高三数学（理数）总复习练习专题八 平面向量

1、1(2015课标，7，易)设 D 为ABC 所在平面内一点，3，则()BC CD A.AD 1 3AB 4 3AC B.AD 1 3AB 4 3AC C.AD 4 3AB 1 3AC D.AD 4 3AB 1 3AC 【答案】A如图所示， 在ABC 中，.BC AC AB 又3，BC CD ，CD 1 3BC 1 3AC 1 3AB .AD AC CD 1 3AB 4 3AC 2(2015安徽，8，中)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足2a，2ab，AB AC 则下列结论正确的是() A|b|1 Bab Cab1 D(4ab)BC 【答案】D如图，在等边ABC 中，2a

2、，2ab，AB AC ，AB BC AC b.又|2，|2，BC BC AB |b|2，|a|1，a 与 b 的夹角为 120， ab|a|b|cos 1201. A，B，C 不正确 4ab2，又，故 D 正确AB AC AD AD BC 3(2015课标，13，易)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _ 【解析】因为 ab 与 a2b 平行， 所以存在实数 ， 使 ab(a2b)， 即()a(12)b 0，由于 a，b 不平行，所以解得 . 0， 120，) 1 2 【答案】1 2 4(2015江苏，6，易)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8

3、)(m，nR)，则 m n 的值为_ 【解析】由 manb(9，8)得， m(2，1)n(1，2)(9，8)， 即(2mn，m2n)(9，8)， 解得mn3. 2m n9， m2n8，) m 2， n5， ) 【答案】3 5(2015北京，13，易)在ABC 中，点 M，N 满足2，若xy，则 xAM MC BN NC MN AB AC _；y_. 【解析】如图，在ABC 中， MN MA AB BN 2 3AC AB 1 2 BC () 2 3AC AB 1 2 AC AB ， 1 2AB 1 6AC x ，y . 1 2 1 6 【答案】 1 2 1 6 1(2013辽宁，3，易)已知点

4、A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()AB A. B. ( 3 5， 4 5) ( 4 5， 3 5) C. D. ( 3 5， 4 5)( 4 5， 3 5) 【答案】A(3，4)，|5.与同方向的单位向量为.故选 A.AB AB AB AB |AB | ( 3 5， 4 5) 2(2012广东，3，易)若向量(2，3)，(4，7)，则()BA CA BC A(2，4) B(2，4) C(6，10) D(6，10) 【答案】A(2，4)，故选 A.BC BA AC BA CA 3(2014浙江，8，中)记 maxx，yminx，y设 a，b 为平面向量， x，xy， y，

5、xy，) y，xy， x，xy.) 则() Amin|ab|，|ab|min|a|，|b| Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b| Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 【答案】D根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知 min|ab|，|ab|与 min|a|，|b| 的大小不确定；因为|ab|2|a|2|b|22ab，|ab|2|a|b|22ab，则当 ab0 时，max|ab|2，|a b|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2； 当 ab0 时，a 与 a 的方向相同； 当 0 时，a 与 a 的方向相反； 当 0

6、时，a0 (1)结合律：( a) a(a)； (2)第一分配律： ()aa a； (3)第二分配律： (ab)ab (1)(2014课标，6)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB FC () A. B.AD 1 2AD C. D.BC 1 2BC (2)(2013四川，12)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 AB AD AO _ 【解析】(1)如图， () 2. EB FC EC CB FB BC EC FB 1 2 AC AB 1 2 AD AD (2)如图，因为 ABCD 为平行四边形， 所以2， AB AD AC AO

7、已知，故 2. AB AD AO 【答案】(1)A(2)2 【点拨】解题(1)时注意向量加法平行四边形法则的运用；解题(2)的思路是在平行四边形中把AB 用表示，结合已知条件求出 的值 AD AO 向量的线性运算的解题策略 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首 尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解 (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三 角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 (2014福建，10)设 M 为平行四边形 ABCD 对

8、角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平 面内任意一点，则等于()OA OB OC OD A. B2OM OM C3 D4OM OM 【答案】D依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以2，OA OC OM OB 2，所以4，故选 D.OD OM OA OC OB OD OM 考向 2共线向量定理、平面向量基本定理及应用 1向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 使得 ba，则向量 b 与 a 共线 (2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在唯一一个实数 ，使得 ba. (3)A，B，C 是平面上三点，且

