高三数学总复习学案27

1、学案学案 27平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量 投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示 两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 自主梳理 1向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：_，其中|a|cos a，b叫做向量 a 在 b 方向上的投影 (2)向量数量积的性质： 如果 e 是单位向量，则 aeea_； 非零向量 a，b，ab

2、_； aa_或|a|_； cosa，b_； |ab|_|a|b|. 2向量数量积的运算律 (1)交换律：ab_； (2)分配律：(ab)c_； (3)数乘向量结合律：(a)b_. 3向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab _； (2)设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab_； (3)设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)， 则|a|_，cosa，b_. (4)若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则|_，所以|AB AB _. 自我检测 1.（2010湖南）在 RtABC 中，C=9

3、0,AC=4,则等于 ()AB AC A16B8C8D16 2(2010重庆)已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab| () A0B2C4D82 3(2011福州月考)已知 a(1,0)，b(1,1)，(ab)b，则 等于 () A2B2C.D 1 2 1 2 4.平面上有三个点 A（-2，y） ，B（0，） ，C（x，y） ，若，则动点 C 的轨迹方 2 y A B BC 程为_ 5.（2009天津）若等边ABC 的边长为 2，平面内一点 M 满足，3CM 1 6CB 2 3CA 则_.MA MB 探究点一向量的模及夹角问题 例 1 (2011马鞍山月考)已知|a|4

4、，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab|； （3）若a，b，求ABC 的面积AB BC 变式迁移 1(1)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(b c)0，则|c|的最大值是 () A1B2 C.D.2 2 2 (2)已知 i，j 为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且 a 与 b 的夹角为锐角，实数 的取值范围为_ 探究点二两向量的平行与垂直问题 例 2 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且 kab 的长度是 akb 的长度的 3 倍(k0) (1)求证：ab 与 ab 垂直； (

5、2)用 k 表示 ab； (3)求 ab 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 . 变式迁移 2(2009江苏)设向量 a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) (1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值； (2)求|bc|的最大值； (3)若 tan tan 16，求证：ab. 探究点三向量的数量积在三角函数中的应用 例 3 已知向量 a， (cos 3 2x，sin 3 2x) b，且 x. (cos x 2，sin x 2) 3， 4 (1)求 ab 及|ab|； (2)若 f(x)ab|ab|，求 f(x)的最大值和最小值 变式迁移 3

6、 （2010四川）已知ABC 的面积 S=3，且 cos B ，求 cos C. 1 2 AB AC 3 5 1一些常见的错误结论： (1)若|a|b|，则 ab；(2)若 a2b2，则 ab；(3)若 ab，bc，则 ac；(4)若 ab0， 则 a0 或 b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若 abac，则 bc.以上结论都是错 误的，应用时要注意 2平面向量的坐标表示与向量表示的比较： 已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 是向量 a 与 b 的夹角. 向量表示坐标表示 向量 a 的模|a|aaa2|a| x2 1y2 1 a 与 b 的数量积ab|a|

7、b|cos abx1x2y1y2 a 与 b 共线的充要条件Ab(b0)ababx1y2x2y10 非零向量 a， b 垂直的充要条件abab0abx1x2y1y20 向量 a 与 b 的夹角cos ab |a|b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有： （1）要证 AB=CD，可转化证明 22或| |. AB CD AB CD （2）要证两线段 ABCD，只要证存在唯一实数0，使等式成立即可 AB CD （3）要证两线段 ABCD，只需证0. AB CD (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分

8、) 1(2010重庆)若向量 a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数 m 的值为 () AB. 3 2 3 2 C2D6 2已知非零向量 a，b，若|a|b|1，且 ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数 k 的 值为 () A6 B3 C3D6 3.已知ABC 中，a，b， ab0， SABC， |a|3， |b|5， 则BAC 等于 ()AB AC 15 4 A30B150 C150D30或 150 4(2010湖南)若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2ab)b0，则 a 与 b 的夹角为 () A30B60 C120D150 5已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b

9、 上的投影为 () A.B. 13 5 65 5 C.D. 65 13 13 13 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2010湖南长沙一中月考)设 a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若 ab ( 2，) ，则 sin _. 2 5 7(2010广东金山中学高三第二次月考)若|a|1，|b|2，cab，且 ca，则向量 a 与 b 的夹角为_ 8已知向量 m(1,1)，向量 n 与向量 m 夹角为，且 mn1，则向量 n 3 4 _. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在线段 OC 上是否存在

10、点 M，使OA OB OC MA ，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由MB 10(12 分)(2011杭州调研)已知向量 a(cos()，sin()，b(cos， ( 2) sin) ( 2) (1)求证：ab； (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 xa(t23)b，ykatb，满足 xy，试求此 时的最小值 kt2 t 11(14 分)(2011济南模拟)已知 a(1,2sin x)，b，函数 f(x)ab (x (2cos(x 6)，1) R) (1)求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x) ，求 cos的值 8 5 (2x 3) 答案答案 自主梳理

