高三数学（理数）总复习练习专题二十三 坐标系与参数方程

1、1 (2015广东， 14， 易)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin， 点 A 的极坐标为 A， ( 4) 2 (2 2， 7 4) 则点 A 到直线 l 的距离为_ 【解析】2sin ， ( 4) 2 2(sin cos 4 cos sin 4) (sin cos )， 22 即 sin cos 1，yx1. 点 A化为直角坐标为(2，2)， (2 2， 7 4 ) 点 A 到直线的距离为 d. |221| 2 5 2 2 【答案】5 2 2 2(2015北京，11，易)在极坐标系中，点到直线(cossin)6 的距离为 (2， 3) 3 _ 【解析】把极坐标转化为直角坐标， 点(2，

2、)对应的直角坐标为点(1，)， 3 3 极坐标方程 (cos sin )6 对应的直角坐标方程为 xy6， 33 即 xy60. 3 点到直线的距离为 d1. |1 3 36| 2 【答案】1 3(2015安徽，12，易)在极坐标系中，圆 8sin上的点到直线 (R)距离的最大值是 3 _ 【解析】8sin，28sin. x2y28y，即(y4)2x216. ， 3 直线方程为 yx， 3 圆心到直线的距离 d2， 4 31 圆上点到直线的最大距离为 246. 【答案】6 4(2015课标，23，10 分，中)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)2 1，以坐

3、标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 (R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 4 解：(1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1的极坐标方程为 cos 2，C2的极坐标方程为 2 2cos 4sin 40. (2)将 代入 22cos 4sin 40，得 2340，解得 12，2.故 12 4 222 ，即|MN|. 22 由于 C2的半径为 1，所以C2MN 的面积为 . 1 2 1(2011安徽，5，易)在极坐标系中，点 到圆 2 cos 的圆心的距离为() (2， 3) A2 B.

4、C. D.4 2 9 1 2 9 3 【答案】D极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为，即(1， (2， 3)(2cos 3 ，2sin 3) )极坐标方程 2cos 化为平面直角坐标方程为 x2y22x，即(x1)2y21，其圆心为(1，0)，3 所求两点间的距离为 .（11）2（ 30）23 2(2014广东，14，易)在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2cos和 sin1.以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和 C2交点的直 角坐标为_ 【解析】将 C1，C2的方程分别化为直角坐标方程为 y2x，y1， 由得即交点的

5、直角坐标为(1，1) y 2x， y1， ) x 1， y1，) 【答案】(1，1) 3(2014重庆，15，易)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的 x2t， y3t) 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos0(0，00)且垂直于极轴的直线：cos a； (3)过 A(a0)且平行于极轴的直线：sin a. (a， 2) 2圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 R； (2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2acos ； (3)圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为 2asi

6、n ，0. (a， 2) (2014辽宁， 23， 10 分)将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程； (2)设直线 l： 2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x，y)，依题意，得xx 1， y2y1.) 由 x y 1 得 x21，2 12 1 ( y 2 ) 2 即曲线 C 的方程为 x21. y2 4 故 C 的参数方程为(t

7、 为参数) x cos t， y2sin t ) (2)由解得或 x2 y2 4 1， 2xy20) x 1， y0 ) x 0， y2. ) 不妨设 P1(1，0)，P2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为 k ， ( 1 2，1) 1 2 于是所求直线方程为 y1， 1 2(x 1 2) 化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3， 即 . 3 4 sin 2cos 求解与极坐标有关的问题的主要方法 (1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标

8、 (2012江苏，21C，10 分)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P，圆心为直线 sin ( 2， 4) 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 ( 3) 3 2 解：在 sin中，令 0，得 1，所以圆 C 的圆心坐标为(1，0) ( 3) 3 2 如图所示，因为圆 C 经过点 P， ( 2， 4) 所以圆 C 的半径 PC1，（ 2）2122 1 2cos 4 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos . 1(2015北京西城三模，4)在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是() (2， 2) A2 B 2 Ccos 2 Dsin 2 【答案】D点在直角坐标系下的坐标为

9、，即(0，2) (2， 2) (2cos 2 ，2sin 2) 过点(0，2)且与 x 轴平行的直线方程为 y2. 即为 sin 2. 2(2015江西抚州质检，11(2)在极坐标系中，曲线 C 的方程是 4sin ，过点作曲线 C (4， 6) 的切线，则切线长为() A4 B. C2 D2723 【答案】C4sin 化为普通方程为 x2(y2)24，点的直角坐标是 A(2，2)，圆 (4， 6) 3 心到定点的距离、 切线长及半径构成直角三角形 由勾股定理得， 切线长为 （2 30）2（22）222 2 . 2 3(2015安徽合肥模拟，4)在极坐标系中，直线 (cos sin )2 与圆

