高考数学复习压轴解答题强化训练(一)

1、 压轴解答题强化训练(一)压轴解答题强化训练(一) 解析几何解析几何 (建议用时:45 分钟)(建议用时:45 分钟) 1.(2014广州模拟)如图,已知椭圆 C 的方程为+=1(ab0),双曲线-=1 的两条渐近线为 l1,l2.过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 ll1,又 l 与 l2交于点 P, 设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A,B. (1)若 l1与 l2的夹角为 60,且双曲线的焦距为 4.求椭圆 C 的方程. (2)求的最大值. 【解析】(1)因为双曲线方程为-=1. 所以双曲线的渐近线方程为 y= x. 因为两渐近线的夹角为 60且 r,即. 所以,即 6

2、,即 36(12-p2)(p2+1), 所以 p4-11p2+240, 即(p2-3)(p2-8)0, 所以 p28 或 p23, 又 p212,且 p20, 所以 0p23 或 8p212, 即-p0,或 0p,或-2p-2, 或 2p0)经过点 (-2,3),其中 A,B 是抛物线上两个动点,O 为坐标原点. (1)求抛物线的方程. (2)若 OAOB,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程. (3)若AFB=90,线段 AB 的中点 M,点 M 在直线 l 上的投影为 N,求的最大 值. 【解析】(1)依题意可知(-2)2=2p3,解得 p=2. 所以抛物线的方程为 x2=4y. (2)方

3、法一:设点 P(x,y),由(1)可设 A, B,其中 x1x20.则 解得 x1x2=2x2-4y. 由AOB= ,得=0, 即 x1x2+=0,化简得,x1x2=-16. 所以 2x2-4y=-16,即 y= x2+4. 所以点 P 的轨迹方程为 y= x2+4. 方法二:设点 P(x,y), 可设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x=x1+x2,2y=y1+y2=k(x1+x2)+2b, 联立得 x2-4kx-4b=0,由根与系数的关系得:x1+x2=4k,x1x2=-4b, 由AOB= ,得 kOAkOB=-1,即 x1x2+y1y2

4、=0. 所以 x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0, 即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0, 由可得,y= x2+4. 此时=(-4k)2-4(-4b)=4x2+640 显然成立. 所以点 P 的轨迹方程为 y= x2+4. (3)方法一:设ABF=,则|AF|=|AB|sin, |BF|=|AB|sin=|AB|cos, 所以|AF|+|BF|=|AB|(sin+cos), 即=sin+cos=sin, 由抛物线的定义以及梯形的中位线定理,得|MN|=, 所以=sin,故当= 时,的最大值为. 方法二:在ABF 中,由勾股定理,得|AF|2+|BF|2=|AB|2, 即

5、(|AF|+|BF|)2-2|AF|BF|=|AB|2, 因为|AF|BF|. 所以(|AF|+|BF|)2-|AB|22. 化简得,|AF|+|BF|AB|. 又由抛物线的定义以及梯形的中位线定理,得|MN|=. 所以 2|MN|AB|, 即, 当且仅当|AF|=|BF|时,的最大值为. 4.(2014宁波模拟)如图,设椭圆+=1(ab0)长轴的右端点为 A,短轴端点分 别为 B,C,另有抛物线 y=x2+b. (1)若抛物线上存在点 D,使四边形 ABCD 为菱形,求椭圆的方程. (2)若 a=2,过点 B 作抛物线的切线,切点为 P,直线 PB 与椭圆相交于另一点 Q,求 的取值范围. 【解析】(1)由四边形 ABCD 是菱形,得 D(a,a2+b), 且 解得 a=,b= , 所以椭圆方程为 3x2+9y2=1. (2)不妨设 P(t,t2+b)(t0), 因为 y|x=t=2t, 所以 PQ 的方程为 y=2t(x-t)+t2+b,即 y=2tx-t2+b. 又因为直线 PQ 过点 B,所以-t2+b=-b,即 b= . 所以 PQ 的方程为 y=2tx- . 联立方程组 消去