人教大纲版高考数学题库考点17椭圆

1、 考点 17 椭圆考点 17 椭圆 1.（2010全国高考卷理科12）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若3AFFB .则 k =（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【命题立意】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质及椭圆的第二定义等知识. 【思路点拨】运用椭圆的第二定义和数形结合方法解决. 【规范解答】 选 B，如图，过 A，B 分别作椭圆准线 的垂线 AM，BN，过 B 作 BPAM， 则, 2 3 , 2 3 BN BF AM AF 又,所以3 BN AM

2、 ,AF3FB AP=2BN,AB=4BF= 4BAPBNBNtank, 3 3 AB AP BAPcos,32 2 3 斜率2. 【方法技巧】结合图形运用椭圆的第二定义是解决直线过焦点问题的常用方法. 2.（2010四川高考理科9）椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点为F，其右准线与x轴 的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值 范围是（ ） （A） 2 0, 2 （B） 1 0,2 （C） 2 1,1 （D） 1,1 2 【命题立意】本题考查椭圆离心率的取值范围、准线方程，椭圆上的点到焦点的距离的取值 范围及线段垂直平分线的性质等基础知

3、识.考查用代数方法解决解析几何问题的能力. 【思路点拨】椭圆右焦点( ,0)F c到右准线 2 a x c 的距离为 22 ab c cc ，由线段垂直平分 A P O F B M N y x 线的性质可知 2 b PF c ，又椭圆上的点到焦点的距离的范围为,ac ac. 2 , b ac ac c 2 , b ac ac c .利用 222 bac消去 2 b，从而找到a,c之间的不等式，进一步求出 c a 的范围，再结合椭圆的离心率的范围求出本题中离心率e 的取值范围. 【规范解答】选 D.由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即AFPF， 22 ab FAc cc

4、，又 ,PFac ac， 2 , b ac ac c .即 2 b acac c ， 222 accbacc. 222 222 accac acacc ， . 1 1 1 2 c a cc aa ， 或. 即1 c a 或 1 1 2 c a .又椭圆的离心率(0,1)e， 1 ,1 2 e . 【方法技巧】涉及几何图形的问题，画出图形，数形结合，利用几何性质，很快找到突破口. 3.（2010湖北高考文科15）已知椭圆 2 2 :1 2 x cy的两焦点为 12 ,F F,点 00 (,)P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y,则 1 PF+ 2 PF的取值范围为_， 直线 0 0 1

5、 2 x x y y与椭圆 C 的公共点个数为_. 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和性质及直线与椭圆的位置关系，考查考生的数形结合思想和运算 求解能力 【思路点拨】 画出图形，由数形结合及椭圆的定义和性质可得 1 PF+ 2 PF的取值范围；由直线与椭圆方程 联立所得解的个数可判断两图形公共点的个数. 【规范解答】依题意知，点 P 在椭圆内部且不与原点重合.画出图形，由数形结合可得，当 P 在线段 12 FF 上且不过原点时 1 PF+ 2 PF取得最小值 2；由 P 在椭圆内部知 1 PF+ 2 PF22 2a； 故所求范围为 2,2 2. 由 2 2 0 0 1 2 1 2 x y x

6、 x y y 消去y可得 2 2 0 0 22 00 2 10 2 x y xx xy ， 2 222 0 000 2(1) 2 x xyy （） 222222 000000 2(2)xxyyxy（）+ 222 000 (22)0yxy，故此直线与椭圆不可能有交点，即交点数为 0 个. 【答案】 2,2 2 0 【方法技巧】 1.由椭圆定义，对于椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，( , )P x y为平面上任意一点，当( , )P x y在椭 圆上时 1 PF+ 2 PF=2a；当( , )P x y在椭圆内时 1 PF+ 2 PF2a；当( , )P x y在椭圆外时 1 PF

7、+ 2 PF 2a. 2.直线与椭圆的位置关系的判断通常可转化为求两方程联立所得解的个数，从而将几何问题代数化. 4.（2010全国卷理科16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线 交C于点D，且FDBF2，则C的离心率为 . 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质，体现了数形结合思想 及方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径. 【思路点拨】利用FDBF2及椭圆的性质求出点D的坐 标，将点D的坐标代入到椭圆的标准方程得到cba,之间的 关系，从而求出椭圆的离心率. 【规范解答】设椭圆方程为：1 2 2 2 2 b y a x ， （)0 ba,设 F(xc,yc),D(x2,y2), F 分BD 所成的比为 2， 22 22 3022333 0 ;