高三数学（文数）总复习练习专题十九 几何证明选讲

1、(2015 广东，15，中)如图，AB 为圆 O 的直径，E 为 AB 延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点 为 C，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D.若 AB4，CE2，则 AD_.3 【解析】方法一：如图，连接 OC， C 为切点， 在OCE 中，OCr2，CE2， 3 OE4， sin CEO ，CEO30. 1 2 在 RtAED 中，AEDCEO30， AD AE (AOOE)3. 1 2 1 2 方法二：如图，连接 OC.OCCD. 又 ADCD，OCAD， OCEADE. 依题得，CE2BEAE， CE2BE(ABBE) 又 CE2，AB4，BE2. 3 又OCE

2、ADE， OC AD OE AE AD3. OCAE OE 【答案】3 1(2014天津，7，易)如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分CBF； FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF. 则所有正确结论的序号是() A B C D 【答案】D由题意知FBDBAD，DBCDAC，BADDAC， FBDDBC，故正确； 由切割线定理知正确； 易证ACEBDE. ， AE CE BE DE 不正确； 在ABF 和BDF 中，FBDBAD，BFDBFA，

3、ABFBDF， AF BF AB BD AFBDABBF，正确 故选 D. 2(2014陕西，15B，易)如图，ABC 中，BC6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E， F，若 AC2AE，则 EF_. 【解析】由已知得AEFBEF180，BEFBCF180， 所以AEFBCF；同理，可证AFEABC. 所以AEFACB， 所以EFBC63. EF BC AE AC AE AC AE 2AE 【答案】3 3(2013广东，15，易)如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC3，BEAC，垂足为 E，则 ED3 _. 【解析】在 RtABC 中，BC3，AB，所以BAC60. 3 因

4、为 BEAC， AB， 所以 AE， 在EAD 中， EAD30， AD3， 由余弦定理知， ED2AE2 3 3 2 AD22AEADcosEAD 923，故 ED. 3 4 3 2 3 2 21 4 21 2 【答案】 21 2 4(2012陕西，15B，易)如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为 F，若 AB6，AE1，则 DFDB_ 【解析】由相交弦定理得 AEEBDE2，DE. 5 又DEBDFE，DE2DFDB5. 【答案】5 5(2013辽宁，22，10 分，中)如图，AB 为O 的直径，直线 CD 与O 相切于 E，AD 垂直 CD 于

5、D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.证明： (1)FEBCEB； (2)EF2ADBC. 证明：(1)由直线 CD 与O 相切，得CEBEAB. 由 AB 为O 的直径，得 AEEB，从而EABEBF90； 又 EFAB，得FEBEBF90，从而FEBEAB. 故FEBCEB. (2)由 BCCE，EFAB，FEBCEB，BE 是公共边， 得 RtBCERtBFE，所以 BCBF. 类似可证：RtADERtAFE，得 ADAF. 又在 RtAEB 中，EFAB， 故 EF2AFBF， 所以 EF2ADBC. 6(2012课标全国，22，10 分，中)如图，

6、D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点若 CFAB，证明： (1)CDBC； (2)BCDGBD. 证明：(1)如图，连接 AF，因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DEBC. 又 CFAB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CFBDAD.而 CFAD，所以四边形 ADCF 是 平行四边形， 故 CDAF. 因为 CFAB，所以 BCAF， 故 CDBC. (2)因为 FGBC，故 GBCF. 由(1)可知 BDCF，所以 GBBD，BGDBDG. 由 BCCD 知CBDCDB. 又因为DGBEFCDBC， 故BCDGBD

7、. 考向 1相似三角形的判定方法与性质应用 1相似三角形的判定方法 (1)判定定理 定理 1：两角对应相等，两三角形相似 定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 定理 3：三边对应成比例，两三角形相似 (2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边 (3)直角三角形相似的特殊判定方法 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2相似三角形的性质 (1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比 (2)相似三角形的面积比等于相似比的平方 (1)(2014广东，15)如图，在平行四边形 AB

8、CD 中，点 E 在 AB 上且 EB2AE，AC 与 DE 交于点 F，则_. CDF的周长 AEF的周长 (2)(2012辽宁，23，10 分)如图，O 和O相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连接 DB 并延长交O 于点 E，证明： ACBDADAB； ACAE. 【解析】(1)四边形 ABCD 是平行四边形， DCFFAE，CDFFEA，CDFAEF， . CD AE DF EF CF AF 又EB2AE，AB3AECD33， CD AE DF EF CF AF 3. CDF的周长 AEF的周长 (2)证明：由 AC 与O相切于 A，得CABADB，

