人教大纲版高考数学题库考点9角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切

1、 考点 9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切考点 9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切 1.（2010全国卷文科1）cos300 （ ） (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【思路点拨】利用角的推广公式将然后根据诱导公式求解. 【规范解答】选 C. 1 cos300cos 36060cos60 2 . 2.（2010全国卷理科2）记cos( 80 )k ,那么tan100 （ ） (A) 2 1k k (B)- 2 1k k (C) 2 1 k k (D) - 2 1 k k 【

2、命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的 弦切互化. 【思路点拨】由1cossin 22 及cos( 80 )k 求出 sin80，再利用公式 cos sin tan 求出 tan100的值. 【规范解答】选 B.方法一： 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k , 所以tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k 方法二：cos( 80 )k cos(80 )k cos80=k， 3.（2010江西高考理科）E，F 是等腰直角ABC斜边 AB 上的三等分点，则tan ECF（ ） (A) 16 2

3、7 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 3 4 【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式 【思路点拨】先求ACE、BCF的三角函数值，再求ECF的正切. 【规范解答】选设=ACE，=BCF，则 tan=tan= 2 1 ，所以tanECF ) 2 tan( = 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 tan tantan1 )tan( 1 . 【方法技巧】 本题也可建立直角坐标系，利用向量坐标来解决，以点 C 为坐标原点，CA，CB 分别为 x 轴和 y 轴建立直角坐标系，且设直角边长为 3，则 C（0,0） ，A（3,0） ，B（0,3） ，E（2,1） ，

4、F（1,2） ，所以 )2 , 1 (),1 , 2(CFCE， 5 4 55 1221 cos CFCE CFCE ECF，故tanECF 3 4 .在解决平面几 何有关问题时，利用坐标向量求角、距离，判断平行、垂直，来得更加快捷，思路也畅顺. 4.（2010全国高考卷文科13）已知是第二象限的角, 2 1 tan，则 cos=_ 【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式. 【思路点拨】利用同角的平方关系和商数关系列出方程求解.注意是第二象限的角，即 cos0. 【规范解答】 2 1sin con 及1sin 22 con,是第二象限的角.所以 cos=- 5 52 . 【答案】- 5

5、52 5.（2010全国文科14）已知为第二象限的角， 3 sin 5 ,则tan2 . 【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了 基本运算能力及等价变换的解题技能. 【思路点拨】由为第二象限的角，利用1cossin 22 ，求出cos，然后求出tan.利 用倍角的正切公式代入求解. 【规范解答】因为为第二象限的角,又 3 sin 5 , 所以 4 cos 5 ， sin3 tan cos4 , 所以tan2 2 2tan24 tan(2 ) 1tan7 . 【答案】 24 7 6.（2010全国理科14）已知为第三象限的角， 3 cos2

6、5 ,则tan(2 ) 4 . 【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了 2 sin801 . cos80 k k 2 sin801 . cos80 k k 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 tan tantan1 )tan( 1 基本运算能力及等价变换的解题技能. 【思路点拨】由为第三象限的角，判断2 所在的象限，然后利用 sin22+cos22=1 求出2sin的值，由2cos和2sin求出2tan的值，再根据两角和的正切公式化简计算求值. 【规范解答】 【方法 1】因为为第三象限的角,所以2(2(21) ,2(21) )()k

7、kkZ ，又 3 cos2 5 0, 所以2(2(21) ,2(21) )() 2 kkkZ ,于是有 4 sin2 5 , sin24 tan2 cos23 ,所以tan(2 ) 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 . 【方法 2】为第三象限的角， 3 cos2 5 ， 3 22 2 kk，kZ 42243kk ，kZ 2 在第二象限， 4 sin2 5 sin(2 )sincos2cossin2 cos2sin21 444 tan(2 ) 4cos2sin27 cos(2 )coscos2sinsin2 444 . 【答案】 1 7 7.（2010上海高考

