高三数学总复习练习一模考前专项训练

1、数学思想专项训练(一)函数与方程思想 方法概述适用题型 函数思想，是指用函 数的概念和性质去分析问 题、转化问题和解决问 题方程思想，是从问题 中的数量关系入手，运用 数学语言将问题中的条件 转化为数学模型(方程、不 等式或方程与不等式的混 合组)， 然后通过解方程(组) 或不等式(组)来使问题获 解有时，还通过函数与 方程的互相转化、接轨， 达到解决问题的目的. 函数与方 s 程的思想在解题中的应用十分广泛， 主要有以下 几种类型： (1)函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时， 就化为不等式 f(x)0， 借助于函数的图象和性质可解决有关问题， 而研究函数的性质也离不开不

2、等式 (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函 数的观点去处理数列问题十分重要 (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解 决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需 要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直 角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切. 一、选择题 1已知函数 f(x)ln xxa 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为() A(，1B(，1) C1，) D(1，) 解析：选 B函数 f(x)ln xxa 的零点即关于 x 的方程 ln xxa0 的实根，将方 程化为 ln xx

3、a，令 y1ln x，y2xa，由导数知识可知当两曲线相切时有 a1.若函数 f(x)ln xxa 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为(，1) 2已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)0 的解集是(，1)，则 a 等于 ( 1 2，) () A2 B2 C D. 1 2 1 2 解析：选 B根据不等式与对应方程的关系知1， 是一元二次方程 ax2(a1)x1 1 2 0 的两个根，所以1 ，所以 a2，故选 B. ( 1 2 ) 1 a 3(2015天津六校联考)若等差数列an满足 a a10，则 Sa100a101a199的 2 12100 最大值为() A600 B500 C40

4、0 D200 解析 ： 选 BSa100a101a199100a100d100(a199d)d， 100 99 2 100 99 2 即 99d a1，因为 a a10，即 a (a199d)210，整理得 a 210， S 150 2 3 2 121002 12 1 ( 1 3a 1 S 150) 即a a1 2100 有解，所以 24 0，解得 10 9 2 1 S 225 ( S 150 )( S 225 ) 10 9 ( S 150 ) 210 500S500，所以 Smax500，故选 B. 4已知 f(x)log2x，x2,16，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，则使 x2m

5、x42m 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为() A(，2 B2，) C(，22，) D(，2)(2，) 解析 ： 选 Dx2,16，f(x)log2x1,4，即 m1,4不等式 x2mx42m4x 恒成立，即为 m(x2)(x2)20 恒成立，设 g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1,4上 恒大于 0，所以Error!即Error!解得 x2 或 x2. 5(2015黄冈质检)已知点 A 是椭圆 1 上的一个动点，点 P 在线段 OA 的延长线 x2 25 y2 9 上，且48，则点 P 的横坐标的最大值为() OA OP A18 B15 C10 D.15 2 解析：选 C当点 P

6、的横坐标最大时，射线 OA 的斜率 k0，设 OA：ykx，k0，与 椭圆 1 联立解得 xA .又xAxPk2xAxP48，解得 xP x2 25 y2 9 15 925k2 OA OP 48 1k2 x A ，令 925k2t9，即 k2，则 xP25 16 925k2 51k2 16 5 925k2 1k22 t9 25 16 5 t ( t16 25 ) 2 16 5 8080 10，当且仅当 t16，即 k2时取等号，所以 t t216232t 1 t16 2 t 32 1 64 7 25 点 P 的横坐标的最大值为 10，故选 C. 6(2015杭州二模)设 Sn为等差数列an的前

7、 n 项和，(n1)SnnSn1(nN*)若 a8 a7 1，则() ASn的最大值是 S8 BSn的最小值是 S8 CSn的最大值是 S7 DSn的最小值是 S7 解析：选 D由(n1)SnnSn1得(n1)n，整理得 anan1， na1an 2 n1a1 an1 2 所以等差数列an是递增数列，又1，所以 a80，a70，所以数列an的前 7 项为负 a8 a7 值，即 Sn的最小值是 S7.故选 D. 二、填空题 7已知 f(x)为定义在 R 上的增函数，且对任意的 xR，都有 ff(x)2x3，则 f(3) _. 解析：设 f(x)2xt，则 f(t)3，f(x)2xt， 所以 2t

8、t3，易得方程 2tt3 有唯一解 t1， 所以 f(x)2x1，所以 f(3)9. 答案：9 8已知奇函数 f(x)的定义域为 R，当 x0 时，f(x)2xx2.若 xa，b时，函数 f(x)的 值域为，则 ab_. 1 b， 1 a 解析：由题意知 ab，且 ，则 a，b 同号，当 x0 时，f(x)2xx2(x1)2 1 a 1 b 11，若 0ab，则 1，即 a1.因为 f(x)在1，)上单调递减，所以Error!解得Error! 1 a 所以 ab. 1 5 2 由 f(x)是奇函数知， 当 x0 时， f(x)x22x， 同理可知， 当 ab0 时，Error!解得Error!