9、同理ACBDAB， 所以ACBDAB， 从而， AC AD AB BD 即 ACBDADAB. 由 AD 与O 相切于 A，得AEDBAD，又ADEBDA，所以EADABD. 从而， AE AB AD BD 即 AEBDADAB. 结合(1)的结论，可得 ACAE. 【点拨】解题(1)及(2)的关键是证明三角形相似 ； 题(2)需注意应用圆中的有关定理，并结合相 似三角形进行证明 相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理 1 与判定定理 2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理 2 与判定定理 3； (3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三

10、角形相似的方法来判定，如不能，再 考虑用判定三角形相似的一般方法来判定 (2013陕西，15B)如图，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于 点 P，已知AC，PD2DA2，则 PE_. 【解析】因为 PEBC，所以CPED，所以APED. 又P 是公共角，所以PEDPAE. 则，即 PE2PAPD. PD PE PE PA 由 PD2DA2，可得 PE26. 所以 PE. 6 【答案】 6 考向 2截割定理与射影定理的应用 1平行线等分线段定理 (1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的 线段也相等 (2

11、)推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 2平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 3直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与 斜边的比例中项 (1)(2011广东，15)如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_ (2)

12、(2015河南郑州一模，22，10 分)如图所示，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AC 于 E，EFBC 于 F. 求证：EFDFBCAC. 【解析】(1)在梯形 ABCD 中，过 C 作 CGAD 交 AB 于 G，交 EF 于 H，如图 则 HF1，GB2.又 EFAB， 即 HFGB， ， HF GB CF CB 1 2 F 为 CB 的中点，EF 为梯形 ABCD 的中位线 设梯形 EFCD 的高为 h，则梯形 ABCD 的高为 2h. S梯形 ABCD6h， （ABCD）2h 2 （42） 2h 2 S梯形 EFCD. （CDEF）h 2 （2

13、3）h 2 5h 2 所以 S梯形 ABCDS梯形 EFCD125， S梯形 ABFES梯形 EFCD75. (2)证明：BAC90，且 ADBC， 由射影定理得 AC2CDBC， . AC CD BC AC EFBC，ADBC，EFAD， . AE DF AC CD 又 BE 平分ABC，且 EAAB，EFBC， AEEF，. EF DF AC CD 由得，即 EFDFBCAC. EF DF BC AC 【点拨】解题(1)时应充分利用平行线分线段成比例定理， 寻找比例关系， 表示出相关梯形的面积 ； 题(2)已知条件中含有直角三角形且涉及斜边上的高，首先考虑射影定理 利用比例关系求值或证明的

14、方法 高考中常考查三角形的边、面积等的求值和比例的证明、相似三角形的证明等在求值时往往需要 利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时往往会通过三角形相似或平行 线分线段成比例得到比例关系，进而求证同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应 用 (1)(2015广东佛山一模，15)如图，等边三角形 DEF 内接于ABC，且 DEBC，已知 AHBC 于点 H，BC4，AH，则DEF 的边长为_3 (2)(2015陕西宝鸡质检，15B)如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm，4 cm， 以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则

15、BD_cm. (1)【解析】设 DEx，AH 交 DE 于点 M，显然 MH 的长度与等边三角形 DEF 的高相等又 DEBC，则， DE BC AM AH AHMH AH ， x 4 3 3 2 x 3 2x 2 解得 x . 4 3 【答案】4 3 (2)【解析】如图，连接 CD. AC 为O 的直径， CDAD. ABC 为直角三角形， BC2BDAB， BD. BC2 AB 16 5 【答案】16 5 1(2014陕西西安一模，15B)如图所示，已知 D 是ABC 中 AB 边上一点，DEBC 且交 AC 于 E， EFAB 且交 BC 于 F，且 SADE1，SEFC4，则四边形 B