8、理科4）行列式 cossin 36 sincos 36 的值是 【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用 【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值 【规范解答】原式=0 0 2 2 c co os s) ) 6 63 3 c co os s( ( 6 6 s si in n 3 3 s si in n 6 6 c co os s 3 3 c co os s 【答案】0 8.（2010上海高考文科3）行列式 cossin 66 sincos 66 的值是 【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用 【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值 【

9、规范解答】原式= 2 2 1 1 3 3 c co os s 6 6 s si in n 6 6 c co os s 6 6 s si in n 6 6 s si in n 6 6 c co os s 6 6 c co os s 2 22 2 【答案】 2 2 1 1 9.（2010重庆高考文科5） 如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成 的一条封闭曲线 C，各段弧所在的圆经过同一点 P（点 P 不在 C 上）且半径相 等。设第 i 段弧所对的圆心角为i（i=1,2,3） ，则 232311 coscossinsin 3333 【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，

10、考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】第 i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角 形求解. 【规范解答】作三段圆弧的连心线，连结一段弧的 两个端点，如图所示, 123 OO O是正三角形，点 P 是其中心， 根据圆的有关性质可知 1 2 3 AO B， 第 i 段弧所对的圆心角为i都是 4 3 ， 所以 232311 coscossinsin 3333 231231 41 cos()coscos 33332 【答案】 1 2 【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快速解答. 10.（2010四川高考理科19）

11、（）证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin ； 由C 推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin +S:sin()sincoscossin . （）已知ABC的面积 1 ,3 2 SABAC 1 ,3 2 SABAC ，且 3 5 cosB ，求cosC. 【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、 同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（）为课本上的内容，体现出试题源于课 本的特点. 【思路点拨】 （I）在单位圆中，分别作出角，利用三角函数定义，分别写出各角 的终边，始边与单位圆的交点坐标，由

12、圆的性质，可知 1324 PPP P，结合两点间距离公式即可求解. 中 求的是两角和的正弦值，需借助能把余弦变为正弦的诱导公式，故可用sin()() 2 cos 求 解.本题第（）问，由三角形的面积公式，向量的数量积公式可求得角A的正、余弦值，又知B的余弦 值， 故可求cos()AB的值，由诱导公式coscos()CABcos()AB . 【规范解答】 （I）如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O， 并作出角，与，使角的始边为Ox，交O于点 1 P， 终边交O于点 2 P；角的始边为 2 OP,终边交O于点 3 P， 的始边位 1 OP，终边交O于点 4 P，则 1(1,0) P， 2(co

13、s ,sin )P， 3(cos( ),sin()P， 4(cos( ),sin()P， 由 1324 PPP P及两点间的距离公式得 222 2 cos() 1sin ()cos()cossin()sin展开并整理得， 22cos()22(coscossinsin)， cos()coscossinsin. cos()sin 2 ，sin()cos 2 ， 由易得sin()cos()cos ()() 22 cos()cos()sin()sin() 22 sincoscossin， sin()sincoscossin. （II）由题意，设ABC的角B，C的对边分别为b、c， 则 S 11 sin

14、 22 sbcA，cos30AB ACBCA bccos30AB ACBCA (0,) 2 A ，cos3sinAA， 又 22 sincos1AA, 103 10 sin,cos 1010 AA. 由 3 cos 5 B 得， 4 sin 5 B . 10 cos()coscossinsin 10 ABABAB. 故 10 coscos()cos() 10 CABAB . 【方法技巧】对于本题的第（I）可用向量求解. 解法如下：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O， 以Ox为始边作角，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A，B 则 cos ,sin)A( ，B (cos,sin)OB ， (co

15、s ,sin)OA ， (cos,sin)OB ， cos()cos()OA OBOA OB coscossinsinOA OB ， cos( )coscossinsin . 由向量数量积的概念可知，须 0,0,， 则 ,2 时，2()0,(0,， cos 2()cos()OA OB ，故对任意的， 都有cos( )coscossinsin 成立. cos()cos()coscos()sinsin() coscossinsin . 11.（2010四川高考文科19） （）证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin ； 1 由C 推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin . 2 （）已知 431 cos,( ,),tan,(, ),cos() 5232 求cos(). 【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面