9、A 与 B 不重合，P 是平面内任意一点，若点 C 在直线 AB 上，则存在 实数 ，使得(如图所示)PC PA AB 2向量共线定理的应用 (1)证明点共线； (2)证明两直线平行； (3)已知向量共线求字母的值(或范围) 3平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实 数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底 (2)平面向量基本定理的实质 平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则 进行向量的加减运算或数乘运算 4平面向量基本定理的应用

10、(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，那么 a，e1，e2共面 (2)根据向量基本定理求字母的值(或范围) (1)(2014福建，8)在下列向量组中，可以把向量 a(3，2)表示出来的是() Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2) Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3) (2)(2013江苏，10)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC.若1 1 2 2 3 DE AB 2(1，2为实数)，则 12的值为_AC (3)(2015安徽阜阳一模，14)在梯形 ABCD 中，

11、已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的 中点若，则 _AB AM AN 【解析】(1)方法一：若 e1(0，0)，e2(1，2)，则 e1e2，而 a 不能由 e1，e2表示，排除 A；若 e1(1，2)，e2(5，2)，因为，所以 e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量 a 1 5 2 2 (3，2)表示出来，故选 B. 方法二：因为 a(3，2)，若 e1(0，0)，e2(1，2)，不存在实数 ，使得 ae1 e2，排除 A；若 e1(1，2)，e2(5，2)，设存在实数 ，使得 ae1 e2，则(3，2)(5，2 2)，所以解得所以 a2e1e2，故选 B

12、. 3 5， 222， ) 2， 1，) (2) ()，又12， DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 AC AB 2 3AC 1 6 AB DE AB AC 1 ，2 .12 . 1 6 2 3 1 2 (3)方法一 ： 由，得 () ()，则 AB AM AN AB 1 2 AD AC 1 2 AC AB ( 2 1)AB 2AD ( 2 2) 0，得0，得0. AC ( 2 1)AB 2AD ( 2 2)(AD 1 2AB )( 1 4 3 41)AB ( 2)AD 又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得AB AD 解得 1 4 3 410， 20， ) 4 5

13、， 8 5. ) 所以 . 4 5 方法二：连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T， 由已知易得 AB AT， 4 5 ， 4 5AT AB AM AN T，M，N 三点共线， . 4 5 【答案】(1)B(2) (3) 1 2 4 5 【点拨】题(1)利用平面向量基本定理求解 ； 解题(2)的思路是先在ABC 中用和表示，然 AB AC DE 后根据已知条件对应求出 1，2；解题(3)时注意基底的选取 1.求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注 意待定系数法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共

14、线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向 量共线且有公共点时，才能得到三点共线 (3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0. (4)直线的向量式参数方程，A，P，B 三点共线(1t)t(O 为平面内任一点，tR)OP OA OB (5)(，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.OA OB OC 2用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量 的运算 (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量 表达式 零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选

15、取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应 的向量 (2012大纲全国，9)ABC 中，AB 边的高为 CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|CB CA 2，则()AD A. a b B. a b 1 3 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 C. a b D. a b 3 3 5 5 3 5 4 4 5 5 4 4 5 5 【答案】Dab0，ACB90，AB，CD.5 2 5 5 BD，AD， 5 5 4 5 5 ADBD41. ()AD 4 5AB 4 5 CB CA a b. 4 5 4 4 5 5 考向 3平面向量坐标运算的应用 1平面向量的坐标运算 (1)若 a(x1

16、，y1)，b(x2，y2)(b0)，则 ab(x1x2，y1y2) (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)AB (3)若 a(x，y)，R，则 a(x，y) 2向量平行的坐标表示 (1)如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件为 x1y2x2y10. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0. ab 的充要条件不能表示成，因为 x2，y2有可能等于 0.判断三点是否共线，先求每两点对应 x1 x2 y1 y2 的向量，然后再按两向量共线进行判定 3平面向

17、量中的重要结论 (1)|a|b|ab|a|b|. (2)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2) (3)G 为ABC 的重心0GA GB GC G，其中 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) ( x1x2x3 3 ，y 1y2y3 3) (1)(2012重庆，6)设 x，yR，向量 a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac， bc，则|ab|() A. B. C2 D105105 (2)(2013北京，13)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 _ 【解析】(1)由 a c， b c) 2x40， 2y40 ) x 2， y2，)