9、 所以 ab.综上，ab. 1 5 2 1 5 2 答案：1 5 2 9为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级 参加该小组的人数作为样本数据 已知样本平均数为 7， 样本方差为 4， 且样本数据互不相同， 则样本数据中的最大值为_ 解析：设 5 个班级的样本数据从小到大依次为 0abcde.由平均数及方差的公式 得7，4.设 a7， b7， c7， d abcde 5 a72b72c72d72e72 5 7，e7 分别为 p，q，r，s，t，则 p，q，r，s，t 均为整数，且Error!设 f(x)(xp)2(x q)2(xr)2(xs)24x22(p

10、qrs)x(p2q2r2s2)4x22tx20t2， 由(xp)2， (x q)2，(xr)2，(xs)2不能完全相同知 f(x)0，则判别式 0，即 4t244(20t2)0， 解得4t4，所以3t3，故 e 的最大值为 10. 答案：10 10(2015东城期末)若函数 f(x)m的定义域为a，b，值域为a，b，则实数 mx3 的取值范围是_ 解析 ： 易知 f(x)m在a， b上单调递减， 因为函数 f(x)的值域为a， b， 所以Error!x3 即Error!两式相减得，ab(a3)(b3)()2()2，所以a3b3a3b3 1，因为 ab，所以 0 ，而 maa1，所以 ma3b3

11、a3 1 2 b3a3 (a3)2 2 ，又 0 ，所以 m2.a3 ( a31 2) 9 4 a3 1 2 9 4 答案：(9 4，2 二、解答题 11.如图， 在平行四边形 ABCD 中， BC2， BDCD， 四边形 ADEF 为正方形， 平面 ADEF平面 ABCD.记 CDx，V(x)表示四棱锥 FABCD 的体积 (1)求 V(x)的表达式； (2)求 V(x)的最大值 解：(1)平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD 且 FAAD，FA平面 ABCD. BDCD，BC2，CDx. FA2，BD(0 x2)，4x2 SABCDCDBDx，4x2 V(x) SABCDFA x(0

12、 x2) 1 3 2 3 4x2 (2)V(x) x 2 3 4x2 2 3 x44x2 . 2 3 x2224 0 x2，0 x24， 当 x22，即 x时，V(x)取得最大值，且 V(x)max .2 4 3 12设 P 是椭圆y21(a1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大 x2 a2 值 解：依题意可设 P(0,1)，Q(x，y)，则 |PQ|.x2y12 又因为 Q 在椭圆上，所以 x2a2(1y2) |PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2 (1a2) 2 1a2， ( y 1 1a2) 1 1a2 因为|y|1，a1，若 a，则1，2 |

13、1 1a2| 当 y时，|PQ|取最大值； 1 1a2 a2a21 a21 若 1a，则当 y1 时，|PQ|取最大值 2，2 综上，当 a时，|PQ|的最大值为；当 1a时，|PQ|的最大值为 2.2 a2a21 a21 2 数学思想专项训练(二)转化与化归思想 方法概述适用题型 转化与化归思想 方法在研究、 解决数学 问题中， 当思维受阻时 考虑寻求简单方法或 从一种情形转化到另 一种情形， 也就是转化 到另一种情境使问题 得到解决， 这种转化是 解决问题的有效策略， 同时也是成功的思维 方式. 常见的转化方法有以下几种类型： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基 本

14、图形问题； (2)换元法：运用“换元” 把式子转化为有理式或使整式降幂等， 把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题； (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图 形)关系，通过互相变换获得转化途径； (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达 到化归的目的； (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特 殊化后的问题，结论适合原问题. 一、选择题 1已知函数 f(x)ln x2x，若 f(x24)2，则实数 x 的取值范围是() A(2,2)B(2，)5 C(，2) D(，2)(2，)555 解析：选 D因为函数 f(x)ln

15、 x2x在定义域上单调递增，且 f(1)ln 122，所以由 f(x24)2 得 f(x24)f(1)，所以 0 x241，解得x2 或 2x.55 2已知函数 f(x)ax和函数 g(x)bx都是指数函数，则“f(2)g(2)” 是“ab” 的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 C由于函数 f(x)ax和函数 g(x)bx都是指数函数，则 a0 且 a1，b0 且 b1，f(2)g(2)等价于 a2b2，等价于 ab，所以“f(2)g(2)”是“ab”的充要条 件故选 C. 3 如图所示， 在棱长为 5 的正方体 ABCDA1B1C1D1