16、FED 的面积等于_ 【解析】因为 ADEF，DEFC，所以ADEEFC.因为 SADESEFC14，所以 AEEC 12，所以 AEAC13，所以 SADESABC19，所以 S四边形 BFEDSABCSADESEFC4. 【答案】4 2(2015广东湛江一模，15)如图，ABEFCD，已知 AB20，CD80，BC100，则 EF _. 【解析】ABEFCD， ，. EF AB CF BC EF CD BF BC 1， EF AB EF CD CFBF BC 即1. EF 20 EF 80 EF16. 【答案】16 3(2015陕西咸阳二模，15B)如图，已知ABC 的BAC 的平分线与

17、BC 相交于点 D，ABC 的外 接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E，若 EB8，EC2，则 ED_ 【解析】根据切割线定理可得ABCEAC. 因为线段 AD 为BAC 的角平分线，所以BADDAC. 又ADEABCBAD，则可以得到ADEEAD， 即ADE 为等腰三角形，则有 DEAE， 在ACE 和ABE 中，因为EACABC 且AECAEB， 所以CAEABE，则有AE4， AE BE CE AE 即 DEAE4. 【答案】4 4(2015广东惠州调研，15)已知梯形 ABCD 的上底 AD8 cm，下底 BC15 cm，在边 AB，CD 上 分别取 E，F，使 AEEBD

18、FFC32，则 EF_cm. 【解析】因为 AEEB32，所以 AEAB35.所以 EPBC35. 又因为 BC15 cm， 所以 EP9 cm.同理 PF3.2 cm.所以 EF12.2 cm. 【答案】12.2 5(2015天津五校联考，13)如图，直线 PC 与O 相切于点 C，割线 PAB 经过圆心 O，弦 CDAB 于点 E，PC4，PB8，则 CE_. 【解析】由切割线定理知 PAPBPC2，所以 PA2，则圆的直径为 6，半径为 3，所以 PO5， 连接 OC，在OCP 中，由三角形的面积相等知 CEOPOCPC，所以 CE. OCPC OP 3 4 5 12 5 【答案】12

19、5 6(2014河南开封一模，22，10 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BECD，垂足为 E， 连接 AE，F 为 AE 上一点，且BFEC. (1)求证：ABFEAD； (2)若 AB4，BAE30，AD3，求 BF 的长 解：(1)证明：ABCD， BAFAED. 又BFEC， BFEBFACADE， BFAADE. ABFEAD. (2)BAE30，AEB60. sin 60，AE. AB AE 4 sin 60 8 3 3 又， BF AD AB AE BFAD. AB AE 3 3 2 1(2015天津，6，易)如图，在圆 O 中，M，N 是弦 AB 的三等分点

20、，弦 CD， CE 分别经过点 M，N，若 CM2，MD4，CN3，则线段 NE 的长为() A. B3 8 3 C. D. 10 3 5 2 【答案】A由相交弦定理，得 CMMDAMMBANBN AB28. 2 9 CNNEANBN AB28， 2 9 又CN3， NE .2.(2015课标，22，10 分，中)如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 8 3 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点 (1)证明：EFBC； (2)若 AG 等于O 的半径，且 AEMN2，求四边形 EBCF 的面积3 解：(1)

21、证明：由于ABC 是等腰三角形，ADBC， 所以 AD 是CAB 的平分线 又因为O 分别与 AB， AC 相切于点 E，F， 所以 AEAF，故 ADEF. 从而 EFBC. (2)由(1)知，AEAF，ADEF， 故 AD 是 EF 的垂直平分线 又 EF 为O 的弦，所以 O 在 AD 上 如图，连接 OE，OM，则 OEAE. 由 AG 等于O 的半径得 AO2OE， 所以OAE30. 因此ABC 和AEF 都是等边三角形 因为 AE2， 3 所以 AO4，OE2. 因为 OMOE2，DM MN， 1 2 3 所以 OD1. 于是 AD5，AB. 10 3 3 所以四边形 EBCF 的

22、面积为 (2)2. 1 2 ( 10 3 3 ) 2 3 2 1 2 3 3 2 16 3 3 3(2015课标，22，10 分，中)如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； (2)若 OACE，求ACB 的大小3 解：(1)证明：连接 AE，由已知得，AEBC，ACAB. 在 RtAEC 中，由已知得，DEDC， 故DECDCE. 连接 OE，则OBEOEB. 又ACBABC90， 所以DECOEB90， 故OED90，DE 是O 的切线 (2)设 CE1，AEx，由已知得 AB2，BE. 312x2 由