18、a(2，1)，b(1，2)，ab(3，1)， |ab|. 10 (2)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3),c AO OB BC ab，(1，3)(1，1)(6，2)， 即61， 23， ) 解得 2， ， 4. 1 2 【答案】(1)B(2)4 【点拨】解题(1)时注意应用向量平行与垂直的坐标表示；解题(2)的关键是建立平面直角坐标系， 正确写出 a，b，c 的坐标，利用 a，b，c 之间的关系，列出方程组求解 向量坐标运算问题的一般思路 向量的坐标运

19、算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求 出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则以向量为载体，可以解决三角 函数、解析几何中的有关问题 (2014陕西，13)设 0，向量 a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若 ab，则 tan 2 _ 【解析】因为 ab，所以 sin 2cos2，2sin cos cos2. 因为 00，得 2sin cos ，tan . 2 1 2 【答案】1 2 1(2015河北邯郸一模，5)已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若(manb)(a2b)，则 等于() m n A2 B2 C D. 1

20、 2 1 2 【答案】C由题意得 manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)， (2mn)4(3m2n)0， ，故选 C. m n 1 2 2(2015青海西宁质检，6)已知ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P 满足，PA PB PC AB 则点 P 与ABC 的关系为() AP 在ABC 内部 BP 在ABC 外部 CP 在 AB 边所在直线上 DP 是 AC 边的一个三等分点 【答案】D，PA PB PC AB ，PA PB PC PB PA 22，PC PA AP P 是 AC 边的一个三等分点 3(2015山东日照一模，5)在平行四边形 ABCD

21、 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F，若a，b，则等于()AC BD AF A. a b B. a b 1 4 1 2 2 3 1 3 C. a b D. a b 1 2 1 4 1 3 2 3 【答案】B如图， DEFBEA，DFBADEBE13，过点 F 作 FGBD 交 AC 于点 G， FGDO23，CGCO23， b， a，GF 1 3 AG AO OG 2 3AC 2 3 a b.故选 B.AF AG GF 2 3 1 3 4(2015吉林长春调研，7)已知ABC 的重心为 G，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c

22、，若 aGA bc0，则角 A 为()GB 3 3 GC A. B. 6 4 C. D. 3 2 【答案】AG 为ABC 的重心，0.GA GB GC abc0，GA GB 3 3 GC 0， (a 3 3 c)GA (b 3 3 c)GB ac0，bc0， 3 3 3 3 ac，bc， 3 3 3 3 cos Ab 2c2a2 2bc ， 1 3c 2c21 3c 2 2 3 3 cc 3 2 A. 6 5(2014广东佛山二模，6)设(1，2)，(a，1)，(b，0)，a0，b0，O 为坐标原OA OB OC 点，若 A，B，C 三点共线，则 的最小值是() 1 a 2 b A2 B4 C

23、6 D8 【答案】D方法一：由题意可得，(1，2)，(a，1)，(b，0)，OA OB OC 所以(a1，1)，(b1，2)AB OB OA AC OC OA 又A，B，C 三点共线， ，AB AC 即(a1)21(b1)0， 2ab1， 又a0，b0， (2ab)4448，当且仅当 时，取“”故选 D. 1 a 2 b ( 1 a 2 b) ( b a 4a b) b a 4a b 方法二：kAB，kAC， 12 a1 2 b1 A，B，C 三点共线，所以 kABkAC，即，2ab1，所以 12 a1 2 b1 1 a 2 b 2ab a 4a2b b 4 428， 的最小值是 8. b a

24、 4a b b a 4a b 1 a 2 b 思路点拨：先由 A，B，C 三点共线，找出 a，b 的关系，然后把“1”代换，利用基本不等式求解 6(2015河南开封月考，13)平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c0)，且|OC| 2，若，则实数 ，的值分别是_OC OA OB 【解析】|2，|21c24，c0，c. OC OC 3 ， OC OA OB (1，)(1，0)(0，1)， 3 1，. 3 【答案】1， 3 7(2015山西临汾模拟，15)如图，ABC 中，0，a，b.若ma，nb，GA GB GC CA CB CP CQ CGPQH，2，则

25、 _CG CH 1 m 1 n 【解析】由0，知 G 为ABC 的重心，取 AB 的中点 D，则 GA GB GC CH 1 2CG 1 3CD 1 6 ()，由 P，H，Q 三点共线，得1，则 6. CA CB 1 6mCP 1 6nCQ 1 6m 1 6n 1 m 1 n 【答案】6 8 (2014山西阳泉三模， 14)设 O 在ABC 的内部， 且有230， 则ABC 的面积和AOCOA OB OC 的面积之比为_ 【解析】设 AC， BC 的中点分别为 M， N， 则已知条件可化为()2()0， 即 2 OA OC OB OC OM 40，所以2，说明 M，O，N 三点共线，即 O 为