16、中， EF 是棱 AB 上的一条线段，且 EF2，点 Q 是 A1D1的中点，点 P 是棱 C1D1上的 动点，则四面体 PQEF 的体积() A是变量且有最大值 B是变量且有最小值 C是变量有最大值和最小值 D是常量 解析：选 D点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以EFQ 的面积为定值由 C1D1EF，可 得棱 C1D1平面 EFQ，所以点 P 到平面 EFQ 的距离是常数于是四面体 PQEF 的体积为常 数 4已知点 P 在直线 xy50 上，点 Q 在抛物线 y22x 上，则|PQ|的最小值为() A. B2 9 2 4 2 C. D. 3 2 2 2 解析 ： 选 A设与直线 xy5

17、0 平行且与抛物线 y22x 相切的直线方程是 xym 0，则由Error!消去 x 得 y22y2m0，令 48m0，得 m ，因此|PQ|的最小值为直 1 2 线 xy50 与直线 xy 0 之间的距离，即. 1 2 | 51 2 | 2 9 2 4 5在平面直角坐标系中，若与点 A(1,1)的距离为 1，且与点 B(2，m)的距离为 2 的直线 l 恰有两条，则实数 m 的取值范围是() A12，12 B(12，12)2222 C12，1)(1,12 D(12，1)(1,12)2222 解析：选 D由题意可得，以点 A(1,1)为圆心、1 为半径的圆与以点 B(2，m)为圆心、2 为半径

18、的圆相交，则 11(m1)29，得 12m12 且 m1.22 6若不等式 2xln xx2ax3 恒成立，则实数 a 的取值范围是() A(，0) B(，4 C(0，) D4，) 解析 ： 选 B2x ln xx2ax3 恒成立，即 a2ln xx 恒成立设 h(x)2lnxx 3 x ，则 h(x)(x0)当 x(0,1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递减 ； 当 x(1， 3 x x3x1 x2 )时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4.所以 ah(x)min4. 二、填空题 7 已知 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函数， 对任意的 x10， x2

19、0， 若 x1x2， 则fx 2fx1 x2x1 0.如果 f ，4f3，那么 x 的取值范围为_ ( 1 3 ) 3 4 ( log1 8x) 解析：依题意得，函数 f(x)在0，)上是减函数，又 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函 数，所以函数 f(x)在(，0)上是增函数，则 4f3 等价于 f ，即 f ( log 1 8x) ( log 1 8x) 3 4 ( log 1 8x) f，所以 ，解得 x2. ( 1 3 )| log 1 8x| 1 3 1 2 答案：(1 2，2 ) 8已知 tan()1，tan()2，则_. sin 2 cos 2 解析： sin 2 cos 2

20、sin cos sincoscossin coscossinsin 1. tantan 1tantan 答案：1 9(2015西城期末)已知命题 p：x0R，ax x0 0.若命题 p 是假命题，则实数 a 2 0 1 2 的取值范围是_ 解析：因为命题 p 是假命题，所以綈 p 为真命题，即xR，ax2x 0 恒成立当 1 2 a0 时，x ，不满足题意；当 a0 时，要使不等式恒成立，则有 1 2 Error!即Error!解得Error!，所以 a ，即实数 a 的取值范围是. 1 2 ( 1 2，) 答案：(1 2，) 10若椭圆 C 的方程为 1，焦点在 x 轴上，与直线 ykx1

21、总有公共点，那么 m x2 5 y2 m 的取值范围为_ 解析：由椭圆 C 的方程及焦点在 x 轴上，知 0m5. 又直线 ykx1 与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上 则1，即 m1. 02 5 12 m 故 m 的取值范围为1,5) 答案：1,5) 三、解答题 11 (2015潍坊二检)设奇函数 f(x)在1,1上是增函数， 且 f(1)1， 若函数 f(x)t2 2at1(其中 t0)对所有的 x1,1都成立，当 a1,1时，求 t 的取值范围 解：因为奇函数 f(x)在1,1上是增函数，且 f(1)1，所以最大值为 f(1)1，要使 f(x)

22、t22at1 对所有的 x1,1都成立， 则 1t22at1， 即 t22at0.令 g(a)2ta t2，可知Error!即Error! 解得 t2 或 t2. 故 t 的取值范围为(，22，) 12设 P 是双曲线 y21 右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知 A 点的坐标 x2 3 是(3,1)，求|PA|PF|的最小值 解：设 F为双曲线的左焦点， 则|PF|PF|2，3 |PF|PF|2，3 |PA|PF|PA|PF|2，原问题转化成了求 |PA|PF|3 的最小值问题，(如图)(|PA|PF|)min|AF|.26 (|PA|PF|)min(|PA|PF|)min2 3 2