23、射影定理可得，AE2CEBE，所以 x2，即 x4x2120. 12x2 可得 x，所以ACB60. 3 1(2013天津，13，易)如图，在圆内接梯形 ABCD 中，ABDC.过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线 交于点 E.若 ABAD5，BE4，则弦 BD 的长为_ 【解析】因为 AE 是圆的切线，又 ADAB，ABDC，所以BAEADBABDBDC， 所以 ADABBC5.由切割线定理可得 EA2EBEC4(54)36，所以 EA6.又BCDEBA， 所以，则 BD. BD EA BC EB BCEA EB 5 6 4 15 2 【答案】15 2 2(2012湖南，11，易)如图，过

24、点 P 的直线与圆 O 相交于 A，B 两点若 PA1，AB2，PO 3，则圆 O 的半径等于_ 【解析】方法一 ： 设 PO 与圆 O 交于点 D，半径为 R，则由切割线定理得 PAPBPD(POOD)， 即 13(3R)(3R)，所以 R. 6 方法二 ： 如图，取 AB 的中点 C，连接 OB，OC，则 OCAB，且 CB1，CP2，OC OP2CP2 . 5 圆 O 的半径为 OB. OC2CB26 【答案】 6 3(2014课标，22，10 分，中)如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的 延长线交于点 E，且 CBCE. (1)证明：DE； (2)设

25、AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形 证明：(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE. 由已知得CBEE，故DE. (2)设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上 又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD. 所以 ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE. 由(1)知，DE， 所以ADE 为等边三角形 4(2014辽宁，22，10 分，中)如图，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG PD，连接 DG 并延长交圆于

26、点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. (1)求证：AB 为圆的直径； (2)若 ACBD，求证：ABED. 证明：(1)因为 PDPG， 所以PDGPGD. 由于 PD 为切线，故PDADBA. 又由于PGDEGA， 故DBAEGA. 所以DBABADEGABAD， 从而BDAPFA. 由于 AFEP，所以PFA90， 于是BDA90，故 AB 是直径 (2)连接 BC，DC. 由于 AB 是直径，故BDAACB90. 在 RtBDA 与 RtACB 中，ABBA，ACBD， 从而 RtBDARtACB. 于是DABCBA. 又因为DCBDAB，所以DCBCBA， 故 DCAB. 由于

27、 ABEP，所以 DCEP，DCE 为直角， 于是 ED 为直径，由(1)得 EDAB. 5(2013课标，22，10 分，中)如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的 角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明：DBDC； (2)设圆的半径为 1，BC，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径3 解：(1)证明：连接 DE，交 BC 于点 G. 由弦切角定理得ABEBCE. 而ABECBE，故CBEBCE，BECE. 又因为 DBBE，所以 DE 为圆的直径，DCE90， 由勾股定理可得 DBDC. (2)由(1)知C

28、DEBDE，DBDC， 故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG. 3 2 设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30， 所以 CFBF，BC 为BCF 外接圆的直径，故 RtBCF 外接圆的半径等于. 3 2 方法点拨：解答此类问题时要注意圆的切线的一些性质和弦切角定理的运用，有时也与正弦定理， 余弦定理相结合解三角形 考向 1与圆有关的比例线段问题 定理 名称 基本图形内容条件结论应用 相交 弦定 理 圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条 线段长的积相等 弦 AB， CD 相 交于圆内点 P (1)PAPB PCPD (2)ACP DBP (1)在 PA，

29、 PB， PC， PD 四条线段中 知三求一 (2)求弦长及角 割线 定理 从圆外一点引圆的 两条割线， 这一点到 每条割线与圆的交 点的两条线段长的 积相等 PAB， PCD 是 O 的割线 (1)PAPB PCPD (2)PAD PCB (1)求线段 PA， PB， PC，PD 及 AB， CD (2)应用三角形相 似求 AD，BC 切割 线定 理 从圆外一点引圆的 切线和割线， 切线长 是这点到割线与圆 交点的两条线段长 的比例中项 PA 切O 于 点 A， PBC 是 O 的 割线 (1)PA2 PBPC (2)PAB PCA (1)对于线段 PA， PB， PC 的长可知 二求一 (

