高考数学专题复习练习第三章第八节正弦和余弦定理应用举例

1、第三章第三章 第八节第八节 正弦和余弦定理应用举例正弦和余弦定理应用举例 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 (题号题号) 中等题中等题 (题号题号) 稍难题稍难题 (题号题号) 测量距离问题测量距离问题1、37、9、1012 测量高度问题测量高度问题6 测量角度问题测量角度问题5 正、余定理综合正、余定理综合2、4811 一、选择题一、选择题 1.已知两座灯塔已知两座灯塔 A 和和 B 与海洋观察站与海洋观察站 C 的距离都等于的距离都等于 a km，灯塔，灯塔 A 在观察站在观察站 C 的北偏东的北偏东 20，灯塔，灯塔 B 在观

2、察站在观察站 C 的南偏东的南偏东 40，则灯塔，则灯塔 A 与与 B 的距离为的距离为 () A.a km B.a km C.a km D.2a km32 解析：解析： 由图可知，ACB120， 由斜弦定理 cosACBAC 2 BC2AB2 2ACBC ， a2a2AB2 2a2 1 2 则 ABa(km).3 答案：答案：B 2.在在ABC 中，角中，角 A，B 均为锐角，且均为锐角，且 cosAsinB，则，则ABC 的形状是的形状是 () A.直角三角形直角三角形B.锐角三角形锐角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D.等腰三角形等腰三角形 解析：解析：cosAsin( A)sinB，

3、 A，B 都是锐角， 2 2 则 AB，AB . 2 2 2 答案：答案：C 3.2009 年年 8 月月 4 日发生的日发生的 2009 年第年第 8 号台风“莫拉克” 造成台湾省号台风“莫拉克” 造成台湾省 461 人死亡，人死亡，192 人失 踪，其台风中心最大风力达到 人失 踪，其台风中心最大风力达到 12 级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树 被大风折断 级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树 被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 45角，树干也倾斜为与地面成角，树干也倾斜为与地面成 75角，树干底部与树尖着地处相

4、距角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，则折断点与树干底部的距离是米，则折断点与树干底部的距离是 () A.米米 B.10米米 C.米米 D.20米米 20 6 3 6 10 6 3 2 解析：解析：如图，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A， 则ABO45，AOB75， OAB60. 由正弦定理知， AO sin45 20 sin60 AO(米). 20 6 3 答案：答案：A 4.如图，四边形如图，四边形 ABCD 中，中，BC120，AB4，BCCD2， 则该四边形的面积等于则该四边形的面积等于 () A. B.5 C.6 D.73333 解析：解析：连接 BD，在BCD

5、中，BCCD2，BCD120， CBD30，BD2，3 SBCD 22sin120. 1 2 3 在ABD 中，ABD1203090， AB4，BD2，3 SABD ABBD 424， 1 2 1 2 33 四边形 ABCD 的面积是 5 . 3 答案：答案：B 5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 () A.锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D.由增加的长度决定由增加的长度决定 解析 ：解析 ： 设增加同样的长度为 x，原三边长为 a、b、c，且 c2a2b

6、2，abc.新的三角形 的三边长为 ax、bx、cx，知 cx 为最大边，其对应角最大. 而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的 余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形. 答案：答案：A 6.某人在某人在 C 点测得某塔在南偏西点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东，此人沿南偏东 40方向前进方向前进 10 米 到 米 到 D，测得塔顶，测得塔顶 A 的仰角为的仰角为 30，则塔高为，则塔高为 () A.15 米米 B.5 米米 C.10 米米 D.12 米米 解析：解析：如图，设塔高为 h，在 RtAOC 中，AC

7、O45， 则 OCOAh. 在 RtAOD 中， ADO30，则 ODh，3 在OCD 中， OCD120，CD10， 由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD， 即(h)2h21022h10cos120，3 h25h500，解得 h10，或 h5(舍). 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 7.一船以每小时一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔处看到一个灯塔 M 在北偏东在北偏东 60方向，行 驶 方向，行 驶 4 h 后， 船到后， 船到 B 处， 看到这个灯塔在北偏东处， 看到这个灯塔在北偏东 15方向， 这时船与灯塔的距离