23、.263 数学思想专项训练(三)分类讨论思想 方法概述适用题型 所谓分类讨论，就是当问 题所给的对象不能进行统一研 究时，如不能用同一标准、同 一种运算、同一个定理或同一 种方法去解决，因而会出现多 种情况，我们就需要对研究的 对象进行分类，然后对每一类 分别研究， 得出每一类的结论， 最后综合各类的结论得到整个 问题的解答实质上分类讨论 是“化整为零，各个击破，再 积零为整”的策略分类讨论 时应注意理解和掌握分类的原 则、方法与技巧，做到“确定 对象的全体， 明确分类的标准， 不重复、不遗漏地分类讨论”. 分类讨论的常见类型有以下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论 ： 有的概念本身是分类

24、的， 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等； (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数 学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不 一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等； (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数 不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运 算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角 函数的定义域等； (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：如角的终边所在 的象限；点、线、面的位置关系等； (5)由参数的变化引起的分类讨论 ： 某些含有参数的问题， 如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得 结果不

25、同， 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方 法. 一、选择题 1 已知集合 Ax|1x5， Bx|axa3 若 BAB， 则 a 的取值范围为() A.B. ( 3 2，1 ( ，3 2 C. D. (，1 ( 3 2，) 解析：选 C因为 BAB，所以 BA. 当 B时，满足 BA，此时aa3，即 a ； 3 2 当 B时，要使 BA，则Error! 解得 a1. 3 2 由可知，a 的取值范围为(，1 2设函数 f(x)Error!若 f(2)f(0)，f(1)3，则方程 f(x)x 的解集为() A. B. 22 C. D. 2，22，1，2 解析：选 C当 x0 时，f(x)x2

26、bxc，因为 f(2)f(0)，f(1)3，则Error!解 得Error! 故 f(x)Error!当 x0 时，由 f(x)x，得 x22x2x，解得 x2 或 x1(舍去)当 x0 时，由 f(x)x，得 x2.所以方程 f(x)x 的解集为2,2 3.(2015成都一诊)如图，函数 yf(x)的图象为折线 ABC，设 g(x) ff(x)，则函数 yg(x)的图象为() 解析：选 A由题意可知函数 f(x)为偶函数，由 A(1，1)，B(0,1)，C(1，1)可知， 直线 BC 的方程为 y2x1，直线 AB 的方程为 y2x1，所以 f(x)Error! 讨论 x0 的情况， 若 0

27、 x ， 解得 0f(x)1， 则 g(x)ff(x)2(2x1)14x 1 2 1； 若 x1，解得1f(x)0，则 g(x)ff(x)2(2x1)14x3， 1 2 所以当 x0,1时，g(x)Error!故选 A. 4已知函数 f(n)Error!且 anf(n)f(n1)，则 a1a2a3a100的值为() A100 B100 C102 D101 解析 ： 选 A当 n 为奇数时，an(n1)2(n2)2(2n3)； 当 n 为偶数时，an(n 1)2(n2)22n3，所以 an(1)n(2n3)所以 a1a2a3a10057911 201203502100. 5有标号分别为 1,2,

28、3 的红色卡片 3 张，标号分别为 1,2,3 的蓝色卡片 3 张，现将全部的 6 张卡片放在两行三列的格内(如图) 若颜色相同的卡片在同一行， 则不同的放法种数为() A36 B48 C72 D64 解析：选 C分两种情况，第一行放红色卡片，有 A A 36 种放法；第一行放蓝 3 33 3 色卡片，有 A A 36 种放法，所以符合题意的放法共有 72 种 3 33 3 6 三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的 6 条直线中， 能 构成异面直线的条数的集合是() A4,5 B3,4,5 C3,4,6 D3,4,5,6 解析：选 D如图所示，当直线 l 在图(1)、(

29、2)、(3)、(4)中所示的位置时，与 l 异面的直 线分别有 3 条、4 条、5 条、6 条，故能构成异面直线的条数的集合是3,4,5,6 二、填空题 7若函数 f(x)xasin x 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围为_ 解析 ： f(x)1acos x，要使函数 f(x)xasin x 在 R 上单调递增，则 1acos x0 对任意实数 x 都成立 1cos x1， 当 a0 时，aacos xa，a1，0a1； 当 a0 时，显然成立； 当 a0 时，aacos xa，a1，1a1 的解集为空集，a 不存在 综上所述，实数 a 的取值范围是. 3 4，1 答案：3 4，1

30、三、解答题 11在公差 d0 的等差数列an中，已知 a110，且 a1,2a22,5a3成等比数列，求|a1| |a2|a3|an|的值 解：由已知可得(2a22)25a1a3，即 4(a1d1)25a1(a12d)(11d)225(5d) 12122dd212525dd23d40d4(舍去)或 d1，所以 an11n，当 1n11 时， an0， |a1|a2|a3|an|a1a2a3an； n1011n 2 n21n 2 当 n12 时，an0，|a1|a2|a3|an|a1a2a3a11(a12a13an) 2(a1a2a3a11)(a1a2a3an)2.综 112111 2 n21n