10、 4sin 的交点的3 极坐标为() A. B. (2， 6)(2， 3) C. D. (4， 6)(4， 3) 【答案】A直线 (cos sin )2 化为直角坐标方程为xy20，圆 4sin 化33 为直角坐标方程为 x2(y2)24，表示以(0，2)为圆心，半径等于 2 的圆联立解 3xy20， x2（y2）24，) 得故直线和圆的交点坐标为(，1)，化成极坐标为. x 3， y1，) 3 (2， 6) 4(2014陕西宝鸡一模，15C)在极坐标系中，过圆 6cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐 标方程为_ 【解析】把 6cos 两边同乘 ， 得 26cos ， 所以圆的普通方程为

11、x2y26x0， 即(x3)2 y29，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为 cos 3. 【答案】cos 3 5 (2015天津南开一模， 13)极坐标系下， 直线 cos与圆 的公共点个数为_ ( 4) 22 【解析】直线 cos化为普通方程为xy，即 xy20. ( 4) 2 2 2 2 2 2 圆 化为普通方程为 x2y22，表示圆心在原点，半径为的圆所以圆心到直线的距离等于 22 .故直线和圆相切 |002| 2 2 【答案】1 6(2014湖南十二校第二次联考，11)设极点与坐标原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，已知直线 l 的极坐标方程为 sina，aR，圆 C 的参数方

12、程是( 为参数)若圆 C 关于直线 l ( 3) x2 32cos ， y22sin ) 对称，则 a_. 【解析】将直线 l 的方程化为直角坐标方程为xy2a0.由圆的参数方程可知圆心 C 的坐标 3 为(2，2)，若圆 C 关于直线 l 对称，则直线 l 过圆心 C，所以222a0，解得 a2. 333 【答案】2 7(2015广东惠州二模，14)极坐标系中，A，B 分别是直线 cos sin 50 和圆 2sin 上的动点，则 A，B 两点之间距离的最小值是_ 【解析】直线 cos sin 50 的直角坐标方程为 xy50， 圆 2sin ，即 22sin ， 化为直角坐标方程为 x2(

13、y1)21，表示以(0，1)为圆心、半径为 1 的圆 圆心到直线的距离 d2， |015| 11 2 A，B 两点之间距离的最小值是 21. 2 【答案】21 2 思路点拨 ： 分别把所给的直线、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 d， 则 d r 即为所求 8(2015辽宁大连一模，23，10 分)已知在极坐标系中点 C 的极坐标为. (2， 3) (1)求出以点 C 为圆心，半径为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系， 点 P 是圆 C 上任意一点，Q(5，)，M

14、 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹3 的普通方程 解：(1)如图，设圆 C 上任意一点 A(，)，则AOC 或 . 3 3 由余弦定理得，AC2OA2OC22OAOCcos， ( 3) 即 424cos4， ( 3) 圆 C 的极坐标方程 4cos. ( 3) (2)在直角坐标系中，点 C 的坐标为(1，)，可设圆 C 上任意一点 P(12cos ，2sin )，又 33 令 M(x，y)，Q(5，)，M 是线段 PQ 的中点 3 M 的参数方程为 x 62cos 2 ， y 2sin 2 ，) 即( 为参数) x3cos ， ysin ) 点 M 的轨迹的

15、普通方程为(x3)2y21. 1(2015湖北，16，中)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已 知直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos )0，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，l 与 C 相 xt1 t ， yt1 t ) 交于 A，B 两点，则|AB|_ 【解析】由题可知直线 l 为 y3x. 又 xt 1 t， yt 1 t，) xy2t， yx 2 t . ) y2x24. 联立得 8x24，x. 2 2 A，B 两点坐标为， ( 2 2 ，3 2 2 ) ， ( 2 2 ， 3 2 2) |AB|（ 2）2（3 2）2 2. 205

16、【答案】2 5 2(2015课标，23，10 分，中)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：(t 为参数，t0)， xtcos ， ytsin ，) 其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2cos 3 . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 解：(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22x0. 3 联立x 2y22y0， x2y22 3x0，) 解得或 x 0， y0，) x 3 2 ， y 3 2. ) 所以