26、中位线 MN 上的一个三等分点，SAOC ON OM ON SANC SABC SABC，所以3. 2 3 2 3 1 2 1 3 S ABC S AOC 【答案】3 1(2015山东，4，易)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则()BD CD A a2 B a2 3 2 3 4 C. a2 D. a2 3 4 3 2 【答案】D，且，BD BC BA CD BA () 2| |cos 60|2 a2a2 a2.故选 D.BD CD BC BA BA BC BA BA BC BA BA 1 2 3 2 2 (2015重庆， 6， 易)若非零向量 a， b 满足|a|b|， 且(ab

27、)(3a2b)， 则 a 与 b 的夹角为() 2 2 3 A. B. 4 2 C. D 3 4 【答案】A设|b|x，a，b， 则|a|x，abx2cos . 2 2 3 2 2 3 (ab)(3a2b)， (ab)(3a2b)0， 3a22ab3ab2b20， 即 3 x2x2cos 2x20， 8 9 2 2 3 cos ，cos . 2 2 3 2 3 2 2 0，故选 A. 4 3(2015湖北，11，易)已知向量，|3，则_OA AB OA OA OB 【解析】() OA OB OA OA AB 2 9. OA OA AB 【答案】9 1(2014重庆，4，易)已知向量 a(k，3

28、)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k() A B0 C3 D. 9 2 15 2 【答案】C2a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，得 4k660，解得 k3.故选 C. 2(2013湖北，6，易)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上AB CD 的投影为() A. B. 3 2 2 3 15 2 C D 3 2 2 3 15 2 【答案】A由(2，1)，(5，5)，AB CD 得15，|5.AB CD CD 2 |cos ，AB CD AB CD AB CD |cos ，.故选 A.AB AB CD AB CD |CD | 1

29、5 5 2 3 2 2 3(2013湖南，8，中)已知 a，b 是单位向量，ab0，若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最大值为 () A.1 B.22 C.1 D.222 【答案】C建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 ab，且 a 与 b 是单位向量， 可设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)OA OB OC cab(x1，y1)，|cab|1， (x1)2(y1)21，即点 C(x，y)的轨迹是以 M(1，1)为圆心，1 为半径的圆而|c|，x2y2 |c|的最大值为|OM|1，即|c|max1，故选 C.2 4(2012广东，8，难)对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 .若

30、平面向量 a，b 满足 |a|b|0，a 与 b 的夹角 ，且 ab 和 ba 都在集合中，则 ab() (0， 4) n 2|n Z) A. B1 C. D. 1 2 3 2 5 2 【答案】C根据题中给定的两个向量的新运算可知 ab a ab b b bb b | |a a| | |b b| | cos |b|2 2 ，ba，又由 可得cos 0 可得 01，于是 0 | |a|cos |b| |b|cos |a| (0， 4) 2 2 |b| |a| ，将代入后得 2cos2，又由于 ab，所以 ab2cos2 |a|cos |b| 2 2 2 2 n 2|n Z) n 2 (nZ)，于

31、是 1 4|a|，则 SminS34|a|b|cos b24|a|b|b2|b|2b20，故正确 若|b|2|a|，则 SminS38|a|2cos 4|a|28|a|2， 2cos 1， ，故错误 3 【答案】 考向 1平面向量的垂直与夹角 1平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记a，b，则AOB(0180)叫作向OA OB 量 a 与 b 的夹角 (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量 积，记作 ab，即 ab|a|b|cos .规定：0a0. (3)数量积的几何意义：数量积

32、ab 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 两个向量的数量积是一个数量， 而不是向量， 它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积， 其符号由夹角的余弦值确定 2平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，是 a 与 e 的夹角，则 (1)eaae|a|cos . (2)abab0. (3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|. 特别地，aa|a|2或|a|.a aa a (4)cos . ab |a|b| (5)|ab|a|b|. 3平面向量数量积的坐标表示 设 a(x1，y