31、 2 n221n220 2 上所述，|a1|a2|a3|an|Error! 12(2015唐山统一考试)已知函数 f(x). ex xex1 (1)证明：0f(x)1； (2)当 x0 时，f(x)，求 a 的取值范围 1 ax21 解：(1)证明：设 g(x)xex1，则 g(x)(x1)ex. 当 x(，1)时，g(x)0，g(x)单调递减； 当 x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增 所以 g(x)g(1)1e10. 又 ex0，故 f(x)0. f(x). ex1ex xe x 1 2 当 x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减

32、 所以 f(x)f(0)1. 综上，有 0f(x)1. (2)若 a0，则 x0 时，f(x)1，不等式不成立 1 ax21 若 a0，则当 0 x时，1，不等式不成立 1 a 1 ax21 若 a0， 则 f(x)等价于(ax2x1)ex10.(*) 1 ax21 设 h(x)(ax2x1)ex1， 则 h(x)x(ax2a1)ex. 若 a ，则当 x(0，)时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)0. 1 2 若 0a ，则当 x时，h(x)b0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，a x2 a2 y2 b2 为半径作圆 M.若过点 P作圆 M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心

33、率为 ( a2 c ，0) _ 解析 ： 设切点为 A， 如图所示， 切线 AP， PB 互相垂直， 又半径 OA 垂 直于 AP，所以OPA 为等腰直角三角形，可得a，所以 e 2 a2 c c a . 2 2 答案： 2 2 10已知函数 f(x)x22x，xa，b的值域为1,3，则 ba 的取值范围是 _ 解析：作出函数 f(x)x22x 的图象如图所示，因为 f(x)的值域为1,3，所以a 1，b1,3，此时 ba2,4；b3，a1,1，此时 ba2,4综上所述，ba 的 取值范围是2,4 答案：2,4 三、解答题 11求 y的值域 1sin x 3cos x 解 ：可理解为点 P(c

34、os x， sin x)与点 C(3,1)连线的斜率， 1sin x 3cos x 点 P(cos x， sin x)在单位圆上，如图所示 故 t满足 kCAtkCB，设过点 C(3,1)的直线方程为 y1 1sin x 3cos x k(x3)，即 kxy13k0. 由原点到直线的距离不大于半径 1，得1，解得 0k .从而值域为. |13k| k21 3 4 0，3 4 12某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污 损，可见部分如下图 (1)求分数在50,60)的频率及全班人数； (2)求分数在80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中80,90)间

35、矩形的高； (3)若要从分数在80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中， 至少有一份分数在90,100之间的概率 解：(1)分数在50,60)的频率为 0.008100.08，由茎叶图知：分数在50,60)之间的频数 为 2，所以全班人数为25. 2 0.08 (2)分数在80,90)之间的频数为 25223；频率分布直方图中80,90)间的矩形的高为 3 25 100.012. (3)将80,90)之间的 3 个分数编号为 a1，a2，a3，90,100之间的 2 个分数编号为 b1，b2， 在80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为： (a1，a2)，(a1，

36、a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)， (b1，b2)，共 10 个，其中，至少有一个在90,100之间的基本事件有 7 个， 故至少有一份分数在90,100之间的概率是0.7. 7 10 多题一法专项训练(一)配方法 方法概述适用题型 配方法是对数学式子进行一种 定向变形(配成“完全平方”的技 巧)，通过配方找到已知和未知的联 系从而化繁为简何时配方，需要 我们适当预测，并且合理运用“裂 项”与“添项” ，“配”与“凑”的 技巧，从而完成配方. 在高考中配方法常适用的类型有以下几种： (1)二次函数的最值问题；

37、 (2)同角三角函数基本关系式中平方关系； (3)平面向量的数量积的应用； (4)余弦定理； (5)圆的方程； (6)等比数列的性质. 一、选择题 1在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725，则 a3a5为() A5B25 C15 D10 解析：选 Aa1a5a ，a3a7a ， 2 32 5 a 2a3a5a 25.即(a3a5)225. 2 32 5 又 an0，a3a55. 2.已知菱形 ABCD 的边长为，ABC60，将菱形 ABCD 沿对 2 3 3 角线 AC 折成如图所示的四面体， 点 M 为 AC 的中点， BMD60， P 在 线段 DM 上， 记 DPx，PAP

38、By， 则函数 yf(x)的图象大致为() 解析 ： 选 D由题意可知 AM AB，BMMD1，DPx，MP1x，在 Rt 1 2 3 3 AMP 中 ， PA ， 在 BMP 中 ， 由 余 弦 定 理 得 PB AM2MP2 1 31x 2 ， y PA PB BM2MP22BMMPcos 6011x21xx2x1 (0 x1)，当 0 x 时，函数 y 单 1 3x1 2 x2x1 1 3x1 2 3 4(x 1 2 ) 2 1 2 调递减，当 x1 时，函数 y 单调递增，对应的图象为 D. 3定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0,1时，f(x)x2x

