机械振动2009_3.ppt

1、2020/7/20,1,大学物理,第15章 机械振动,华中科技大学 物理系,Lin_king_,林 钢,2020/7/20,2,第15章 机械振动,15.1 简諧振动与动力学方程 15.2 简諧振动的数学表示 相位 15.3 旋转矢量与谐振动能量 15.4 简諧振动的合成 15.5 振动的相空间描述 15.6 阻尼振动与受迫振动 共振,2020/7/20,3,机械简谐振动,机械振动: 物体在一定位置附近作来回的往复运动。 例如 心脏的跳动， 钟摆的运动等. 广义振动: 任意物理量在一定位置附近作来回的往复运动。 例如 交流电、 电磁波等,代表了自然界的一大类型运动规律,2020/7/20,4,

2、15.1 简谐振动与动力学方程,对于一维运动有:,单摆：在不考虑摩擦力的情况下，悬线下的小球在铅锤面内作往复小角摆动。,2020/7/20,5,单摆:,弹簧振子:,2020/7/20,6,(1)式和(2)式可表示为下列统一形式:,方程的解为:,2020/7/20,7,其中A和是积分常数,由振动的初始条件确定:,初位移和初速度决定初位相和振幅,由振动系统决定-理解固有频率的含义。,固有！,与运动无关,2020/7/20,8,弹簧振子的解：,单摆的解：,周期为:,固有频率：,固有频率：,周期为:,2020/7/20,9,例题：带电球沿直径隧道中负电荷运动是否简谐运动？,负电荷将作简谐运动，其周期为

3、：,负电荷运动方程为：,2020/7/20,10,一. 描述振动的物理量 简谐振动的特征量: 周期 (T ): 物理量往复一次所需时间 振幅 (A ):物理量偏离平衡位置的最大位移 周相 ( t+ ):确定物理量在t时刻的运动状态 其中:,15.2 简諧振动的数学表达 相位,2020/7/20,11,二.简谐振动的表达式:,T, A, 完全确定一个振动,振幅,角频率,初相,相位,2020/7/20,12,相同的位置不同的相位，状态不同,2020/7/20,13,c和c点 x坐标相同,但状态不同.,c点和c 点x坐标相同，状态相同.,由于函数的周期性：,状态也相同,结论：简谐振动不能用质点位置表

4、示其状态。,2020/7/20,14,1.在一个周期内,质点所经历的状态没有一个是相同的. 2.两个完全相同的状态只有在不同的周期内出现. 3凡是相位同的状态,它们所对应的相位差为:,用位相表达质点振动状态,充分反映了振动的周期性.而定义振动的初位相为:,简谐振动必须用质点运动的相位表示其状态。,2020/7/20,15,见振动位置，速度，加速度图象: 设:,三 振动的速度、加速度：,2020/7/20,16,2020/7/20,17,2020/7/20,18, t+,t= t,: 初位相, t+：位相,15.3 旋转矢量与振动的相 谐振动能量,矢量旋转一周的时间为简谐振动的周期。,矢量单位时

5、间旋转的角度。,2020/7/20,19,振动的比较：,为比较两同频率振动,定义振动的 位相差:,X2 超前 X1,X2 落后 X1,设有两个振动:,2020/7/20,20,例如:,改写为:,X1 超前 X2,X2 落后 X1,例如:,X1 超前 X2,其中:,特别:,X2 与 X1同相,X2 与 X1反向,2020/7/20,21,振动的比较：函数与旋转矢量对照,振动矢量图,2020/7/20,22,10,10,102,振动的比较：函数与旋转矢量对照,2020/7/20,23,表示简谐振动的三种方法:,1.表达式法:,2.坐标,时间曲线法,3.旋转矢量法直观表示相位,2020/7/20,2

6、4,例题：已知振动图线,求任一时刻的 x、v、a：,由图和旋转矢量：,利用初始条件：,求导,转过这个角度用时1秒,2020/7/20,25,找特征量: 设振幅 A,再找 :,由 t=0 找出 X0,得 ,X0,例题：已知振动图线,x0已知，求任一时刻的 x、v：,解出:A之后x、 v 可求.,2020/7/20,26,例. 一物体沿 X 轴作简谐振动，A = 12 cm T = 2s 当 t = 0 时，X0 = 6 cm ，且向 X 正方向运动. 求 (1) 初位相 (2)t=0.5s 时，物体的位置、速度、加速度. 3）在 x = - 6cm 处且向 X 负方向运动时，求物体的速度 、加速

7、度以及从这一位置回到平衡位置需的时间。,由旋转矢量看,(1) 初位相,6,2020/7/20,27,(2)t=0.5s 时，物体的位置、速度、加速度,6,2020/7/20,28,（3）在 x = - 6cm 处且向 X 负方向运动时，物体的速度 、加速度以及从这一位置回到平衡位置需的最短时间。,质点之合力可求解。,第二次通过-6cm的时刻：,2020/7/20,29,例,一质量为m的物体，在弹力作用下沿x轴运动，平衡点在原点，弹簧的弹性系数为k，振幅为A，初始时刻，物体位于A/2处，且沿x轴反方向运动，求振动表达式？,2020/7/20,30,例,两个弹簧振子的周期都是0.4秒，开始第一个振

8、子从平衡位置向负方向运动，经过0.5秒时间后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，求两振动的相位差，比较两个振动。,开始第一个振子从平衡位置向负方向运动,经过0.5秒时间后,第二个振子才从正方向的端点开始运动,两个振动反相,0.1秒矢量转过直角,2020/7/20,31,对于速度曲线，判断初位相。,2020/7/20,32,M 物体由x0处静止出发，求振动方程,物体平衡时作用于物体的两弹簧力抵消,物体在任意位置x处受力：,运动方程：,2020/7/20,33,例,在一个平板上放一个物体，质量为m,平板在竖直方向做简谐振动。已知振动周期T，振幅A，求物体对平板的压力。平板以多大振幅振动，物体脱离