33、1)，b(x2，y2)，a，b 的夹角为 ，则 (1)abx1x2y1y2. (2)|a|.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.xyAB （x1x2）2（y1y2）2 (3)cos . x1x2y1y2 x y xy (4)abab0 x1x2y1y20. x1y2x2y10 与 x1x2y1y20 不同，前者是两向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者 是它们垂直的充要条件 (1)(2014四川，7)平面向量 a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角 等于 c 与 b 的夹角，则 m() A2 B1 C1 D2 (2)(2014天津，

34、8)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BE BC，DFDC.若1， ，则 ()AE AF CE CF 2 3 A. B. C. D. 1 2 2 3 5 6 7 12 (3)(2013山东，15)已知向量与的夹角为 120，且|3，|2.若，且AB AC AB AC AP AB AC AP ，则实数 的值为_BC 【解析】(1)cmab(m4，2m2)，ac5m8，bc8m20. 由两向量的夹角相等可得，即为，解得 m2. ac |a| bc |b| 5m8 5 8m20 20 (2)以，为基向量，则()() 22(1) 4()AB AD A

35、E AF AB AD AD AB AB AD AB AD 2(1)1. (1)(1)2(1)(1) . CE CF BC DC 2 3 由可得 . 5 6 (3)，0， AP BC AP BC ()0，即()() 22 0. AB AC BC AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB 向量与的夹角为 120，|3，|2， AB AC AB AC (1)|cos 120940，解得 . AB AC 7 12 【答案】(1)D(2)C(3) 7 12 【点拨】题(1)考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式，求解时先进行运算，最后代入坐 标，使解题过程简洁 ； 题(2)根据条件

36、把，分别用，表示，然后根据向量数量积公式得方程组 AE AF AB AD 求解；解题(3)的方法是根据0 列出等量关系求出 . AP BC 平面向量数量积的应用 (1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos (夹角公式)，abab0 等， ab |a|b| 可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题 (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 (1)(2011课标全国，10)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题 p1：|ab|10，2

37、3) p2：|ab|1(2 3 ， p3：|ab|10， 3) p4：|ab|1( 3 ， 其中的真命题是() Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4 (2)(2014湖北，11)设向量 a(3，3)，b(1，1)，若(ab)(ab)，则实数 _ (1)【答案】A|a|b|1，且 0， 若|ab|1， 则(ab)21，a22abb21， 即 ab ， 1 2 cos ab ， ab |a|b| 1 2 ； 0， 2 3) 若|ab|1，同理求得 ab ， 1 2 cos ab ， 1 2 ， ( 3 ， p1，p4正确，故选 A. (2)【解析】ab(3，3)，ab(3，3)，

38、 又(ab)(ab)， (ab)(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得 3. 【答案】3 考向 2平面向量的模及其应用 求平面向量的模的公式 (1)a2aa|a|2或|a|；a aa aa a2 2 (2)|ab|；（a b）2 2a a2 22 2a ab bb2 2 (3)若 a(x，y)，则|a|.x2y2 (1)(2014课标，3)设向量 a，b 满足|ab|，|ab|，则 ab()106 A1 B2 C3 D5 (2)(2014湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点 D 满足|3CD |1，则|的最大值是_OA OB OD 【解析】

39、(1)由|ab|得 a2b22ab10， 10 由|ab|得 a2b22ab6， 6 得 4ab4，ab1，故选 A. (2)方法一：设 D(x，y)，由(x3，y)及|1 可知(x3)2y21，即动点 D 的轨迹为以点 C CD CD 为圆心的单位圆 又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)， OA OB OD 33 |，问题转化为圆(x3)2y21 上的点与点 P(1，) OA OB OC （x1）2（y 3）2 3 间距离的最大值 圆心 C(3，0)与点 P(1，)之间的距离为， 3 （31）2（0 3）2 7 故的最大值为1.（x1）2（y 3）2 7 方法二：设 D(x，y)，则由

40、|1，得(x3)2y21，从而可设 x3cos ，ysin ，R. CD 而(x1，y)， OA OB OD 3 则| OA OB OD （x1）2（y 3）2 （2cos ）2（ 3sin ）2 ， 84cos 2 3sin 82 7sin（） 其中 sin ，cos . 2 7 3 7 显然当 sin()1 时，|有最大值1. OA OB OD 82 77 方法三：， OA OB OD OA OB OC CD 设 a(2，)， OA OB OC 3 则|a|，从而a， 7OA OB OD CD 则|a|a|1， OA OB OD CD CD 7 当 a 与同向时，|有最大值1. CD OA

