高考数学复习专题练习第2讲相关性、最小二乘估计与统计案例

1、第 2 讲 相关性、最小二乘估计与统计案例 一、选择题 1在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相 等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线 y x1 上， 1 2 则这组样本数据的样本相关系数为() A1 B0 C. D1 1 2 答案D 2已知 x，y 取值如下表： x014568 y1.31.85.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且 0.95xa，则 a() y A1.30 B1.45 C1.65 D1.80 解析依题意得， (014568)4， (1.31.85.66.1x

2、1 6 y 1 6 7.49.3)5.25.又直线 0.95xa 必过样本中心点( ， )，即点(4,5.25)，于 y xy 是有 5.250.954a，由此解得 a1.45，选 B. 答案B 3. 设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法 得到的线性回归直线( 如图) ，以下结论正确的是 () A直线 l 过点( ， )xy Bx 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 Cx 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 解析由样本的中心( ， )落在回归

3、直线上可知 A 正确；x 和 y 的相关系数表xy 示为 x 与 y 之间的线性相关程度，不表示直线 l 的斜率，故 B 错；x 和 y 的相 关系数应在1 到 1 之间，故 C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不 绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故 D 错 答案A 4某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元)4235 销售额 y(万元)49263954 根据上表可得回归方程 x 中的 为 9.4， 据此模型预报广告费用为 6 万元 y b a b 时销售额为 () A63.6 万元 B65.5 万元 C67.7 万元 D72.0 万元 解析

4、3.5(万元)，x 4235 4 42(万元)，y 49263954 4 429.43.59.1， a yb x 回归方程为 9.4x9.1， y 当 x6(万元)时， 9.469.165.5(万元) y 答案B 5为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x/cm 174176176176178 儿子身高 y/cm 175175176177177 则 y 对 x 的线性回归方程为 () Ayx1 Byx1 Cy88 x Dy176 1 2 解析由题意得 176(cm)，x 174176176176178 5 176(cm)，由于( ， )一定满足线性回

5、归方程，y 175175176177177 5 xy 经验证知选 C. 答案C 6下列说法： 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； 设有一个回归方程 35x，变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 5 个单位 ； y 线性回归方程 x 必过( ， )； y b a xy 在一个 22 列联表中，由计算得 213.079，则有 99%以上的把握认为这 两个变量间有关系 其中错误的个数是 () A0 B1 C2 D3 解析只有错误，应该是 y 平均减少 5 个单位 答案B 二、填空题 7已知施化肥量 x 与水稻产量 y 的试验数据如下表，则变量 x 与变量 y 是 _相关(

6、填“正”或“负”). 施化肥量 x15202530354045 水稻产量 y330345365405445450455 解析因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系， 所以画出散点图 如图所示： 通过观察图象可知变量 x 与变量 y 是正相关 答案正 8考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度 x(cm)与肱骨长度 y(cm)的线 性回归方程为 1.197x3.660，由此估计，当股骨长度为 50 cm 时，肱骨长 y 度的估计值为_ cm. 解析根据线性回归方程 1.197x3.660，将 x50 代入得 y56.19，则肱 y 骨长度的估计值为 56.19 cm. 答案56.19

7、9 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系， 现随机抽取 50 名学生， 得到如下 22 列联表： 理科文科 男1310 女720 24.844. 50 （13 2010 7）2 23 27 20 30 则认为选修文科与性别有关系的可能性约为_ 解析24.844，这表明小概率事件发生根据假设检验的基本原理，应该 断定“是否选修文科与性别之间有关系” 成立，并且这种判断正确的可能性约 为 95%. 答案95% 10某数学老师身高 176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预 测他孙子

8、的身高为_ cm. 解析由题意父亲身高 x cm 与儿子身高 y cm 对应关系如下表： x173170176 y170176182 则 173， 176，x 173170176 3 y 170176182 3 (xi )(yi )(173173)(170176)(170173)(176176)(176 3 i1 xy 173)(182176)18， (xi )2(173173)2(170173)2(176173)218. 1. 3 i1 x b 18 18 a y 1761733.b x 线性回归直线方程 x x3. y b a 可估计孙子身高为 1823185(cm) 答案185 三、解答

9、题 11某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查数据如下表： 认为作业多认为作业不多合计 喜欢玩游戏189 不喜欢玩游戏815 合计 (1)请完善上表中所缺的有关数据； (2)试通过计算说明有多大把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？ 解(1) 认为作业多认为作业不多合计 喜欢玩游戏18927 不喜欢玩游戏81523 合计262450 (2)将表中的数据代入公式 2 nadbc2 abcdacbd 5.0593.841， 50 18 158 92 26 24 27 23 即说明有 95%以上的把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系 12 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过

10、程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x3456 y2.5344.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x y b ； a (3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(2)求 出的线性回归方程， 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标 准煤？ (参考数值：32.5435464.566.5) 解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示 (2)由对照数据，计算得：86， 4 i1 x2 i 4.5(吨)， 3.5(吨)x 3456 4

11、y 2.5344.5 4 已知 iyi66.5， 4 i1 x 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为： 0.7， b 4 i1x iyi4xy 4 i1x 2 i4x2 66.54 4.5 3.5 864 4.52 3.50.74.50.35. a yb x 因此，所求的线性回归方程为 y0.7x0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能 耗为： 90(0.71000.35)19.65(吨标准煤) 13 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进 行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天

12、昼夜温差与实验室 每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日 温差 x/101113128 发芽数 y/颗2325302616 该农科所确定的研究方案是 ： 先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据 求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa. 解(1)设抽到不相邻两

13、组数据为事件 A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共 有 10 种情况， 每种情况都是等可能出现的， 其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种， 所以 P(A)1 . 4 10 3 5 (2)由数据，求得 12， 27.x y 112513301226977，112132122434， 由公式，求得 b ，a b 3. 5 2 y x 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y x3. 5 2 14有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为 非优秀统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀非优秀总计 甲班10 乙班30 合计 105 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 2 7 (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关 系” ； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取 人的序号试求抽到 6 号或 10 号的概率 解(1) 优秀非优秀总计 甲班104555 乙班203050 合计3075105 (2)根据列联表中的数据，得到 26.1093.841， 105 10 3