高考数学专题复习（精选精讲）练习6-不等式的证明方法习题精选精讲

1、不等式的证明不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合 应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。abba2 22 22 22 baba Rba, 1、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1 已知 a,b,c 均为正数，求证： accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 证明：a,b 均为正数， 0 )(4)(4 4)()(1 4 1 4 1)(

2、 2 baabbaab abbaabab baba ba 同理，0 )(4 1 4 1 4 1)( 2 cbbccbcb cb 0 )(4 1 4 1 4 1)( 2 caacacac ac 三式相加，可得0 111 2 1 2 1 2 1 accbbacba accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 2、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2 a、b、 ), 0(c ， 1cba ，求证： 3 1 222 cba 证：证： 2222 )(1)(3cbacba 2222 )()(3cbacba0)()()( 222222

3、 222 222 accbba cabcabcba 3 设a、b、c是互不相等的正数，求证： )( 444 cbaabccba 证：证： 2244 2baba 2244 2cbcb 2244 2acac 222222444 accbbacba cabcbbacbba 222222222 22 同理： abcaccb 22222 2 bcabaac 22222 2 )( 222222 cbaabcaccbba 4 4 知 a,b,c，求证: R)(2 222222 cba accbba 证明： )( 2 222222 2)(22 ba bababa abab 即，两边开平方得 2 )( 2 22

4、ba ba )( 2 2 2 222 baba ba 同理可得三式相加，得)( 2 222 cb cb )( 2 222 ac ac )(2 222222 cba accbba 5 ), 0(yx、 且 1 yx ，证： 9) 1 1)( 1 1 ( yx 。 证：证： )1)(1 () 1 1)( 1 1 ( y yx x yx yx )(25)2)(2( y x x y y x x y 9225 6 已知. 9 11 1 1 11, ba baRba求证： 策略:由于的背后隐含说明1, 4 1 2 1, 2 baRbaab ba ab baRba . 4 1 ab着一个不等式 证明：。 4

5、 1 1, abbaRba . 9 1 1 1 1 . 9 81 2 1 1 1 111 1 1 1 1 1 ba ababab ba abbaba 而 3、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7 已知a、b、c为正数，求证： ) 3 (3) 2 (2 3 abc cba ab ba 证：证：要证： ) 3 (3) 2 (2 3 abc cba ab ba 只需证： 3 32abccab 即： 3 32abcabc 33 33abcababcababc 成立 原不等式成立 8 ), 0(cba、 且 1cba ，求证 3cba

6、 。 证： 3cba3)( 2 cba 即： 2222acbcab baab2 cbbc2 caac2 即 2)()()(222cacbbaacbcab 原命题成立 4、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9， 1b ，求证： 1)1)(1 ( 22 baab 。 证明：证明：令 sina 2 k k sinb 2 k k 左 coscossinsincoscossinsin 1)cos( 1)1)(1 ( 22 baab 10： 1 22 yx ，求证： 22yx 证：证：由 1 22 yx 设 cosx ， siny

7、2,2) 4 sin(2sincos yx 22yx 11 知 abc,求证：. 411 cacbba 证明：ab0, bc0, ac0 可设 ab=x, bc=y (x, y0) 则 ac= x + y, 原不等式转化为证明 yxyx 411 即证，即证 原不等式成立（当仅 x=y 当“=”成立）4) 11 )( yx yx42 x y y x 2 x y y x 12 知 1xy2，求证：xxyy3 22 2 1 22 证明：1xy2，可设 x = rcos，y = rsin，其中 1r2，0 22 2 2 xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r， 2

8、222 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 22 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 r3 xxyy3 2 2 1 22 13 已知 x2xyy2，求证：| xy | 22 10 证明：x2xyy= (xy)y，可设 xy = rcos，y = rsin，其中 0r，0 2222 22 | xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|5 2 1 r510 14 解不等式15xx 2 1 解：因为=6，故可令 = sin， cos，0， 22 )1()5(xxx561x6 2 则原不等式化为 sin cos 所以

9、 sin + cos66 2 1 6 2 1 6 由0，知+ cos0，将上式两边平方并整理，得 48 cos2+4 cos230 2 2 1 66 解得 0cos所以 x6cos21，且 x1，故原不等式的解集是x|-1x . 24 6282 12 4724 12 4724 15：1x 2 1x2 证明：1x0，1x1，故可设 x = cos，其中 0 2 则x =cos= sincos=sin()， 2 1x 2 cos12 4 4 4 4 3 1sin()，即1x2 4 2 2 1x2 增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如 abc)的不等式，常用增量进行