41、 OB OD 7 【答案】(1)A(2)17 【点拨】解题(1)时注意先求模的平方，再用加减运算求解；题(2)方法一利用几何意义将问题转化 为几何问题；方法二采用换元法将问题转化为求三角函数的最值；方法三利用向量运算性质求解 1.求向量的模的方法 (1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算a aa a (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再 利用余弦定理等方法求解 2求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 (2)几何法(数形结合法)：弄

42、清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 (2015河南开封模拟，14)已知向量 a 与 b 垂直，|a|2，若使得(ac)(bc)0 的 c 的模 的最大值为，则|b|_5 【解析】因为(ac)(bc)abc2(ab)c0 且 a 与 b 垂直， 所以 c2(ab)c， |c|ab|cos |ab|( 为 ab 与 c 的夹角)，由题意知|ab|，得|b|1. 5 （ab）2a2b2 4b2 【答案】1 1(2015河北承德质检，4)已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下列结论正确的是() Aab Bab C|a|b| Dabab 【答案】B因为|ab|ab|，所以(ab

43、)2(ab)2，即 ab0，所以 ab.故选 B. 2(2015浙江温州二模，5)已知|a|1，ab ，(ab)21，则 a 与 b 的夹角等于() 1 2 A30 B45 C60 D120 【答案】C设 a 与 b 的夹角为 ，因为 ab|a|b|cos ，且|a|1， 1 2 所以|b|cos . 1 2 又|ab|2|a|2|b|22ab1，即 1|b|211，故|b|1. 由得 cos . 1 2 又 0，180，所以 60.故选 C. 3(2015河南驻马店质检，6)若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足()(2)OB OC OB OC OA 0，则ABC 的形状为() A正三角

44、形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 【答案】C因为()(2)0，即()0，OB OC OB OC OA CB AB AC AB AC CB ()()0，即|，所以ABC 是等腰三角形，故选 C.AB AC AB AC AB AC 4(2015上海嘉定模拟，15)已知 i，j，k 表示共面的三个单位向量，ij，那么(ik)(jk)的取值 范围是() A3，3 B2，2 C1，1 D1，12222 【答案】D由 ij，得 ij0， 又 i，j 为单位向量， |ij|，i i2 2j2 22ij2 2 则(ik)(jk)ij(ij)kk2 (ij)k1|ij|cosij，k1 cosi

45、j，k1，2 2 又1cosij，k1， (ik)(jk)的取值范围是1，1故选 D.22 5 (2015福建莆田一模， 6)已知 a，b，c 均为单位向量，且|ab|1，则(ab)c 的取值范围是() A0，1 B1，1 C， D0，333 【答案】C由 a，b 为单位向量和|ab|1 的几何意义，可知|ab|，设 ab 与 c 的夹角为3 ，则(ab)c|ab|c|cos ， cos 1，1，(ab)c 的取值范围为，33 6(2014湖南九校联考，9)对于非零向量 m，n，定义运算“*”： m*n|m|n|sin ，其中 为 m，n 的夹角，有两两不共线的三个向量 a，b，c，下列结论正

46、确的是() A若 a*ba*c，则 bc B(a*b)ca(b*c) Ca*b(a)*b D(ab)*ca*cb*c 【答案】Ca，b，c 为两两不共线向量，则 a，b，c 为非零向量，故 A 不正确；设 a，b 夹角为 ，b，c 夹角为 ，则(a*b)c|a|b|sin c，a(b*c)|b|c|sin a，故 B 不正确；a*b|a|b|sin |a|b|sin()(a)*b.故选 C. 7(2015山东淄博一模，14)若 a，b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，则 b 与 a 3 3 ，1 b 的夹角的取值范围是_ 【解析】设a，b，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB，

47、因为|a|b|，所以四边形 OA OB OACB 是菱形，设BOC，则OBC2，在OBC 中，由正弦定理可得 (0 2) |a| sin ，化简得 cos ，由 得，所以 ，所以b，ab |ab| sin（2） 1 2 3 3 ，1 1 2 1 2， 3 2 6， 3 . 2 2 3 ，5 6 【答案】2 3 ，5 6 8(2014江西南昌二模，12)关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： 若 abac，则 bc； 若 a(1，k)，b(2，6)，ab，则 k3； 非零向量 a 和 b 满足|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角为 60. 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)