30、2)求解 AB，AC (2014课标， 22， 10 分)如图， P 是O 外一点， PA 是切线， A 为切点， 割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证明： (1)BEEC； (2)ADDE2PB2. 【思路导引】(1)由等腰三角形的性质、三角形外角的性质及圆的有关性质求解；(2)由切割线定理 和相交弦定理，再结合条件求解 【证明】(1)如图，连接 AB，AC，由题设知 PAPD，故PADPDA. 因为PDADACDCA， PADBADPAB， DCAPAB， 所以DACBAD，从而， BE EC 因此 BEEC. (2)由切

31、割线定理得 PA2PBPC， 因为 PAPDDC，所以 DC2PB， BDPB. 由相交弦定理得 ADDEBDDC. 所以 ADDE2PB2. 与圆有关的比例线段问题的解题方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形 中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条 相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线 定理 (2012天津，13)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线 相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行

32、线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF3，FB1，EF ，则线 3 2 段 CD 的长为_ 【解析】由相交弦定理知 EFFCAFBF，解得 FC2. BDEC， ， AC AD AF AB FC BD 3 4 即 BD ， . 8 3 CD AD 1 4 又由切割线定理知 BD2CDAD4CD2， 即 CD BD . 1 2 4 3 【答案】4 3 考向 2四点共圆问题 圆内接四边形的性质定理和判定定理 性质 定理 圆内接四边形对角互 补 四边形ABCD内接于 O， 则AC，B D 判定 定理 如果四边形的对角互 补， 则此四边形内接于 圆 在四边形ABCD中，A C，则四边形ABC

33、D内 接于圆 四边形 ABCD 的对角线交于点 P，若 PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆；四边形 ABCD 的一组 对边 AB，DC 的延长线交于点 P，若 PAPBPCPD，则它的四个顶点共圆 (2013课标，22，10 分)如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAEDCAF，B，E，F，C 四点共圆 (1)证明：CA 是ABC 外接圆的直径； (2)若 DBBEEA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 【思路导引】(1)要证 CA 是ABC 外接圆的直径，只需证ABC 为

34、直角；(2)要求两圆的面积比， 可先求两圆的直径比 【解析】(1)证明：因为 CD 为ABC 外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故 BC FA DC EA CDBAEF， 所以DBCEFA.因为 B， E， F， C 四点共圆， 所以CFEDBC， 故EFACFE 90. 所以CBA90，因此 CA 是ABC 外接圆的直径 (2)连接 CE，因为CBE90，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE， 由 DBBE，有 CEDC，又 BC2DBBA2DB2，所以 CA24DB2BC26DB2. 而 DC2DBDA3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆 面积的比值

35、为 . 1 2 证明四点共圆的主要方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆 (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个 顶点共圆 (5)相交弦定理的逆定理 (6)割线定理的逆定理 (2011辽宁，22，10 分)如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长 线交于 E 点，且 ECED. (1)证明：CDAB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EFEG，证明：

36、A，B，G，F 四点共圆 证明：(1)因为 ECED， 所以EDCECD. 因为 A，B，C，D 四点在同一圆上， 所以EDCEBA， 故ECDEBA.所以 CDAB. (2)由(1)知，AEBE.因为 EFEG，故EFDEGC， 从而FEDGEC. 如图，连接 AF，BG， 则EFAEGB， 故FAEGBE， 又 CDAB，EDCECD， 所以FABGBA. 所以AFGGBA180， 故 A，B，G，F 四点共圆 1 (2014广东四校联考， 15)如图， 过点 C 作ABC 外接圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 D.若 CD ，ABAC2，则 BC_.3 【解析】由切割线定理，得 CD

37、2DADB， 即 3DA(DA2)， 解得 DA1.由于 AD2DC2AC2， 所以 ADC 为直角三角形，且D90，所以 BC2. 3323 【答案】2 3 2(2015天津河东一模，13)已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上，直线 CA 与圆 O 相切于 A， ACB 的平分线分别交 AB，AE 于 D，F 两点，若ACB20，则AFD_. 【解析】因为 AC 为圆的切线，由弦切角定理，则BEAC. 又因为 CD 平分ACB， 则ACDBCD， 所以BBCDEACACD. 根据三角形外角定理，ADFAFD. 因为 BE 是圆 O 的直径，则BAE90， 所以ADF 是等腰直角三角形 所以ADFAFD45. 【答案】453.(2