高三数学总复习学案8

1、学案学案 8对数与对数函数对数与对数函数 导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自 然对数或常用对数， 了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念， 理解对数函数的 单调性与函数图象通过的特殊点， 知道指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0， a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型 自主梳理 1对数的定义 如果_， 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作_， 其中_ 叫做对数的底数，_叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a0 且 a1) _；_； N a alog1loga _；_. N aa log

2、a a log (2)对数的重要公式 换底公式：logbN_(a，b 均大于零且不等于 1)； ，推广_.b a log a b log 1 dcb cba logloglog (3)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)_； loga_； M N logaMn_(nR)； logaM. n a M m log n m 3对数函数的图象与性质 a10a1 时，_ 当 0x1 时，_ 当 0x1 时，_ 性 质 (6)是(0，)上的 _函数 (7)是(0，)上的 _函数 4.反函数 指数函数 yax与对数函数_互为反函数， 它们的图象关于直线_对称 自我检测 1

3、(2010四川)2log510log50.25 的值为() A0B1C2D4 2(2010辽宁)设 2a5bm，且 2，则 m 的值为() 1 a 1 b A.B10C20D10010 3(2009辽宁)已知函数 f(x)满足：当 x4 时，f(x) x；当 x0 的 x 的取值范围是()(log 8 1 xf A(0，)B(0， )(2，) 1 2 C(0， )( ，2)D(0， ) 1 8 1 2 1 2 5(2011台州期末)已知 0ab1c，mlogac，nlogbc，则 m 与 n 的大小关系是 _. 探究点一对数式的化简与求值 例 1 计算：(1)；)32(log 32 (2) l

4、g lglg； 1 2 32 49 4 3 8245 (3)已知 2lglg xlg y，求. xy 2 y x )223( log 变式迁移 1计算： (1)log2log212 log2421； 7 48 1 2 (2)(lg 2)2lg 2lg 50lg 25. 探究点二含对数式的大小比较 例 2 (1)比较下列各组数的大小 log3与 log5； 2 3 6 5 log1.10.7 与 log1.20.7. (2)已知 log blog abcBacb CbacDbca (2)设 a，b，c 均为正数，且 2a，( )b，( )clog2c，则()a 2 1 log 1 2 b 2 1

5、 log 1 2 AabcBcba0 CcabDba0 且 a1)，如果对于任意的 x ，2都有|f(x)|1 成立，试 1 3 求 a 的取值范围 变式迁移 3(2010全国)已知函数 f(x)|lg x|，若 0a0，a1) (1)解关于 x 的不等式：loga(1ax)f(1)； (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是 f(x)图象上的两点，求证：直线 AB 的斜率小于 0. 【答题模板】 (1)解f(x)loga(1ax)， f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a) Error!，即Error!0x1. 不等式的解集为(0,1)4 分 (2)证明设 x1

6、0，ax1 时，f(x)的定义域为(，0)；6 分 0a1 时，f(x)的定义域为(0，) 当 0ax10，1.0. 1 2 1 1 x x a a 1 2 1 1 log x x a a a f(x2)f(x1)，即 y21 时，也有 y2y1.10 分 综上：y2y1，即 y2y10.kAB1 或 0a0 且 a1. 若 a1，则 logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0. 若 0alogag(x)0f(x)g(x) (2)同真数的对数值大小关系如图： 图象在 x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即 0cd1a0 且 a1)等价于 f(x)g(x)，但要注意验根对于 logaf(

7、x)logag(x)等价于 0a1 时， );()( , 0)( , 0)( xgxf xg xf ).()( , 0)( , 0)( xgxf xg xf (2)形如 F(logax)0、F(logax)0 或 F(logax)0，一般采用换元法求解 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010北京市丰台区高三一调)设 My|y( )x，x0，)，Ny|ylog2x，x 1 2 (0,1，则集合 MN 等于 () A(，0)1，)B0，) C(，1D(，0)(0,1) 2(2010全国)设 alog32，bln 2，c5 ，则() 1 2 AabcBbca C

8、cabDcbf(a)，则实数 a 的取值范围是() A(1,0)(0,1)B(，1)(1，) C(1,0)(1，)D(，1)(0,1) 4(2011济南模拟)设函数 f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当 x1 时，f(x)ln x，则有 () Af( )f(2)f( ) 1 3 1 2 Bf( )f(2)f( ) 1 2 1 3 Cf( )f( )f(2) 1 2 1 3 Df(2)f( )0，a1)在1,2上的最大值与最小值之 和为 loga26，则 a 的值为() A.B.C2D4 1 2 1 4 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 62lg 5

9、lg 8lg 5lg 20lg22_. 2 3 7 (2011湖南师大附中检测)已知函数 f(x)lg在区间1,2上是增函数， 则实数 axa2 x a 的取值范围是_ 8已知 f(3x)4xlog23233，则 f(2)f(4)f(8)f(28)_. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知 f(x)2log3x，x1,9，求 yf(x)2f(x2)的最大值及 y 取最大值时 x 的值 10(12 分)(2011北京东城 1 月检测)已知函数 f(x)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a 1. (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若