48、【解析】命题明显错误由两向量平行的充要条件得 162k0，k3，故命题正确由 |a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得 a 与 ab 的夹角为 30，命题错误 【答案】 1(2015天津，14，中)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，动 点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，则的最小值为_BE BC DF 1 9DC AE AF 【解析】如图，分别过 C，D 作 CNAB 于 N，DMAB 于 M， 则 AMBN ，CDMN1. 1 2 ()() AE AF AB BE AB BC CF 2 AB AB BC AB CF AB BE BE BC

49、 BE CF 412 (1 1 9) 1 2 (1 1 9) 2， 17 18 2 9 2 17 18 1 9 29 18 当且仅当 ，即 时等号成立，此时有最小值. 2 9 2 2 3 AE AF 29 18 【答案】29 18 2(2015江苏，14，难)设向量 ak(k0，1，2，12)，则 (akak (cos k 6 ，sink 6 cosk 6) 11 k0 1)的值为_ 【解析】akak1 (cos k 6 ，sink 6 cosk 6 ) (cos k1 6 ，sink 1 6 cosk 1 6 ) coscos k 6 k1 6 (sin k 6 cosk 6 ) (sin

50、k1 6 cosk 1 6 ) coscossinsinsincoscossincoscos k 6 k1 6 k 6 k1 6 k 6 k1 6 k 6 k1 6 k 6 k1 6 cos sincoscos， 6 2k1 6 k 6 k1 6 (akak1)12cos sincoscos 11 k0 6 11 k0 2k1 6 11 k0 k 6 k1 6 604 3 ( 3 2 1 2 3 2 0) 9. 3 【答案】9 3 3(2015浙江，15，难)已知 e1，e2是空间单位向量，e1e2 .若空间向量 b 满足 be12，be2 1 1 2 2 ，且对于任意 x，yR，|b(xe1

51、ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则 x0_，y0 5 5 2 2 _，|b|_ 【解析】e1e2|e1|e2|cose1，e2cose1，e2 ， 1 2 e1，e2 . 3 不妨设 e1，e2(1，0，0)， ( 1 2， 3 2 ，0) b(m，n，t) 则由题意知 be1 mn2， 1 2 3 2 be2m . 5 2 解得 n，m ， 3 2 5 2 b. ( 5 2， 3 2 ，t) b(xe1ye2) ， ( 5 2 1 2xy， 3 2 3 2 x，t) |b(xe1ye2)|2t2. ( 5 2 1 2xy) 2 ( 3 2 3 2 x)2 由题意，当 x

52、x01，yy02 时， |b(xe1ye2)|2取到最小值 1. 此时 t21， 故|b| ( 5 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 t2 2. 82 【答案】122 2 4(2015广东，16，12 分，易)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m，n(sin x，cos ( 2 2 ， 2 2) x)，x. (0， 2) (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值 3 解：(1)m，n(sin x，cos x)，mn， ( 2 2 ， 2 2) mnsin xcos x0， 2 2 2 2 即 sin xcos x， tan x1. sin x c

53、os x (2)由题意知， |m|1， ( 2 2 ) 2 ( 2 2) 2 |n|1， sin2xcos2x mnsin xcos xsin. 2 2 2 2 (x 4) 而 mn|m|n|cosm，n cos . 3 1 2 sin ，又x，x ， (x 4) 1 2 (0， 2) 4 ( 4， 4) x ，x. 4 6 5 12 1(2012湖南，7，中)在ABC 中，AB2，AC3，1，则 BC()AB BC A. B. C2 D.37223 【答案】A() 21， AB BC AB AC AB AB AC AB 5，即 23cos A5，cos A .由余弦定理得 BC2AB2AC2

54、2ABACcos A3，AB AC 5 6 BC，故选 A.3 思路点拨：先根据数量积求出角 A 的三角函数值，再由余弦定理求 BC. 2(2012江西，7，中)在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 () |PA|2|PB|2 |PC|2 A2 B4 C5 D10 【答案】D方法一：以 C 为原点，CA，CB 所在直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系设 A(a， 0)，B(0，b)，则 D，P.从而|PA|2|PB|2(a2b2)10|PC|2， ( a 2， b 2)( a 4， b 4)( 9 16a 2 1 16b 2) ( 1 16a 2 9 16b 2) 10 16 故10. |PA|2|PB|2 |PC|2 方法二 ： 因为，且2，两式平方相加得 2 2222424242 PA PB BA PA PB PD PA PB BA PD CD PC 20 2，故 10.PC |PA|2|PB|2 |PC|2 3(2014安徽