17、C2与 C3交点的直角坐标为(0，0)和. ( 3 2 ，3 2) (2)曲线 C1的极坐标方程为 (R，0)，其中 00)有一个公共点在 x 轴上，则 a_ xasin ， y3cos ) 【解析】曲线 C1的普通方程为 y2x3，曲线 C2的普通方程为1，直线 y2x3 x2 a2 y2 9 与 x 轴的交点为，代入 C2的方程，可得 a . ( 3 2，0) 3 2 【答案】3 2 6(2014福建，21(2)，7 分，易)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数)，圆 C 的参数方程 xa2t， y4t) 为( 为参数) x4cos ， y4sin ) (1)求直线 l 和圆 C 的普通

18、方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 解：(1)直线 l 的普通方程为 2xy2a0， 圆 C 的普通方程为 x2y216. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d4，解得2a2. |2a| 5 55 7(2014江苏，21C，10 分，易)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 x1 2 2 t， y2 2 2 t) (t 为参数)，直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 解：将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y24x，得4，解得 t1 x1 2 2 t， y2 2

19、 2 t) (2 2 2 t)2 (1 2 2 t) 0，t28.所以 AB|t1t2|8. 22 8(2013课标，23，10 分，中)已知动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数)上，对应参 x2cos t， y2sin t) 数分别为 t 与 t2(02)，M 为 PQ 的中点 (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 解：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)， 因此 M(cos cos 2，sin sin 2) M 的轨迹的参数方程为 ( 为参数，02) xcos c

20、os 2， ysin sin 2 ) (2)M 点到坐标原点的距离 d(00； 若动点 P 在定点 P0的下方，则 tb0)的参数方程为 x2 a2 y2 b2 ( 为参数) xacos ， ybsin ) (4)双曲线1(a0，b0)的参数方程为 x2 a2 y2 b2 ( 为参数) x a cos ， ybtan ) (5)抛物线 y22px(p0)的参数方程为 (t 为参数) x2pt2， y2pt) (2014课标，23，10 分)已知曲线 C：1，直线 l：(t 为参数) x2 4 y2 9 x2t， y22t) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线

21、C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 【思路导引】(1)利用同角三角函数的平方关系将椭圆的标准方程化为参数方程(常见的)，利用消 元法求出直线 l 的普通方程；(2)利用点到直线的距离公式进行转化求解 【解析】(1)曲线 C 的参数方程为( 为参数) x 2cos ， y3sin ) 直线 l 的普通方程为 2xy60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d|4cos 3sin 6|. 5 5 则|PA|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan . d sin 30 2 5 5 4 3 当 si

22、n()1 时，|PA|取得最大值，最大值为. 22 5 5 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为. 2 5 5 1.将参数方程化为普通方程的方法 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法 有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系 式消参，如 sin2cos21. 2将普通方程化为参数方程的方法 只要适当选取参数 t， 确定 x(t)， 再代入普通方程， 求得 y(t)， 即可化为参数方程x（t）， y（t）.) 选取参数的原则是：曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当

23、参数取 某一值时，可以唯一确定 x，y 的值一般地，与时间有关的问题，常取时间作参数 ； 与旋转有关的问题， 常取旋转角作参数此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作参数 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定 要根据实际问题的要求确定参数的取值范围必要时通过限制参数的范围去掉多余的解 (1)(2013陕西， 15C)如图， 以过原点的直线的倾斜角 为参数， 则圆 x2 y2x0 的参数方程为_ (2)(2013湖南， 9)在平面直角坐标系 xOy 中， 若直线 l：(t 为参数)过椭圆 xt， yta) C：( 为参数)的右顶点，则

24、常数 a 的值为_ x3cos y2sin ) 【解析】(1)如图，圆的半径为 ，记圆心为 C，连接 CP， 1 2 ( 1 2，0) 则PCx2，故 xP cos 2cos2，yP sin 2sin cos ( 为参数) 1 2 1 2 1 2 故圆的参数方程为( 为参数) x cos2， ysin cos ) (2)由直线 l 的参数方程(t 为参数)消去参数 t，得直线 l 的一般方程为 yxa，由椭圆的参 x t， yta) 数方程可知其右顶点为(3，0)因为直线 l 过椭圆的右顶点，所以 3a0，即 a3. 【答案】(1)( 为参数)(2)3 xcos2， ysin cos ) 考向