39、，则当 x( 1,0时，f(x)的值域为() A. B. 1 8，0 1 4，0 C. D. 1 8， 1 4 0，1 4 解析：选 A若 x(1,0，则 x1(0,1，所以 f(x1)(x1)2(x1)x2x.又 f(x 1)2f(x)，所以 f(x) (x2x) 2 ，所以当 x 时，f(x)min ； 当 x0 时， 1 2 1 2(x 1 2 ) 1 8 1 2 1 8 f(x)max 0. 4设函数 f(x)Error!若对任意给定的 y(2，)，都存在唯一的 x0R，满足 f(f(x0) 2a2y2ay，则正实数 a 的最小值是() A. B. 1 4 1 2 C2 D4 解析 ：

40、 选 A当 x0 时，f(x)2x，值域为(0,1，所以 f(f(x)log22x x； 当 0 x1 时， f(x)log2x，值域为(，0，所以 f(f(x)2log2xx； 当 x1 时，f(x)log2x，值域为(0， )，所以 f(f(x)log2 (log2x)，故 f(f(x)Error!当 x1 时，f(f(x)的值域为(，1； 当 x 1 时，f(f(x)的值域为 R，因为 a0，令 g(y)2a2y2ay2a2 2 ，对称轴 y ( y 1 4a) 1 8 1 4a 02，所以 g(y)在(2，)上是增函数，则 g(y)在(2，)上的值域为(g(2)，)，即(8a2 2a，

41、)，则 8a22a1，解得 a ，所以正实数 a 的最小值是 .故选 A. 1 4 1 4 5数列an中，如果存在 ak，使得 akak1且 akak1成立(其中 k2，kN*)，则称 ak 为数列an的峰值若 an3n215n18，则an的峰值为() A0 B4 C. D. 13 3 16 3 解析 ： 选 A因为 an3 2 ，且 nN*，所以当 n2 或 n3 时，an取最大值， ( n5 2 ) 3 4 最大值为 a2a30.故选 A. 6已知 sin4cos41，则 sin cos 的值为() A1 B1 C1 或1 D0 解析：选 Csin4cos41， (sin2cos2)22s

42、in2cos21. sin cos 0. 又(sin cos )212sin cos 1， sin cos 1. 二、填空题 7(2015合肥一模)若二次函数 f(x)x24xt 图象的顶点在 x 轴上，则 t_. 解析：由于 f(x)x24xt(x2)2t4 图象的顶点在 x 轴上，所以 f(2)t4 0，故 t4. 答案：4 8 已知函数 f(x)x2axb2b1(aR， bR)， 对任意实数 x 都有 f(1x)f(1x) 成立，若当 x1,1时，f(x)0 恒成立，则 b 的取值范围是_ 解析：由于对任意实数 x 都有 f(1x)f(1x)成立，则 f(x)的对称轴为 x1，所以 a

43、2，f(x)x22xb2b1(x1)2b2b2，则 f(x)在区间1,1上单调递增，当 x 1,1时，要使 f(x)0 恒成立，只需 f(1)0，即 b2b20，则 b1 或 b2. 答案：(，1)(2，) 9在等比数列an中，a1512，公比 q ，用 Tn表示它的前 n 项之积，即 Tn 1 2 a1a2an，则 T1，T2，Tn中最大的是_ 解析：由题意知 ana1qn129 n1(1)n1210n，所以 Tna1a2an(1)0 ( 1 2 ) 12(n1)298(10n)(1) 2，因为 (n219n) nn1 2 19nn 2 19nn 2 1 2 1 2 2 ，nN*，所以当 n

44、9 或 10 时，取得最大值，要使 Tn最大，则需(1) ( n19 2 ) 192 8 19nn 2 0，所以 n9 时，Tn最大 nn1 2 答案：T9 10在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,2)，(4,1)，在 x 轴上 OA OB 取一点 P，使有最小值，则 P 点的坐标是_ AP BP 解析：设 P 点坐标为(x,0)， 则(x2，2)，(x4，1) AP BP (x2)(x4)(2)(1) AP BP x26x10(x3)21. 当 x3 时，有最小值 1. AP BP 此时点 P 坐标为(3,0) 答案：(3,0) 三、解答题 11.过点 P(2,1)作两条斜率互

