人教大纲版高考数学题库考点27数列的极限、函数的极限与连续性

1、 考点 27 数列的极限、函数的极限与连续性 考点 27 数列的极限、函数的极限与连续性 1.（2010重庆高考理科3） 2 2 41 lim() 42 x xx （ ） (A)1 (B) 1 4 (C) 1 4 (D)1 【命题立意】本小题考查极限的基本概念，考查基本的运算求解能力. 【思路点拨】先进行通分运算，约去分子、分母中的公因式2x，最后求极限值. 【规范解答】选 B. 22 222 4142(2) lim()limlim 424(2)(2) xxx xx xxxxx 2 11 lim 24 x x . 2.（2010江西高考理科） 2 111 lim(1) 333n n ( ) (

2、A) 5 3 (B) 3 2 (C)2 (D)不存在 【命题立意】本题主要考查数列极限求法，等比数列的前项和公式的应用，属基础题 【思路点拨】先求等比数列的前项和，再求极限. 【规范解答】选因为 n 3 1 3 1 3 1 1 2 n 32 1 2 3 ，所以 2 111 lim(1) 333n n n lim（ n 32 1 2 3 ）= 2 3 . 3.（2010四川高考理科2）下列四个图象所表示的函数，在点0 x 处连续的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【命题立意】本题主要考查函数连续的三要素，考查学生的识图能力. 【思路点拨】函数( )f x在 0 xx连续的三要素：（1）函

3、数( )f x在 0 xx处有定义； （2） 0 lim( ) xx f x 存在；（3） 0 0 lim( )() xx f xf x . 【规范解答】选 D.由图象及函数连续的性质知 A 图在 x=0 处无意义，B 中的函数 x 趋于 0 时无极限，所以 不连续，C 中虽然有极限，但是不等于 f(0)，所以不连续.D 图在 x=0 处连续，故选 D. 4.（2010四川高考理科8）已知数列 n a的首项 1 0a ，其前n项的和为 n S，且 11 2 nn SSa ， 则lim n n n a S （ ） （A）0 （B） 1 2 （C） 1 （D）2 【命题立意】本题考查了数列的极限及

4、递推运算、第n项 n a与前n项和 n S的关系，等比数列等基础知识. 【思路点拨】先利用递推公式求通项公式，注意到递推公式中 Sn+1与 n S的关系，故可用 11nnn ass Sn+1-Sn， 1nnn ass Sn-Sn-1来寻找相邻两项 1n a ， n a的数量关系.即求出数列的通项公式，后面的问题便可迎刃而解. 【规范解答】 选 B.由 Sn+1=2Sn+a1 ，Sn=2Sn-1+a1(2)n ，由得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)，即 1 2 nn aa 211,21 (2),122 .nnssaaa当时， . 211,21 (2),122 .nnssaaa当时，S2=2

5、S1+a1，a2=2a1,所以数列 n a是一个公比为 2 的等比数列， 则有 1 1 2n n aa ，Sn 1 1 (1 2 ) (21) 1 2 n n n a sa . 1 1 21 2 limlimlim 1 212 1 2 n n n nnn n n a s ，故选 B. n n n a lim S 5.（2010上海高考理科1） 将直线 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn（ * nN，2n ） 、 x 轴、 y 轴围成的封闭图形的面积记为 n S，则lim n n S 【命题立意】本题考查直线的有关性质、极限的求法等有关知识 【思路点拨】根据直线的性质，先将 n n S S

6、表示为 n 的函数，再用求极限的方法求解 【规范解答】易得直线 3 32 2, ,l l l l分别过 A（1，0）和 B（0，1） ， 由 0 0 0 0 n nn ny yx x n ny yn nx x，解得 1 1 n n n n y yx x，即直线 3 32 2, ,l l l l的交点坐标 1 1 , , 1 1 n n n n n n n n C C， 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 n nn n n n n n n n n n n n S SS SS S O OB BC CO OA AC Cn n 所以 n nn

7、1 limS =lim(1)=1. n+1 - 【答案】1 6.（2010上海高考文科4）将直线 1: 10lxy 、 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn （ * nN， 2n ）围成的三角形面积记为 n S，则lim n n S 【命题立意】本题考查直线的有关性质、极限的求法等有关知识 【思路点拨】根据直线的性质，先将 n n S S表示为 n 的函数，再用求极限的方法求解 【规范解答】易得直线 3 32 2, ,l l l l分别过 1 1 l l与 x 轴、y 轴的交点 A（1，0）和 B（0，1） ， 由 0 0 0 0 n nn ny yx x n ny yn nx x 解得 1 1 n n n n y yx x，即直线 3 32 2, ,l l l l的交点坐标 1 1 , , 1 1 n n n n n n n n C C，点 C 到直线 1 l的距 离 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 n n n n n n n n n n h h，所以 Sn= 1 1 1 1 2 2 1 1