25、 2参数方程与极坐标方程的综合应用 (2014课标，23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ，. 0， 2 (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：yx2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定3 D 的坐标 【思路导引】(1)先写出直角坐标方程，再写出参数方程；(2)利用参数方程的几何意义求出点的坐 标 【解析】(1)C 的直角坐标方程为(x1)2y21(0y1) 可得 C 的参数方程为(t 为参数，0t) x 1cos t， ysin t ) (2)设

26、 D(1cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同， tan t，t ， 3 3 故 D 的直角坐标为，即. (1cos 3，sin 3) ( 3 2， 3 2 ) 【点拨】本题要注意极坐标方程中对 的限定，在写直角坐标方程及对应的参数方程时对变量作 相应的限定 转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到 简捷的解答例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然

27、后在直角 坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现 了转化与化归的数学思想 (2013辽宁，23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin ，cos2. ( 4) 2 (1)求 C1与 C2交点的极坐标； (2)设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点已知直线 PQ 的参数方程为(tR xt3a， yb 2t 31 ) 为参数)，求 a，b 的值 解：(1)圆 C1的直角坐标方程为 x2(y2)24， 直线 C2的直角坐标方程为 xy4

28、0. 联立x 2（y2）24， xy40， ) 解得x 10， y14，) x22， y22. ) 所以 C1与 C2交点的极坐标为 ，. (4， 2) (2 2， 4) 注：极坐标系下点的表示不唯一 (2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy2 0. 由参数方程可得 y (xa)1 x1， b 2 b 2 ab 2 所以 b 2 1， ab 2 12，) 解得 a1，b2. 1(2015江西南昌模拟，11(2)已知曲线 C 的参数方程(t 为参数)，C 在点(1，1)处的 x 2cos t y 2sin t) 切线为 l，以

29、坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为() Asin2 ( 4) Bsin ( 4) 2 Csin2 ( 4) Dsin( 4) 【答案】B把曲线 C 的参数方程(t 为参数)，消去参数化为普通方程为 x2y22， x 2cos t y 2sin t) 曲线 C 在点(1，1)处的切线为 l：xy2，化为极坐标方程为 cos sin 2，即 sin，故选 B. ( 4) 2 2(2015北京东城模拟，6)已知曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极 轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是(t 为参数)，则直线 l

30、 与曲线 x14t y3t) C 相交所截的弦长为() A. B. 4 5 8 5 C2 D3 【答案】B曲线 C 的直角坐标方程为 x2y21，直线 l 的直角坐标方程为 3x4y30. 圆心到直线的距离 d . |3 04 03| 3242 3 5 直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长为 2 .故选 B.1(3 5 ) 2 8 5 3(2015湖南株洲模拟，11)已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 ：(t 为参数)， x 2 2 t 2， y 2 2 t) 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心且与直线 l 相切 的圆的极坐标方程为

31、_ 【解析】直线 l 的直角坐标方程为 xy0. 2 原点到直线的距离 r1. 2 2 以极点为圆心且与直线 l 相切的圆的极坐标方程为 1. 【答案】1 4(2014广东中山模拟，14)在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为(s 为参数)， x1s， y1s) 曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，若 l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|_. xt2， yt2) 【解析】直线 l 的直角坐标方程为 xy2，曲线 C 的直角坐标方程为 y(x2)2(y0)，联立两 方程得 x23x20，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以|AB| . 2 【答案】 2 5(2015湖北

32、武昌质检，16)已知曲线 C1的参数方程是(t 为参数)，曲线 C2的参数方程是 xt， yta) (t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程是 xt， ytb) 1.若 C1与 C2分曲线 C3所成长度相等的四段弧，则 a2b2_ 【解析】由题意得，C1的直角坐标方程为 yxa，C2的直角坐标方程为 yxb， 因为曲线 C3的直角坐标方程为 x2y21， 因为 C1与 C2分曲线 C3所成长度相等的四段弧， 所以直线 yxa，yxb 与圆 x2y21 相交截得的弦长所对的圆心角是 90， 则圆心到直线的距离 d，即，解得 a1， 2 2 2 2 |a| 2 同理，b1，所以 a2b22. 【答案】2 6(2015吉林长春质检，23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，直线 l 的参数方程为(t 为参数)，曲线 C1的方程为 (4sin )12，定点 A(6，0)， xt， yat) 点 P 是曲线 C1上的动点，Q 为 AP 的中点 (1)求点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)直线 l 与直线 C2交于 A，B 两点，若|AB|2，求实数 a 的取值范围3 解：(1)根据题意，得 曲线 C1的直角坐标方程为 x2y24y12， 设点 P(x，y)，Q(x，y)， 根据中点坐标