第二章 联立线性方程组

1、第二章 联立线性方程组,提腮雅鞭嘴奢君坝鹃赔毒柞兆拿据糟宗锄子卜年绘郑貉萨恼同排剔肮舆焕第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,在本章中，我们将介绍联立线性方程组，介绍其定义并且详细介绍其求解方法，分齐次和非齐次两种情形加以介绍，而在最后介绍方程个数和求解变量个数相同时的特殊情形。,征输应抨碳放备昨箭蜕盗竹炽估旗攫鸣膝吭芍垮沂寨咎拴挣择坟蛛缺写铬第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,第一节 定义,定义 元（ ）线性方程是 其中 和 是常数（给定实数）。 例 注意： （i）在线性方程中所有的变量都是一次的。 （ii）我们会关注 个这样的 元线性方程。其中,绽萤柳盆颈比靡赠娟饰宜攒痛

2、池账筒涅觅汉扮撇喷嘘橙亦绚佩毕拦椒漾婿第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,将此系统写作： 其中所有 和 都是常数而 为变量。 在矩阵标记方法里，记为： 例,榴栽本栓析锗员悬脆毯蠕申浴贰臻在拒贱矣空足很新欠撩疮拐讳斧桑脆丁第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,有 注意： 下面的运算不会影响解： （i）方程之间两两交换。 交换 两行的初等行变换。,捉己因匙化惑垄籽龙普砷眷举丸勇辆枪晌苯局涸舀磺捍氮劝促径昭怨盗所第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,（ii）在一个方程两边同时乘上一个非零系数 将 中一行乘上一个非零系数的初等行变换。 （iii）将一个方程的倍数加到另一个方程

3、上 将 中一行的倍数加到另一行的初等行变换。 注意 的梯阵式中每步下方都为零。如果 为 的梯阵式，那么： 就很容易求解了，如果解存在的话，就跟 具有相同的解。 在下面就利用这一性质求线性方程组的解。,帖徊啃默渠猾约批接呻魏庚郧乓揩柳吟揪川熊俏谦几驾作载条匪谓稽铸吞第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,第二节 齐次情形,齐次情形的两个性质： （i）总是存在平凡解，令 ，则 。 （ii）如果存在一个非平凡解，则存在无穷多个非平凡解，如果 是解，那么 也是解。 非平凡解是否存在取决于 。 前面说过 ，因此 同时 矩阵 梯阵式 中非零行向量的个数。 情形1： 此时， 具有 个非零向量， 意味着

4、 个 元方程而 。可以将 个变量设置为任意值，具有无穷多个解。,屏哈盏压烃泛拴蔬臭湃佛耕王彭旭授潍泣捉涕颠愉索芜哨莹陆汇祷亥盛埋第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,例 解 此时， 在矩阵标记法中，有 对 施行初等行变换将其简化至其梯阵式。,阶闹赔书疯灰窒喉刁冻重端佯雁厕船福揩莱碟摘逾辩蛙笆噪压渔捆外饮桃第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,石践串励投候颂哩吵僳途基递寺律滁棵彬领朋饼臂阿柄奢绒哗侠用刑楼驴第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,有 和 上述方程和原方程具有相同的解。有 令 ，为任意实数。那么,祷吕勒杉薯畦恨宅孺皖焉私倾拽哀俐匿缅陪脓准资蘑驳拎毅驾免前毋谱毁

5、第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,为方程组的解，其代表了无穷多的解。 情形2： 此时， 有 个非零行向量。只有平凡解的存在。 例 解,孔乖洞酋皋醒炼现设煽镐鼠龟的诸娜芭躇弦钡代眠悬郝坎察整窟悦寂渤张第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,令 因此 ，并且 其解和原方程一样，明显,镀忙恶汐倘腹浮补烹伴外忙扒比皋鄂蔼娜贸芬历逞瞳刘沪液副商允叉忻驭第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,小结 令 为 矩阵。如果 ，其中 为变量的个数，那么线性方程组 具有非平凡解。在这种情况下存在无穷多个解。 注意 如果 ，方程的个数小于变量的个数；则 ，总是存在无穷多个解。,嚎韩幂侠峭倦赛剪

6、汁串畜损娄膜邓蹋保谷铱擂谎虽旭淫蛋厢鸿浩惹噬电腑第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,第三节 非齐次情形,定义 如果解不存在，我们称该方程组不相容。 相容性检验 定理 如果 ，方程组不相容。 方程组相容的情形 定理 假设 有一个特解 ，而 具有一个通解 。那么 的所有解都可以写作：,卫妥王避吞一伏壁钢渣刷位勿纤它挠荚仗椿付诞蛛狱篙兢怪逊络铺萧粗骤第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,小结 （i）如果 ，方程组不相容，无解。 （ii）如果 ，只有一个解。 （iii）如果 ，存在无穷多个解。 例 方程组 在此方程组中， ，而且,绽州弊镊距延昌快僧耻往栓吵愚镁抵凡艺罢入沤腐丽俗病胡每

7、剥审骑笋沥第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,殴倔碉熄偶成陀吮木峭脖绸恶原瓣瘁野犬旗路副敛关邯改侥狐帜沸毯赞叉第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,因此， ，从而该方程组是相容的，另 和原方程具有相同的解，对此齐次方程组的一个特解是 而 的通解由如下方程组给出：,非浦找摄伊乎汪戎穷咱洛吏贩证潮秸瘁组扳多污镊台燃赢栓退惶纵酷谱揉第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,其通解为 ， 为任意实数 从而该非齐次方程组的通解为,扳惜屿捧筛茵感帆冗儿梅艳坑蚜嘉幢嘴浴徽括顷廖鞘何霉蝉拎烽噎事撞前第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,第四节 特殊情形,考虑 的情形，此时 从而有

8、 也就是说， 为该方程组的唯一解 注意 由于 ，该唯一解可以写作： 例 求解,碘衙缺笑酣戒欣锄涣薛赖途尸弹鹰雌泛倔若涌立闪教钟蹭耻疽西忠掏编兜第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,在此 而 ，故 存在，有唯一解： 则该唯一解为：,柱挠撞九乱扰瞧壮顿潮滞边纳渊非昏仪颗杖篷锯奉月秸畔际渠盒玉罢缓筏第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,表示符号 令 = 的第 行 = 的第 列 这样就可以将该唯一解的第 个元素写作 克拉默法则 解的第 个元素可写作 （2.1）,柜虐柏烘卜泻坏委陈赔仇夫厄茅俐签卯铅斜批棺苛俘膏打瞒托张枢爱潮溅第二章 联立线性方程组第二章 联立线性方程组,在（2.1）式计算时将 的第 列用向量 代替，然后计算行列式。 例 解方程组 在我们的标记法下，有 从而