人教大纲版高考数学题库考点18双曲线

1、 考点 18 双曲线考点 18 双曲线 1.（2010全国卷理科9）已知 1 F， 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F=60，则P到x轴的距离为（ ） (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 【命题立意】本小题主要考查双曲线的几何性质、余弦定理，突出考查双曲线中的焦点三角形问题，通过 本题可以有效地考查考生对知识的的综合运用能力，运算能力以及解决解析几何问题的解题技巧. 【思路点拨】方法一：利用双曲线的第一定义列出方程求解； 方法二：利用双曲线的第二定义，结合余弦定理求解；方法三：直接利用双曲线的焦点三角形的 面积公式 2 c

2、ot 2 bS . 【规范解答】选 B. （方法一）不妨设点P在双曲线的右支上， mPF | 1 ， nPF | 2 ，则 2 nm .由余弦定理得 （方法二）不妨设点 P 00 (,)xy 在双曲线的右支上,由双曲线的第二定义得 2 1000 |()12 a PFe xaexx c ， 2 2000 |)21 a PFe xexax c 2 2000 |)21 a PFe xexax c ， 2 0 a e(x) c 由余弦定理得 cos 1 F P 2 F = 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF , 即 cos60 222 00 00 (12)( 21)(2 2) 2

3、(12)( 21) xx xx , 解得 2 0 5 2 x ,所以 22 00 3 1 2 yx ，故 P 到 x 轴的距离为 0 6 | 2 y . （方法三）由焦点三角形面积公式得: 2.（2010江西高考理科）点 00 (,)A xy在双曲线 22 1 432 xy 的右支上，若点 A 到右焦点的距离 等于 0 2x，则 0 x _. 【命题立意】本题主要考查双曲线的基本知识，考查双曲线的焦半径公式及对知识的灵活运用能力 【思路点拨】先确定双曲线的基本量，再由双曲线的焦半径公式求解. 【规范解答】因为 2a ， 24b ，所以 6c ， 3e .由焦半径公式得 00 2xaex .代入

4、得 00 223xx ，解得 2 0 x . 【答案】 3.（2010重庆高考文科21）已知以原点O为中心，( 5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率 5 . 2 e （1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程. （2）如 图，已知过点 11 ( ,)M x y的直线 111 :44lx xy y与过点 22 (,)N xy（其中 21 xx）的直线 222 :44lx xy y的交点 E 在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交与G,H两点， 求OG OH 的值. 【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查 平面向量的运算求解能力，体现了方

5、程的思想和数形结合的思想方法. 【思路点拨】 （1）由e,c求出a，再由 222 cab求出b.（2）点 E 是关键点，根据点 E 的坐标求出直 线 MN 的方程，解两条直线组成的方程组得点 G，H 的坐标，即向量OG ,OH 的坐标，再进行向量的数量 积运算，化简、整理可得. 【规范解答】(1)设 C 的标准方程为 22 22 1 xy ab (a, 0b )， 则由题意知 5c .又 5 2 c e a ， 所以 2a ， 22 1bca ，所以 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y ， C 的渐近线方程为 1 2 yx ，即 20 xy 和 20 xy . （2） （方法一）由题意点

6、 (,) EE E xy 在直线 1 l ： 11 44x xy y 和 2 l ： 22 44x xy y 上， 因此有 11 44 EE x xy y ， 22 44 EE x xy y ， 所以点 M，N 均在直线 44 EE x xy y 上， 因此直线 MN 的方程为 44 EE x xy y . 设 G，H 分别是直线 MN 与渐近线 20 xy ， 20 xy 的交点， 故 22 442212 22224 EEEEEEEEEE OG OH xyxyxyxyxy . 因为点 E 在双曲线 2 2 1 4 x y 上，有 22 44 EE xy ，所以 22 12 3 4 EE OG

7、 OH xy . （方法二）设 (,) EE E xy ，由方程组 11 22 44 44 x xy y x xy y , , 解得 21 E 1221 12 E 1221 4(yy ) x x yx y , xx y. x yx y 因为 21 xx ，所以直线 MN 的斜率， 21E 21E yyx k xx4y 故直线 MN 的方程为 11 () 4 E E x yyxx y ，注意到 11 44 EE x xy y ， 因此直线 MN 的方程为 44 EE x xy y . 以下与方法一相同. 【方法技巧】 （1）字母运算是解答本题的主要特点.（2）已知与未知的相互转化，即关于点 E

8、的坐标的两 个等式 11 44 EE x xy y和 22 44 EE x xy y，通过转化字母的已知与未知的关系， E x和 E y看作已知， 点 11 ( ,)x y和 22 (,)xy代入方程44 EE x xy y，得到直线 MN 的方程.（3） 关键点 E 在解题中的关键作用. 4.（2010重庆高考理科20）已知以原点 O 为中心， 5,0F为 右焦点的双曲线 C 的离心率 5 2 e . （1）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程. （2）如图，已知过点 11 ,M x y的直线 111 :44lx xy y与 过点 22 ,N xy（其中 21 xx）的直线 222 :44