9、平板？,M的振动方程：,物体脱离平板,2020/7/20,34,例,有一个定滑轮半径为R，转动惯量为J，如图装置跨接弹簧和物体m。将物体从平衡位置下拉小距离后放开。求振动？,平衡位置,空载位置,初始位置,运动方程,得到：,2020/7/20,35,简谐振动的能量,以弹簧振子为例:,守恒！,2020/7/20,36,势 能,动 能,总 能,守恒！,2020/7/20,37,注意：,10 简谐振动系统的动能、势能随时间变化，总能量为常数。,20 W总A2 对任意谐振子适用。,30 W k、Wp的变化频率是振动频率的 2倍.,能量时间曲线,40 每周期内动能与势能的平均值相等，且等于总能量的一半。,

10、2020/7/20,38,由于弹簧振子运动的过程中弹性力是保守力,振子系统的机械能守恒.,由此得到振动机械能决定振幅.,由于总机械能能,根据能量按自由度均分的原理,总机械能在振动自由度上均分为平均动能和势能:,2020/7/20,39,例,一质量为10g的物体作简谐振动，振幅24cm，周期4秒，t0时位移是24cm，求t0.5秒时物体位置、受力，由起始位置到x12cm处所需要的最少时间？此时的速度、动能、势能、总能。,由起始位置到x12cm处所需要的最少时间,2020/7/20,40,例,一质量为10g的物体作简谐振动，振幅24cm，周期4秒，t0时位移是24cm，求t0.5秒时物体位置、受力

11、，由起始位置到x12cm处所需要的最少时间？此时的速度、动能、势能、总能。,动能,势能,总能,2020/7/20,41,例,一质量为m的物体在弹力作用下作简谐振动，弹簧的弹性系数为k，振子具有初始动能Ek0和初始势能Ep0，求振幅、动能等于势能的位移、平衡位置时物体速度。,系统总能,平衡位置势能为零,2020/7/20,42,一. 两个同方向、同频率简谐振动的合成,15.4 简谐振动的合成,二.两个同方向、不同频率的简谐振动的合成,三.振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成,四.振动方向互相垂直、不同频率的简谐振动的合成,2020/7/20,43,两个振动作用于一个质点，质点的运动合成为两振

12、动位移的和:,合振动的频率“”与分振动频率相同,15.4 简谐振动的合成,一. 两个同方向、同频率简谐振动的合成,2020/7/20,44, 与分振动频率相同,2020/7/20,45,当:,合振动幅度最大,当:,合振动幅度最小,特别在 A1=A2 时,2020/7/20,46,观察同频同方向振动合成:,2020/7/20,47,2020/7/20,48,例：振动合成：,2020/7/20,49,例：振动合成：,2020/7/20,50,两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为20cm，合振动的位相与第一个振动的位相之差为30o，若第一个振动的振幅为17.3cm，求第二个振动的振幅及第一、

13、第二两个振动的位相差各是多少?,2020/7/20,51,二. 同方向、不同频率的简谐振动的合成,即旋转矢量的旋转角速度不同,则合振动为:,令:,和差化积：,合振动不是简谐振动！,2020/7/20,52,定义: 合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数拍频,当,注意： 合振动可看成振幅缓慢变化的简谐振动。合振幅时强时弱的现象称为“拍现象”,在a变化一个周期内，其绝对值两次达到极大， 其频率是a变化频率 的两倍。,2020/7/20,53,求拍频:,下图蓝色实线表示合振动位移与时间的关系。,红色虚线表示合振动振幅的周期性变化。,拍频为两分频率的差,2020/7/20,54,三.振动方向互相垂直、

14、同频率的简谐振动的合成,质点同时参与X方向和Y方向的运动,求其轨迹:,2020/7/20,55,(1),(2),(3),Y振动超前x振动,质点右旋,2020/7/20,56,(4),X振动超前Y振动,质点左旋,(5) 为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆,2020/7/20,57,例：振动合成：,x振动超前y振动,质点左旋,2020/7/20,58,2020/7/20,59,四.振动方向垂直、不同频率的简谐振动的合成,两振动的频率成整数之比时，合成轨迹封闭且稳定。称为李萨如图形。,一般轨迹曲线复杂， 且不稳定。,由切点数之比和已知频率可测未知频率。,2020/7/20,60,质点振动的轨迹是李萨

15、如图形，当两垂直振动的相差很大，但有简单比例时，质点振动的轨迹是封闭且稳定。,2020/7/20,61,设n个振动的振幅相等，初相位依次差一个恒量 。即：,合成的结果为:,N个同方向的 同频率简谐振动的合成,用矢量合成法 多边形法则或解析法均可得,2020/7/20,62,其中,2020/7/20,63,得到:,2020/7/20,64,结果的讨论:,1.设: =2k 时, k=0,1,2,3 , m,振动幅度得到最大值，称为合成主极大，这时各分振动矢量空间排列方向相同.,2. 有极大，必然存在极小，令A=0，仅需:,或,k=1,2,3,2020/7/20,65,n个分振动的合成结果是零,但是由于:,时,注意：k与k的取值。,2020/7/20,66,在k=k0 到 k=k0+1间, k 有n-1个取值,当值满足某次主极大合成后, 值变化得再一次满足主极大合成时,中间要历经n-1次叠加极小,而在这些极小间必定存在能n-2个比主极大小得多又比极小大的次极大.,思考: 为什么当n值较大时,叠加主极大的机会比叠加极小的机会要小得多?,n参与合成的振动数目,2020/7/20,67,是主极大,是极小,例: n=11 个