11、1(1)ab|a|b|cosa，b(2)|a|cosa，eab0|a|2aa ab |a|b| 2.(1)ba (2)acbc(3)(ab)3.(1)a1b1a2b2(2)a1b1a2b20(3)a2 1a2 2 a1b1a2b2 a2 1a2 2 b2 1b2 2 (4)(x2x1，y2y1) x2x12y2y12 自我检测 2B|2ab| 2ab2 2.4a24abb282 3D由(ab)b0 得 ab|b|20， 120， . 1 2 4y28x(x0) 解析由题意得， AB (2， y 2) ，又，0， BC (x， y 2) AB BC AB BC 即0，化简得 y28x(x0) (

12、2， y 2) (x， y 2) 52 解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 C(0,0)，A(2，0)，B(，33 3)，这样利用向量关系式，求得，所以MA ( 3 2 ，1 2) MB ( 3 2 ，1 2) MB ( 3 2 ，5 2) 2.MA MB 课堂活动区 例 1 解(1)(2a3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，644ab2761， ab6. cos . ab |a|b| 6 4 3 1 2 又 0，. 2 3 (2)|ab| ab2 |a|22ab|b|2 .162 6913 (3)与的夹角 ， AB BC 2 3 A

13、BC . 2 3 3 又|a|4，|b|3，AB BC SABC |sinABC 1 2 AB BC 433. 1 2 3 2 3 变式迁移 1(1)C|a|b|1，ab0， 展开(ac)(bc)0|c|2c(ab) |c|ab|cos ，|c|ab|cos cos ，2 |c|的最大值是.2 (2)0 且 ab 不同向 2 即|i|22|j|20，0)得 2. 0) 1k2 4k (3)由(2)知 ab (k ) ， 1k2 4k 1 4 1 k 1 2 当 k 时，等号成立，即 k1. 1 k k0，k1. 此时 cos ，而 0， . ab |a|b| 1 2 3 故 ab 的最小值为

14、，此时 . 1 2 3 变式迁移 2(1)解因为 a 与 b2c 垂直， 所以 a(b2c) 4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0. 因此 tan()2. (2)解由 bc(sin cos ，4cos 4sin )， 得|bc| sin cos 24cos 4sin 2 4.1715sin 22 又当 时，等号成立，所以|bc|的最大值为 4. 4 2 (3)证明由 tan tan 16 得， 4cos sin sin 4cos 所以 ab. 例 3 解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热 点题型解答此类

15、问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标 运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识 解(1)abcos xcos sin xsin cos 2x， 3 2 x 2 3 2 x 2 |ab| (cos 3 2xcos x 2) 2(sin 3 2xsin x 2) 2 2|cos x|，22cos 2x x，cos x0， 3， 4 |ab|2cos x. (2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x1 2 2 . (cos x 1 2) 3 2 x， cos x1， 3， 4 1 2 当 cos x 时，f(x)取得最小值 ； 1 2 3 2 当 c

16、os x1 时，f(x)取得最大值1. 变式迁移 3解由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c，则 S bcsin A . 1 2 1 2 bccos A30， AB AC A，cos A3sin A. (0， 2) 又 sin2Acos2A1， sin A，cos A. 10 10 3 10 10 由题意 cos B ，得 sin B . 3 5 4 5 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B. 10 10 cos Ccos(AB). 10 10 课后练习区 1D因为 ab6m0，所以 m6. 2D由(2a3b)(ka4b)0 得 2k120，k6. 3CSABC

17、 |a|b|sinBAC， 1 2 15 4 sinBAC .又 ab0， 1 2 BAC 为钝角BAC150. 4C由(2ab)b0，得 2ab|b|2. cosa，b . ab |a|b| 1 2|b| 2 |b|2 1 2 a，b0，180，a，b120. 5B因为 ab|a|b|cosa，b ， 所以，a 在 b 上的投影为|a|cosa，b . ab |b| 218 4272 13 65 65 5 6.3 5 解析abcos 22sin2sin ， 2 5 12sin22sin2sin ，sin . 2 5 3 5 7120 解析设 a 与 b 的夹角为 ，cab，ca， ca0，即

18、(ab)a0.a2ab0. 又|a|1，|b|2，12cos 0. cos ，0，180即 120. 1 2 8(1,0)或(0，1) 解析设 n(x，y)，由 mn1， 有 xy1. 由 m 与 n 夹角为， 3 4 有 mn|m|n|cos ， 3 4 |n|1，则 x2y21. 由解得Error!或Error!， n(1,0)或 n(0，1) 9解 设存在点 M，且(6，3) (01)，OM OC (26，53)，(36，13)(4 分)MA MB ，MA MB (26)(36)(53)(13)0，(8 分) 即 45248110，解得 或 . 1 3 11 15 M 点坐标为(2,1)或. ( 22 5 ，11 5) 故在线段 OC 上存在点 M， 使，