10、a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集 11(14 分)(2011郑州模拟)已知函数 f(x)lg(axbx)(a1b0) (1)求 yf(x)的定义域； (2)在函数 yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于 x 轴； (3)当 a，b 满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值 答案答案 自主梳理 1axN(a0，且 a1)xlogaNaN2.(1)N0N1(2) logaN logab logad(3)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM3.(1)(0，)(2)R(3)(1,0) 10(4)y0y0(5)y0(6)增(7)减4.ylogaxyx

11、 自我检测 1C2.A 3A因为 32log234，故 f(3log23) 3log233 . ( 1 2 )( 1 2 ) 1 3 1 24 4B由题意可得 ： f(x)f(x)f(|x|)，f(|log x|)f( )，f(x)在0，)上递增，于是|log 1 8 1 3 x| ，解得 x 的取值范围是(0， )(2，) 1 8 1 3 1 2 5mn 解析m0，n0， logaclogcblogabn. m n 课堂活动区 例 1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数 指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同 底和指数

12、与对数互化 解(1)方法一利用对数定义求值： 设x，)32(log )32( 则(2)x2(2)1，33 1 2 3 3 x1. 方法二利用对数的运算性质求解： )32(log )32( )32( 1 log )32( 1. 1 )32( )32(log (2)原式 (lg 32lg 49) lg 8 1 2 4 3 1 2 lg 245 (5lg 22lg 7) lg 2 (2lg 7lg 5) 1 2 1 2 4 3 3 2 1 2 lg 2lg 72lg 2lg 7 lg 5 5 2 1 2 lg 2 lg 5 1 2 1 2 lg (25) lg 10 . 1 2 1 2 1 2 (3

13、)由已知得 lg()2lg xy， xy 2 ()2xy，即 x26xyy20. xy 2 ( )26( )10. 32. x y x y x y 2 Error! 1， 32， x y x y 2 log(32 )log(32)(32 ) 2 x y 2 2 log1. 32 2 1 32 2 变式迁移 1解(1)原式log2log212log2log22 7 48 42 log2log2log22 . 7 12 48 42 2 1 2 2 3 2 3 2 (2)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 25 21g 2lg 25lg 1002. 例 2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题

14、是对数中常见题型，解决此类问 题的方法很多，当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较 ； 若底数不同，真数 相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不 同真数，则可利用中间量进行比较 解(1)log3log510，log3log5. 6 5 2 3 6 5 方法一00.71,1.1log0.71.1log0.71.2. ， 1 log0.71.1 1 log0.71.2 由换底公式可得 log1.10.7log1.20.7. 方法二作出 ylog1.1x 与 ylog1.2x 的图象， 如图所示，两图象与 x0.7 相交可知 log1.10.7log1

15、.20.7. (2)ylog x 为减函数， 1 2 且 log blog aac. 1 2 1 2 1 2 而 y2x是增函数，2b2a2c. 变式迁移 2(1)Aalog31，b log23，则 b1，c log32bc. 1 2 1 2 1 2 1 2 (2)Aa，b，c 均为正， log a2a1，log b( )b(0,1)， 1 2 1 2 1 2 log2c( )c(0,1) 1 2 0a ， b1,1c2. 1 2 1 2 故 ab1 时，得 a1 a，即 a3； 1 3 当 0a1 时，得 a1 a，得 0a . 1 3 1 3 综上所述，a 的取值范围是(0， 3，) 1

16、3 变式迁移 3C 画出函数 f(x)|lg x|的图象如图所示0ab，f(a)f(b)，0a1，lg a0.由 f(a)f(b)， lg alg b ，ab1. b ，a2ba ， 1 a 2 a 又 0a1 3，即 a2b3. 2 a 2 1 课后练习区 1Cx0，y( )x(0,1，M(0,1 1 2 当 01， log2e1，log23log2e. 1 a 1 b 1，0ablog3 ，a .3 1 2 1 2 bln 2ln ，b .e 1 2 1 2 c5 ，ca0 时，f(a)log2a，f(a)，a 2 1 log f(a)f(a)，即 log2alog2，a 2 1 log

17、1 a a ，解得 a1. 1 a 当 af(a)，即log2(a)，)(log 2 1 a a 1 log 2 1 a，解得1a0， 1 a 由得1a1. 4 C由 f(2x)f(x)知 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 又当 x1 时， f(x) 2xx 2 ln x，所以离对称轴 x1 距离大的 x 的函数值大， |21| 1| 1|， 1 3 1 2 f( )f( )0 时，函数 ax，logax 的单调性相同，因此函数 f(x)axlogax 是(0，) 上的单调函数， f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为 f(1)f(2)a2aloga2， 由题意得 a2 aloga26l

18、oga2.即 a2a60，解得 a2 或 a3(舍去) 63 7(1,2) 解析因为 f(x)lg在区间1,2上是增函数， 所以 g(x)a在区间1,2上 (a a2 x) a2 x 是增函数，且 g(1)0，于是 a20，即 1a2. 82 008 解析令 3xt，f(t)4log2t233， f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008. 9解f(x)2log3x， yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2log x6log3x6(log3x3)23.(4 分) 2 3 函数 f(x)的定义域为1,9， 要使函数 yf(x)2f(x2)有意义，必须Error!1x3，0log