45、为相反数的直线，分别与抛物线 x2 4y 交于 A，B 两点，若直线 AB 与圆 C： x2(y1)21 交于不同两点 M，N，求|MN|的最大值 解：设直线 PA 的斜率为 k，A(xA，yA)，则直线 PA 的方程为 y1k(x2)，由Error!得 x24kx8k40，所以 xA24k，则 xA4k2，所以点 A(4k2，(2k1)2)，同理可得 B(4k2，(2k1)2)，所以直线 AB 的斜率 kAB1，设直线 AB 的 2k122k12 4k24k2 方程为 yxb，由Error!得 2x22(b1)xb22b0，由于 AB 与圆 C 交于不同的两点， 所以 0，即 1b1.则|M

46、N|222b122b2 2b 2b22b1 2，故|MN|的最大值是 2.2b122 12(2015湖北三校联考)已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m(sin B,1cos B)与向量 n(2,0)的夹角 的余弦值为 . 1 2 (1)求角 B 的大小； (2)若 b，求 ac 的范围3 解：(1)m(sin B,1cos B)，n(2,0)， mn2sin B， 又|m|sin2B1cos B222cos B 2， | sin B 2 | 0B，0 ， B 2 2 sin 0，|m|2sin . B 2 B 2 而|n|2， cos cos ， mn |m|

47、n| 2sin B 4sin B 2 B 2 1 2 ，B. B 2 3 2 3 (2)由余弦定理， 得 b2a2c22accos a2c2ac(ac)2ac 2 3 (ac)2 2 (ac)2， ( ac 2 ) 3 4 当且仅当 ac 时取等号， (ac)24，ac2，又 acb，3 ac(，23 多题一法专项训练(二)换元法 方法概述适用题型 换元法又称辅助元素法、变 量代换法通过引进新的变量， 可以把分散的条件联系起来，隐 含的条件显露出来；或者把条件 与结论联系起来；或者变为熟悉 的形式，把复杂的计算和推证简 化. 换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考 中换元法常适用以下几

48、种类型： (1)复合二次函数的最值问题(局部换元)； (2)分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)； (3)解析几何中涉及最值问题(局部换元)； (4)求函数的值域问题(三角换元). 一、选择题 1若 f(ln x)3x4，则 f(x)的表达式为() Af(x)3ln xBf(x)3ln x4 Cf(x)3ex Df(x)3ex4 解析：选 D令 ln xt，则 xet，故 f(t)3et4， 得 f(x)3ex4，故选 D. 2函数 ysin xcos xsin xcos x 的最大值为() A. B. 1 2 22 1 2 C2 D.2 2 2 解析：选 A令 tsin xcos

49、x，t，22 则 y t2t (t1)21， 1 2 1 2 1 2 t时，ymax .2 1 2 2 3已知函数 f(x)4x2xtt1 在区间(0，)上的图象恒在 x 轴上方，则实数 t 的取 值范围是() A(22，) B(，22)22 C(0,22) D(22，8)22 解析：选 B令 m2x(m1)，则问题转化为函数 f(m)m2mtt1 在区间(1，)上 的图象恒在 x 轴的上方，即 t24(t1)0 或Error!解得 tax 的解集是(4，b)，则 a_，b_.x 3 2 解析：令t，x 则 tat2 ，即 at2t 1，即 a2 时，函数 y 2 (a2a2)在1,1上单调递

50、增， a 2 ( ta 2 ) 1 4 所以由 ymax1a a 2，得 a. 1 4 1 2 10 3 (3)当 1，即 a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物 x2 a2 y2 b2 线 x22py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|c，则双曲线 的渐近线方程为_ 解析：抛物线 x22py 的准线方程为 y ，与双曲线的方程联立得 x2a2， p 2 ( 1 p2 4b2) 根据已知得 a2c2. ( 1 p2 4b2) 由|AF|c，得a2c2. p2 4 由可得 a2b2，即 ab，所以所求双曲线的渐近线方程是 yx. 答案：yx 三、解答

51、题 11(2014江西高考)已知函数 f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，且 f0，其 ( 4 ) 中 aR，(0，) (1)求 a， 的值； (2)若 f ，求 sin的值 ( 4 ) 2 5 ( 2， )( 3 ) 解 ： (1)因为 f(x)(a2cos2x)cos(2x)是奇函数，而 y1a2cos2x 为偶函数，所以 y2 cos(2x)为奇函数，又 (0，)，得 ，所以 f(x)sin 2x(a2cos2x)， 2 由 f0 得(a1)0，即 a1. ( 4 ) (2)由(1)得，f(x) sin 4x， 1 2 因为 f sin ，即 sin ， ( 4 ) 1 2

52、 2 5 4 5 又 ，从而 cos ， ( 2， ) 3 5 所以有 sinsin cos cos sin . ( 3 ) 3 3 43 3 10 12函数 f(x)aex(x1)(其中 e2.718 28)，g(x)x2bx2，已知它们在 x0 处有 相同的切线 (1)求函数 f(x)，g(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在t，t1(t3)上的最小值； (3)判断函数 F(x)2f(x)g(x)2 的零点个数 解：(1)f(x)aex(x2)，g(x)2xb. 由题意，两函数在 x0 处有相同的切线， f(0)2a，g(0)b. 2ab，f(0)ag(0)2，a2，b4. f(x)2