9、lx xy y的交点 E 在双曲 线 C 上，直线 MN 与两条渐近线分别交与 G，H 两点，求OGH的面积. 【命题立意】本小题主要考查直线、双曲线的基础知识，考查方程的思想和数形结合的思想方法. 【思路点拨】 （1）由 e,c求出a，再由 222 cab求出b.（2）点 E 是关键点，根据点 E 的坐标求出直 线 MN 的方程，解两条直线组成的方程组得到点 G，H 的纵坐标，求出直线与x轴的交点的横坐标，确定 OQ 的长，从而表示出OGH的面积，化简即得. 【规范解答】(1)设 C 的标准方程为 22 22 1 xy ab (a, 0b )，则由题意知 5c . 又 5 2 c e a ，

10、 所以 2a ， 22 1bca ，所以 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y , C 的渐近线方程为 1 2 yx ，即 20 xy 和 20 xy . （2） （方法一）如图， 由 题 意 点 (,) EE E xy 在 直 线 1 l ： 11 44x xy y 和 2 l ： 22 44x xy y 上， 因此有 11 44 EE x xy y ， 22 44 EE x xy y ， 所以点 M，N 均在直线 44 EE x xy y 上， 因此直线 MN 的方程为 44 EE x xy y . 设 G，H 分别是直线 MN 与渐近线 20 xy ， 20 xy 的交点， 设 MN

11、 与x轴的交点为 Q，则在直线 44 EE x xy y 中，令 0y ，因为 0 E x ， 所以 4 Q E x x .又因为 22 44 EE xy ， 所以 1 2 OGHGH SOQyy 411 22 EEEEE xxyxy 22 24 2 4 E E EE x xxy ，即 OGH 的面积是 2. （方法二）设 (,) EE E xy ，由方程组 11 22 44 44 x xy y x xy y 解得 ， ， 21 E 1221 12 E 1221 4(yy ) x, x yx y xx y. x yx y + 因为 21 xx ，所以直线 MN 的斜率故直线 MN 的方程为 1

12、1 () 4 E E x yyxx y ， 21E 21E yyx k, xx4y 注意到 11 44 EE x xy y ，因此直线 MN 的方程为 44 EE x xy y . 以下与方法一相同. 【方法技巧】 （1）字母运算是解答本题的主要特点.（2）已知与未知的相互转化，即关于点 E 的坐标的两 个等式 11 44 EE x xy y和 22 44 EE x xy y，通过转化字母的已知与未知的关系， E x和 E y看作已知， 点 11 ( ,)x y和 22 (,)xy代入方程44 EE x xy y，得到直线 MN 的方程.（3） 关键点 E 在解题中的关键作用. 5.（2010

13、全国高考卷理科21）已知斜率为 1 的直线l与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交 于 B,D 两点，且 BD 的中点为 M（1,3） （）求 C 的离心率. （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17. 证明：过 A，B，D 三点的圆与 x 轴相切. 【命题立意】本题考查了直线、双曲线、直线与双曲线的位置关系等知识，考查推理论证能力、运算求解 能力，体现了数形结合思想及化归与转化思想. 【思路点拨】由已知可得直线方程，代入双曲线方程，由根与系数的关系与已知 M 点得到 a、b 的关系， 及得离心率。第二问用韦达定理及|DF|BF|=17，可求得双

14、曲线的方程，考查并证明 MA=MB=MD 且 MAx 轴. 【规范解答】 （1）由题意知，l的方程为：y=x+2.代入 C 的方程化简，得 （b 2 -a 2 ）x 2 -4a 2 x-4a 2 - 22 a b =0 设 B（x1,y1） 、D(x2,y2),则 x1+x2= 22 2 a4 ab ,x 1 x2= 22 222 a4 ab ba 由 M（1，3）为 BD 的中点知 2 x 21 x ，故 1 4 2 1 22 2 ab a ，即 22 3ba 故aba2 22 所以的离心率2 a c e （）由可知，C 的方程为： 222 3x3ay ， A（a,0）,F(2a,0),2 21 xx, 2 34 2 21 a xx 0, 故不妨设., 21 axax BF 2 1 BF32aax 2222 1111 （x -2a) +y（x -2a) +3x FD=,233)2()2x( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 axaxaxya FDBF = . 8 45)(24)2)(2( 22 212121 aaaxxaxxaxxa 又FDBF=17，故1784a5 2 a解得 5 9 , 1aa或 故BD=2 21 xx =, 64)( 21 2 21 xxxx 连结 MA，则由 A（1，0） ，M（1，3）知 MA=MB=MD,且 MAx轴，因此以 M 为圆心，