高考数学专题复习练习第六章第七节数学归纳法[理]

1、第六章第六章 第七节第七节 数学归纳法数学归纳法理理 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 (题号题号) 中等题中等题 (题号题号) 稍难题稍难题 (题号题号) 证明等式问题证明等式问题15 证明不等式证明不等式2、311 归纳、猜想与证明归纳、猜想与证明76、1012 整除与几何问题整除与几何问题4、8、9 一、选择题一、选择题 1用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，从，从 k 到到 k1 左 端需增乘的代数式为 左 端需增乘的代数式为 () A2k1 B2(2k1) C. D. 2k

2、1 k 1 2k 3 k 1 解析 ：解析 ： 当 n1 时，显然成立当 nk 时，左边(k1)(k2)(kk)，当 nk1 时，左边(k11)(k12)(k1k)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(k 1k)(k1k1)(k1)(k2)(kk)(k1)(k2)(k (2k1)(2k2) k 1 k)2(2k1) 答案：答案：B 2用数学归纳法证明“用数学归纳法证明“1 n(nN*，n1)”时，由”时，由 nk(k1)不等不等 1 2 1 3 1 2n1 式成立，推证式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项数是时，左边应增加的项数是 () A2k 1 B2k1 C2k D2k1 解析：解析：

3、增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k. 答案：答案：C 3对于不等式对于不等式n1(nN*)，某同学的证明过程如下：，某同学的证明过程如下：n2n (1)当当 n1 时，时，11，不等式成立，不等式成立121 (2)假设当假设当 nk(kN*)时，不等式成立，时，不等式成立， 即即k1，k2k 则当则当 nk1 时，时，(k1)2(k1)k23k2(k23k2)(k2)(k2)2 (k1)1， 当当 nk1 时，不等式成立时，不等式成立 则上述证法则上述证法 () A过程全部正确过程全部正确 Bn1 验得不正确验得不正确 C归纳假设不正确归纳假设不正确 D从从 nk 到到 nk1

4、的推理不正确的推理不正确 解析：解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设 答案：答案：D 4下列代数式下列代数式(其中其中 kN*)能被能被 9 整除的是整除的是 () A667k B27k 1 C2(27k 1) D3(27k) 解析：解析：(1)当 k1 时，显然只有 3(27k)能被 9 整除 (2)假设当 kn(nN*)时， 命题成立， 即 3(27n)能被 9 整除， 那么 3(27n1)21(2 7n)36. 这就是说，kn1 时命题也成立 由(1)(2)可知，命题对任何 kN*都成立 答案：答案：D 5已知已知 123332433n3n 1 3n(nab)c 对一切对一切

5、 nN*都成立，则都成立，则 a、b、c 的值为的值为 () Aa ， ，bc Babc 1 2 1 4 1 4 Ca0，bc D不存在这样的不存在这样的 a、b、c 1 4 解析：解析：等式对一切 nN*均成立， n1,2,3 时等式成立，即： Error!， 整理得Error!，解得 a ，bc . 1 2 1 4 答案：答案：A 6在数列在数列an中，中，a1 ，且 ，且 Snn(2n1)an，通过求，通过求 a2，a3，a4，猜想，猜想 an的表达式的表达式() 1 3 A. B. C. D. 1 (n1)(n 1) 1 2n(2n1) 1 (2n1)(2n1) 1 (2n1)(2n2

6、) 解析：解析：由 a1 ，Snn(2n1)an， 1 3 得 S22(221)a2，即 a1a26a2， a2，S33(231)a3， 1 15 1 3 5 即 a315a3.a3，a4. 1 3 1 15 1 35 1 5 7 1 7 9 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 7猜想猜想 11,14(12),149123，第，第 n 个式子为个式子为_ 答案：答案：149(1)n 1n2 (1)n 1(1 23n) 8 如图， 第 如图， 第 n 个图形是由正个图形是由正 n2 边形 “扩展” 而来边形 “扩展” 而来(n1,2,3，)， 则第， 则第 n2(n3， nN*) 个图形中共有

7、个图形中共有_个顶点个顶点 解析：当解析：当 n=1 时，顶点共有时，顶点共有 12=34(个个)， n=2 时，顶点共有时，顶点共有 20=45(个个)， n=3 时，顶点共有时，顶点共有 30=56(个个)， n=4 时，顶点共有时，顶点共有 42=67(个个)， 故第故第 n 个图形共有顶点个图形共有顶点(n+2)(n+3)个，个， 第第 n-2 个图形共有顶点个图形共有顶点 n(n+1)个个 答案：答案：n(n+1) 9设平面内有设平面内有 n 条直线条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一 点若用 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一 点若用