53、ex(x1)，g(x)x24x2. (2)由(1)得 f(x)2ex(x2) 由 f(x)0 得 x2，由 f(x)0 得 x2， f(x)在(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减 t3，t12. 当3t2 时，f(x)在t，2上单调递减，2，t1上单调递增， f(x)minf(2)2e2. 当 t2 时，f(x)在t，t1上单调递增， f(x)minf(t)2et(t1) 综上所述，当3t2 时，f(x)min2e2； 当 t2 时，f(x)min2et(t1) (3)由(1)得 F(x)4ex(x1)x24x. 则 F(x)4ex(x1)4ex2x42(x2)(2ex1)， 由 F(x)

54、0 得 xln 2 或 x2， 由 F(x)0 得2xln 2， 所以 F(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减， 故 F(x)极小值F(ln 2)22ln 2(ln 2)22ln 2(2ln 2)0， F(4)4e4(41)161612e41 时，证明：f(x)； 2x2x1 x1 (2)当 aln 21 且 x0 时，证明：f(x)x22ax. 证明：(1)当 x1 时，要使 f(x)，即 ex12x1，当且仅当 2x2x1 x1 2x2x1 x1 ex2x，即 ex2x0 时成立 令 g(x)ex2x，则 g(x)ex2. 令 g(x)0，即 ex20，

55、解得 xln 2. 当 x(1，ln 2时，g(x)0，故函数 g(x)在ln 2，)上单调递增 所以 g(x)在(1，)上的最小值为 g(ln 2)eln 22ln 22(1ln 2)0， 所以在(1，)上有 g(x)g(ln 2)0，即 ex2x. 故当 x(1，)时，有 f(x). 2x2x1 x1 (2)证明：欲证 f(x)x22ax，即证 ex1x22ax，也就是证 exx22ax10， 可令 u(x)exx22ax1，则 u(x)ex2x2a. 令 h(x)ex2x2a，则 h(x)ex2. 当 x(，ln 2)时，h(x)0，函数 h(x)在(ln 2，)上单调递增 所以 h(x

56、)的最小值为 h(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a0. 所以 u(x)h(x)0，即 u(x)在 R 上为增函数， 故 u(x)在(0，)上为增函数，所以 u(x)u(0) 而 u(0)0，所以 u(x)exx22ax10. 即当 aln 21 且 x0 时，f(x)x22ax. 创新问题专项训练(一) 一、选择题 1设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义一个二元运算“*”(即对任意的 a，bS， 对于有序元素对(a，b)，在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)若对任意的 a，bS，有 a*(b*a)b，则对任意的 a，bS，下列等式中不恒成立的是() A(

57、a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)a Cb*(b*b)b D(a*b)*b*(a*b)b 解析 ： 选 A根据题意 “对任意的 a， bS， 有 a*(b*a)b” ， 则选项 B 中， a*(b*a)*(a*b) b*(a*b)a 一定成立；选项 C 中，b*(b*b)b 一定成立；选项 D 中(a*b)*b*(a*b)(a*b)*a b，一定成立，故选 A. 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|b|1，ab0，点 Q 满足 OQ2 (ab)曲线 CP|acos bsin ，02，区域 P|0r|PQ|R， OP rR若 C 为两段分离的曲线，则() A1rR3

58、B1r3R Cr1R3 D1r3R 解析：选 A由已知可设a(1,0)，b(0,1)， P(x， y)， OA OB 则(，)， 曲线 C P|(cos ，sin ) ，02 ，即 OQ22 OP C ： x2y21 ，区域 P|0r|PQ|R， rR表示圆 P1： (x )2(y)2r2与圆 P2： (x)2(y)2R2所形成的圆环，2222 如图所示，要使 C 为两段分离的曲线，只有 1rR0， 0， x 0， 令 y0， 1 x( 1 x2ln x 1 x 1 x) 1 x 1 x2 1 x2 1 x 则 1ln x0，所以 0xe，因为(0,1)(0，e)，所以选 D. 5如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，黑白两蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行， 每走完一条棱称为“走完一段” 白蚁爬行的路线是 AA1A1D1，黑蚁爬行的路线是 ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i2 段所在直线与第 i 段所在直线必 须是异面直线(其中 iN*)，设黑白两蚁走完第 2 014 段后，各停止在正方体的某个顶点处， 这时黑白两蚁的距离是() A1 B. 2 C. D03 解析：选 B由题意，白蚁爬行的路线为 AA1 A1D1 D1C1 C1C BA， CB 即经过 6 段后又回到起点， 可以看作以 6 为周期， 由 2 014335