10、代换，代换的目的是减少变量的个数， 使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简 16a，bR，且 ab = 1，求证：(a2)(b2) 22 2 25 证明：a，bR，且 ab = 1，设 a =t，b=t， (tR) 2 1 2 1 则(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t 22 2 1 2 2 1 2 2 5 2 2 5 22 2 25 2 25 (a2)(b2) 22 2 25 利用“利用“1”的代换型”的代换型 17 . 9 111 , 1, cba cbaRcba求证：且已知 策略：做“1”的代换。 证明： c cba b cba a cb

11、a cba 111 922233 c b b c c a a c b a a b . 5、反证法 反证法的思路是“假设矛盾肯定” ，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18 若 p0，q0，p q = 2，求证：pq2证明：反证法 33 假设 pq2，则(pq) 8，即 p q 3pq (pq)8，p q = 2，pq (pq)2 33333 故 pq (pq)2 = p q = (pq)( ppqq)，又 p0，q0 pq0， 3322 pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假设 pq2 不成立，pq2 222 19 已知a、b、 c （0，1）

12、，求证： ba)1 ( ， cb)1 ( ， ac)1 ( ，不能均大于4 1 。 证明：证明：假设 ba )1 ( ， cb )1 ( ， ac )1 ( 均大于4 1 )1 (a ，b均为正 2 1 4 1 )1 ( 2 )1 ( ba ba 同理 2 1 4 1 )1 ( 2 )1 ( cb cb 2 1 2 )1 ( ac 2 1 2 1 2 1 2 )1 ( 2 )1 ( 2 )1 ( accbba 2 3 2 3 不正确 假设不成立 原命题正确 20 已知 a,b,c（0，1） ，求证：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同时大于。 4 1 证明：假设三式同时大于0a1 1

13、a0 4 1 2 1 4 1 )1( 2 )1( ba ba 21 a、b、 Rc ， 0cba ， 0cabcab ， 0cba ，求证：a、b、c均为正数。 证明：证明：反证法：假设a、b、c不均为正数 又 0cba a、b、c两负一正 不妨设 0a ， 0b ， 0c 又 0cba 0)(bac 同乘以 )(ba 2 )()(babac 即 0)( 22 babaabbcac ，与已知 0cabcab 矛盾 假设不成立 a、b、c均为正数 6、放缩法 放缩时常用的方法有：1 去或加上一些项 2 分子或分母放大（或缩小）3 用函数单调性放缩 4 用已知不等式放缩 22 已知 a、b、c、d

14、 都是正数，求证：12 cba b dcb c adc d bad a 证明：， dcba b cba b ba b dcba c dcb c dc c ， dcba d adc d dc d dcba a bad a ba a 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：12 cba b dcb c adc d bad a 23 * Nn ，求证： 12 1 3 1 2 1 1) 11(2n n n 。 证明： ) 1( 2 1 221 kk kkkkk )1( 2 1 221 kk kkkkk )1(2)23(2) 12(21 1 2 1 1nn n 12n )1(2)23(2) 12(2 1

15、2 1 1nn n ) 11(2n 判别式法 24A、B、C 为 ABC 的内角，x、y、z为任意实数，求证： Ayzzyxcos2 222 CxyBxzcos2cos2 。 证明：证明：构造函数，判别式法令 )cos2cos2cos2()( 222 CxyBxzAyzzyxxf )cos2()coscos(2 222 AyzzyCyBzxx 为开口向上的抛物线 )cos2(4)coscos(4 222 AyzzyCyBz )cos2coscos2sinsin(4 2222 AyzCByzCyBz )sinsincos(cos2coscos2sinsin 4 2222 CBCByzCByzCy

16、Bz sinsin2sinsin 4 2222 CByzCyBz 0)cossin(4 2 CyBz 无论y、z为何值， 0 Rx 0)(xf 命题真 构造函数法 构造函数法证明不等式 24 设 0a、b、c2，求证：4abcabc2ab2bc2ca 22 证明：视 a 为自变量，构造一次函数= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由 0a2，知)(af 2222 表示一条线段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，)(af)0(f 222 )2(f 2222 可见上述线段在横轴及其上方，0，即 4abcabc2ab2

17、bc2ca)(af 22 构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系|， m n m n 就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握 25 设 a、bR，且 ab =1，求证：(a2)(b2) 22 2 25 证明：构造向量= (a2，b2)，= (1，1)设和的夹角为，其中 0 m n m n | =，| =，= |cos=cos； m 22 )2()2(ba n2 m n m n 22 )2()2(ba2 另一方面，= (a2)1(b2)1 = ab4 = 5，而 0|cos|1， m n 所以5，从而(a2)(b2) 22 )2()2(ba2 22 2 25 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则