高三数学总复习学案17

1、第四章三角函数与三角恒等变换第四章三角函数与三角恒等变换 学案学案 17任意角的三角函数任意角的三角函数 导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理 解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 自主梳理 1任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图 形旋转开始时的射线 OA 叫做角的_，射线的端点 O 叫做角的_，旋转终 止位置的射线 OB 叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按 _时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个 _角 (1)象限角 使角的顶点与

2、原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就 说这个角是_角 (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角表示为_； 终边在 y 轴上的角表示为_； 终边落在坐标轴上的角可表示为_ (3)终边相同的角 所有与角 终边相同的角， 连同角 在内， 可构成一个集合_或 _，前者 用角度制表示，后者 用弧度制表示 (4)弧度制 把长度等于_长的弧所对的_叫 1 弧度的角 以弧度作为单位来度量角 的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写 (5)度与弧度的换算关系 360_ rad；180_ rad；1_ rad； 1 rad_57.30. (6)弧

3、长公式与扇形面积公式 l_，即弧长等于_ S扇_. 2三角函数的定义 任意角的三角函数定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 _叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y；_叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x；_叫做 的正切，记作 tan ，即 tan (x0) y x (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切， 四余弦 (2)三角函数线 下 图 中 有 向 线 段 MP，OM，AT 分 别 表 示 _ ， _ 和 _ 自我检测 1“ ”是“cos 2 ”的 （ ） 6 1 2 A充分而不必要条件

4、 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2.(2011济宁模拟)点 P(tan 2 009，cos 2 009)位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3(2010山东青岛高三教学质量检测)已知 sin 0，则角 是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4已知角 的终边上一点的坐标为，则角 的最小正值为 () (sin 2 3 ，cos 2 3) A. B. C. D. 5 6 2 3 5 3 11 6 探究点一角的概念 例 1 (1)如果角 是第三象限角，那么， 角的终边落在第几象限； (2)写出终边落在直线 yx 上的

5、角的集合；3 (3)若 168k360 (kZ)，求在0，360)内终边与 角的终边相同的角 3 变式迁移 1若 是第二象限的角，试分别确定 2， 的终边所在位置 2 探究点二弧长与扇形面积 例 2 (2011金华模拟)已知一个扇形的圆心角是 ，00)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 变式迁移 2(1)已知扇形的周长为 10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数； (2)已知扇形的周长为 40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最 大面积是多少？ 探究点三三角函数的定义 例 3 已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值 变式迁移 3已知角 的

6、终边经过点 P(4a,3a) (a0)，求 sin ，cos ，tan 的值 1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯象限角的判 断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基 础 2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到 实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1 (2011宣城模拟)点 P 从(1,0)出发， 沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动弧长到达 Q， 2 3 则 Q 的坐标为 （ ） A( ，) B(， ) 1 2 3

7、2 3 2 1 2 C( ，) D(， ) 1 2 3 2 3 2 1 2 2若 0x 和 cos x 同时成立的 x 的取值范围是 () 1 2 1 2 A. x B. x 3 2 3 5 6 C. x D. x 6 5 6 3 2 3 3已知 为第三象限的角，则 所在的象限是 () 2 A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限 4若 1 弧度的圆心角所对弦长等于 2，则这个圆心角所对的弧长等于 () Asin B. 1 2 6 C. D2sin 1 sin 1 2 1 2 5已知 且 sin cos a，其中 a(0,1)，则关于 tan 的值，以下四个答 (

8、 2， 2) 案中，可能正确的是 () A3 B3 或1 3 C D3 或 1 3 1 3 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6已知点 P(sin cos ，tan )在第一象限，且 0,2，则 的取值范围是 _ 7(2011龙岩模拟)已知点 P落在角 的终边上，且 0,2)，则 的 (sin 3 4 ，cos 3 4) 值为_ 8阅读下列命题： 若点 P(a,2a) (a0)为角 终边上一点，则 sin ； 2 5 5 同时满足 sin ，cos 的角有且只有一个； 1 2 3 2 设 tan 且 0 ( 为象限角)，则 在第一象限其中正确命题为 _(将正确命