8、为方向， 这时船与灯塔的距离为. 解析：解析：如图所示，依题意有 AB15460，MAB30，AMB45，在AMB 中， 由正弦定理得， 60 sin45 BM sin30 解得 BM30(km).2 答案：答案：30 km2 8.在在ABC 中，已知中，已知 sinAsinBcosCsinAsinCcosBsinBsinCcosA，若，若 a、b、c 分别是角分别是角 A、B、C 所对的边，则的最大值为所对的边，则的最大值为. ab c2 解析：解析：在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为： abacbc， a2b2c2 2ab a2c2b2 2ac b2c2a2 2bc 化简得：3c2a

9、2b22ab， 故 ，即的最大值为 . ab c2 3 2 ab c2 3 2 答案：答案：3 2 9.线段线段 AB 外有一点外有一点 C，ABC60，AB200 km，汽车以，汽车以 80 km/h 的速度由的速度由 A 向向 B 行行 驶，同时摩托车以驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由的速度由 B 向向 C 行驶，则运动开始行驶，则运动开始h 后，两车的距后，两车的距 离最小离最小. 解析 ：解析 ： 如图所示 ： 设 t h 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托车由 B 行驶到 E，则 AD80t，BE 50t.因为 AB200， 所以 BD20080t， 问题就是求 DE 最小时

10、 t 的值. 由余弦定理：DE2BD2BE22BDBEcos60 (20080t)22500t2(20080t)50t 12900t242000t40000. 当 t时 DE 最小. 70 43 答案：答案：70 43 三、解答题三、解答题 10.(2009辽宁高考)如图，如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛 上的两座灯塔的塔顶 为两岛 上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面测量船于水面 A 处测得处测得 B 点和点和 D 点的仰角分别为点的仰角分别为 75,30， 于水面， 于水面 C 处处 测得测得 B 点和点和 D 点的仰角均为点

11、的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中试探究图中 B，D 间距离与另外哪 两点间距离相等，然后求 间距离与另外哪 两点间距离相等，然后求 B，D 的距离的距离(计算结果精确到计算结果精确到 0.01 km，1.414，26 2.449). 解：解：在ACD 中，DAC30， ADC60DAC30， 所以 CDAC0.1. 又BCD180606060， 故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线， 所以 BDBA. 在ABC 中， AB sinBCA AC sinABC 即 AB， ACsin60 sin15 3 2 6 20 因此，BD0.33 km. 3 2 6 20 故 B、D 的距

12、离约为 0.33 km. 11.如图，扇形如图，扇形 AOB，圆心角，圆心角 AOB 等于等于 60，半径为，半径为 2，在弧，在弧 AB 上有一动点上有一动点 P，过，过 P 引平 行于 引平 行于 OB 的直线和的直线和 OA 交于点交于点 C，设，设AOP，求，求POC 面积的最大值及此时面积的最大值及此时 的值的值. 解：解：因为 CPOB，所以CPOPOB60， OCP120. 在POC 中，由正弦定理得 ， OP sinPCO CP sin 2 sin120 CP sin 所以 CPsin. 4 3 又， OC sin(60) 2 sin120 OCsin(60). 4 3 因此P

13、OC 的面积为 S() CPOCsin120 1 2 sinsin(60) 1 2 4 3 4 3 3 2 sinsin(60)sin(cos sin) 4 3 4 3 3 2 1 2 cos(260) ，(0，60). 2 3 1 2 所以当 30时，S()取得最大值为. 3 3 12.(2008湖南高考)在一个特定时段内，以点在一个特定时段内，以点 E 为中心的为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域海里以内海域被设为警戒水域. 点点 E 正北正北 55 海里处有一个雷达观测站海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏

14、东北偏东 45且与点且与点 A 相距相距 40海里的位置海里的位置 B，经过，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点分钟又测得该船已行驶到点 A2 北偏东北偏东 45(其中其中 sin，090)且与点且与点 A 相距相距 10 海里的位置海里的位置 C. 26 26 13 (1)求该船的行驶速度求该船的行驶速度(单位：海里单位：海里/小时小时)； (2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解：解：(1)如图 AB40，AC10，BAC，sin.213 26 26 090， cos .1(f(r(26),26)2 5 26 26 由余弦定理可知， BC AB2AC22ABACcos 10，5 船的行驶速度为15(海里/小时). 10 5 2 3 5 (2)如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B，C 的坐标分别是 B(x1，y1)，