8、 f(n)表示这表示这 n 条直线交点的个数，则条直线交点的个数，则 f(4)_；当；当 n4 时，时，f(n) _(用用 n 表示表示) 解析：解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9， 每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数 f(3)f(2)2， f(4)f(3)3， f(5)f(4)4， f(n)f(n1)n1. 累加，得 f(n)f(2)234(n1) (n2) 2(n 1) 2 f(n) (n1)(n2) 1 2 答案：答案：5 (n1)(n2) 1 2 三、解答题三、解答题 10已知点已知点 Pn(an，bn)满足满足 an 1 anbn 1， ，bn 1 (

9、nN*)且点且点 P1的坐标为的坐标为(1， bn 1 4a2 n 1) (1)求过点求过点 P1，P2的直线的直线 l 的方程；的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于试用数学归纳法证明：对于 nN*，点，点 Pn都在都在(1)中的直线中的直线 l 上上 解：解：(1)由 P1的坐标为(1，1)知 a11，b11. b2 . b1 1 4a2 1 1 3 a2a1b2 . 1 3 点 P2的坐标为( ， ) 1 3 1 3 直线 l 的方程为 2xy1. (2)当 n1 时， 2a1b121(1)1 成立 假设 nk(kN*，k1)时，2akbk1 成立， 则 2ak1bk12akbk1bk

10、1(2ak1) bk 1 4a2 k 1， bk 1 2ak 1 2ak 1 2ak 当 nk1 时，命题也成立 由知，对 nN*，都有 2anbn1， 即点 Pn在直线 l 上 11数列数列an满足满足 a11，a22，an 2 (1cos2)an n 2 sin2，n1,2,3，. n 2 (1)求求 a3，a4并求数列并求数列an的通项公式；的通项公式； (2)设设 bn，Snb1b2bn.证明：当证明：当 n6 时，时， a2n 1 a2n |Sn2| . 1 n 解：解：(1)因为 a11，a22， 所以 a3(1cos2)a1sin2a112， 2 2 a4(1cos2)a2sin

11、22a24. 一般地，当 n2k1(kN*)时，a2k11cos2a2k1sin2a2k1 (2k1) 2 (2k1) 2 1，即 a2k1a2k11. 所以数列a2k1是首项为 1、公差为 1 的等差数列， 因此 a2k1k. 当 n2k(kN*)时，a2k2(1cos2)a2ksin22a2k. 2k 2 2k 2 所以数列a2k是首项为 2、公比为 2 的等比数列， 因此 a2k2k. 故数列an的通项公式为 anError! (2)由(1)知，bn， a2n 1 a2n n 2n 所以 Sn ， 1 2 2 22 3 23 n 2n Sn， 1 2 1 22 2 23 3 24 n 2

12、n 1 得， Sn 1， 1 2 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n 1 1 21 (f(1,2)n 11 2 n 2n 1 1 2n n 2n 1 所以 Sn22. 1 2n 1 n 2n n 2 2n 要证明当 n6 时，|Sn2| 成立，只需证明当 n6 时，1 成立 1 n n(n2) 2n (1)当 n6 时， 1 成立 6 (62) 26 48 64 3 4 (2)假设当 nk(k6)时不等式成立，即1. k(k2) 2k 则当 nk1 时， 1. (k1)(k 3) 2k 1 k(k2) 2k (k1)(k 3) 2k(k2) (k1)(k 3) (k2)2k 由(1

13、)、(2)所述，当 n6 时，1. n(n2) 2n 即当 n6 时，|Sn2| . 1 n 12设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且方程，且方程 x2anxan0 有一根为有一根为 Sn1，n1,2,3，. (1)求求 a1，a2； (2)猜想数列猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明的通项公式，并给出严格的证明 解：解：(1)当 n1 时，x2a1xa10 有一根为 S11a11， 于是(a11)2a1(a11)a10，解得 a1 . 1 2 当 n2 时，x2a2xa20 有一根为 S21a2 ， 1 2 于是(a2 )2a2(a2 )a20， 1 2 1 2 解得 a2 . 1 6 (2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0， S 2Sn1anSn0. 2 n 当 n2 时，anSnSn1， 代入上式得 Sn1Sn2Sn10. 由(1)