9、题的序号填在横线上) 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为 6， (1)求的弧长；AB (2)求弓形 OAB 的面积 10 (12 分)在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围， 并由此写出角 的集合 ： (1)sin ； 3 2 (2)cos . 1 2 11 (14 分)(2011舟山月考)已知角 终边经过点 P(x， ) (x0)， 且 cos x.求 sin 2 3 6 的值 1 tan 答案答案 自主梳理 1始边顶点终边逆顺零(1)第几象限 (2)|k，kZ(3)|k360， |k 2，k Z | k 2 ，k Z kZ|2k

10、，kZ(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2 180 (6)|r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 lr |r22.yx ( 180 ) 1 2 1 2 (2) 的正弦线 的余弦线 的正切线 y x 自我检测 1A2.D3.C4.D 课堂活动区 例 1 解题导引(1)一般地，角 与 终边关于 x 轴对称；角 与 终边关于 y 轴对称；角 与 终边关于原点对称 (2)利用终边相同的角的集合 S|2k，kZ判断一个角 所在的象限时，只 需把这个角写成0,2)范围内的一角 与 2 的整数倍，然后判断角 的象限 (3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边

11、相同的所有角的集合，然后通过对集合参数 k 赋值来求得所需角 解(1)2k2k (kZ)， 3 2 2k2k(kZ)， 3 2 即 2k2k (kZ) 2 角终边在第二象限 又由各边都加上 ，得2k22k (kZ) 3 2 是第四象限角 同理可知， 是第一象限角 (2)在(0，)内终边在直线 yx 上的角是 ，3 3 终边在直线 yx 上的角的集合为3 . | 3k，k Z (3)168k360 (kZ)， 56k120 (kZ) 3 056k120360， k0,1,2 时， 0，360) 3 故在0，360)内终边与 角的终边相同的角是 56，176，296. 3 变式迁移 1解 是第二象

12、限的角， k36090k360180 (kZ) (1)2k36018022k360360 (kZ)， 2 的终边在第三或第四象限，或角的终边在 y 轴的非正半轴上 (2)k18045 k18090 (kZ)， 2 当 k2n (nZ)时， n36045 n36090； 2 当 k2n1 (nZ)时， n360225 2，舍去， . 1 2 (2)扇形的周长为 40，即 R2R40， S lR R2 R2R 2100. 1 2 1 2 1 4 1 4( R2R 2 ) 当且仅当 R2R，即 R10，2 时扇形面积取得最大值，最大值为 100. 例 3 解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置

13、有关，当终边确定时三角 函数值就相应确定了但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函 数值有两组，要分别求解 解角 的终边在直线 3x4y0 上， 在角 的终边上任取一点 P(4t，3t) (t0)， 则 x4t，y3t， r5|t|，x2y24t23t2 当 t0 时，r5t， sin ， y r 3t 5t 3 5 cos ， x r 4t 5t 4 5 tan ； y x 3t 4t 3 4 当 t0 时，sin ，cos ，tan ； 3 5 4 5 3 4 t0，则 r5a， 角在第二象限， sin ， y r 3a 5a 3 5 cos ， x r 4a 5a 4

14、 5 tan . y x 3a 4a 3 4 若 a0，则 r5a， 角在第四象限， sin ，cos ， y r 3a 5a 3 5 x r 4a 5a 4 5 tan . y x 3a 4a 3 4 课后练习区 1A2.B3.D4.C5.C 6. ( 4， 2) (， 5 4) 解析由已知得Error! 2k 2k 或 2k2k，kZ. 4 2 5 4 02，当 k0 时， 或 0，cos 0，P 在第四象限，. 3 4 3 4 7 4 8 解析中，当 在第三象限时， sin ，故错 2 5 5 中，同时满足 sin ，cos 的角为 2k (kZ)，不只有一个，故 1 2 3 2 6 错

15、正确 可能在第一象限或第四象限，故错综上选. 9解(1)120，r6， 2 3 的弧长为 lr64.(4 分)AB 2 3 (2)S扇形 OAB lr 4612，(7 分) 1 2 1 2 SABO r2sin 62 1 2 2 3 1 2 3 2 9，(10 分)3 S弓形 OABS扇形 OABSABO129.(12 分)3 10解(1) 作直线 y交单位圆于 A、B 两点，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域即为角 3 2 的集合为.(6 分) |2k 3 2k2 3 ，kZ (2) 作直线 x 交单位圆于 C、D 两点，连结 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中 1 2 阴影部分)即为角 终边的范围故满足条件的角 的