与与 ak 1的递推关系式； 的递推关系式； (2)求这家电视台这一天内播放广告的时段求这家电视台这一天内播放广告的时段 x 与广告的条数与广告的条数 y. 解：解：(1)依题意，第 k 次播放了 k (ak1k) ak1 k， 1 8 1 8 7 8 akak1( ak1 k). 1 8 7 8 ak1k ak， 8 7 即 ak与 ak1的递推关系式为